高三一轮复习三角函数导学案.doc

高三一轮复习导学案《三角函数》
第1课 三角函数的概念
考试注意：
理解任意角的概念、弧度的意义． 能正确地进行弧度与角度的换算． 掌握终边相同角的表示方法． 掌握任意角的正弦、余弦、正切的意义．了解余切、正割、余割的定义． 掌握三角函数的符号法则．
知识典例：
1．角α的终边在第一、三象限的角平分线上，角α的集合可写成 ．
2．已知角α的余弦线是单位长度的有向线段，那么角α的终边 ( )
A．在x轴上 B．在y轴上 C．在直线y=x上 D．在直线y=－x上 ．
3．已知角α的终边过点p(－5，12)，则cosα} ，tanα= ．
4． 的符号为 ．
5．若cosθtanθ＞0，则θ是 ( )
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第一、二象限角 D．第二、三象限角
【讲练平台】
例1 已知角的终边上一点P（－ ，m），且sinθ= m，求cosθ与tanθ的值．

例2 已知集合E=｛θ｜cosθ＜sinθ，0≤θ≤2π}，F=｛θ｜tanθ＜sinθ}，求集合E∩F．

例3 设θ是第二象限角，且满足｜sin|= －sin ，是哪个象限的角?

【知能集成】
注意运用终边相同的角的表示方法表示有关象限角等；已知角的终边上一点的坐标，求三角函数值往往运用定义法；注意运用三角函数线解决有关三角不等式．
【训练反馈】
1． 已知α是钝角，那么 是 （ ）
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第一与第二象限角 D．不小于直角的正角
2． 角α的终边过点P（－4k，3k）(k＜0}，则cosα的值是 （ ）
A． B． C．－ D．－
3．已知点P(sinα－cosα，tanα)在第一象限，则在［0，2π］内，α的取值范围是 ( )
A．( ， )∪(π， ) B．( ， )∪(π， )
C．( ， )∪(，) D．( ， )∪( ，π)
4．若sinx= － ，cosx = ，则角2x的终边位置在 ( )
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
5．若4π＜α＜6π，且α与－ 终边相同，则α= ．
6． 角α终边在第三象限，则角2α终边在 象限．
7．已知｜tanx｜=－tanx，则角x的集合为 ．
8．如果θ是第三象限角，则cos(sinθ)·sin(sinθ)的符号为什么？

9．已知扇形AOB的周长是6cm，该扇形中心角是1弧度，求该扇形面积．

第2课 同角三角函数的关系及诱导公式
【考点指津】
掌握同角三角函数的基本关系式：sin 2α+cos2α=1， =tanα，
掌握正弦、余弦的诱导公式．能运用化归思想（即将含有较多三角函数名称问题化成含有较少三角函数名称问题）解题 ．
【知识在线】
1．sin2150°+sin2135°+2sin210°+cos2225°的值是 ( )
A． B． C． D．
2．已知sin(π+α)=－，则 ( )
A．cosα= B．tanα= C．cosα= － D．sin(π－α)=
3．已tanα=3， 的值为 ．
4．化简= ．
5．已知θ是第三象限角，且sin4θ+cos4θ= ，那么sin2θ等于 ( )
A． B．－ C． D．－
【讲练平台】
例1 化简 ．

例2 若sinθcosθ= ，θ∈( ，)，求cosθ－sinθ的值．

变式1 条件同例， 求cosθ+sinθ的值．
变式2 已知cosθ－sinθ= － ， 求sinθcosθ，sinθ+cosθ的值．

例3 已知tanθ=3．求cos2θ+sinθcosθ的值．

【训练反馈】
1．sin600°的值是 （ ）
A． B．－ C． D．－
2． sin(+α)sin（－α）的化简结果为 （ ）
A．cos2α B．cos2α C．sin2α D． sin2α
3．已知sinx+cosx=，x∈［0，π］，则tanx的值是 （ ）
A．－ B．－ C．± D．－或－
4．已知tanα=－，则 = ．
5． 的值为 ．
6．已知=－5，求3cos2θ+4sin2θ的值．

第3课 两角和与两角差的三角函数（一）
【考点指津】
掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式，掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式，能运用化归思想（将不同角化成同角等）解题．
【知识在线】
1．cos105°的值为 （ ）
A． B． C． D．
2．对于任何α、β∈（0，），sin(α+β)与sinα+sinβ的大小关系是 （ ）
A．sin(α+β)＞sinα+sinβ B．sin(α+β)＜sinα+sinβ
C．sin(α+β)=sinα+sinβ D．要以α、β的具体值而定
3．已知π＜θ＜，sin2θ=a，则sinθ+cosθ等于 （ ）
A． B．－ C． D．±
4．已知tanα=，tanβ=，则cot(α+2β)= ．
5．已知tanx=，则cos2x= ．
【讲练平台】
例1 已知sinα－sinβ=－ ，cosα－cosβ=，求cos(α－β)的值 ．

例2 求 的值 ．

例3 已知cos(α－β)=－，cos(α+β)= ，且（α－β）∈（，π），α+β∈（，2π），求cos2α、cos2β的值

【知能集成】
审题中，要善于观察已知式和欲求式的差异，注意角之间的关系；整体思想是三角变换中常用的思想．
【训练反馈】
1．已知0＜α＜＜β＜π，sinα=，cos(α+β)=－，则sinβ等于 （ ）
A．0 B．0或 C． D．0或－
2． 的值等于 （ ）
A．2+ B． C．2－ D．
3． △ABC中，3sinA+4cosB=6，4sinB+3cosA=1，则∠C的大小为 （ ）
A． B． C． 或 D． 或
4．若α是锐角，且sin(α－)= ，则cosα的值是 ．
5．coscoscos = ．
6．已知tanθ=，tanφ=，且θ、φ都是锐角．求证：θ+φ=45°．

7.已知sin(α+β)= ，且sin(π+α－β)= ，求．

第4课 两角和与两角差的三角函数（二）
【考点指津】
掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式；掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式；能灵活运用和角、差角、倍角公式解题．
【知识在线】
求下列各式的值
1．cos200°cos80°+cos110°cos10°= ．
2．（cos15°+sin15°）= ．
3．化简1+2cos2θ－cos2θ= ．
4．cos(20°+x)cos(25°－x)－cos(70°－x)sin(25°－x)= ．
5．－ = ．
【讲练平台】例1 求下列各式的值
（1）tan10°＋tan50°+ tan10°tan50°；
(2) ．

例2已知cos(+x)= ，＜x＜ ，求的值．

【训练反馈】
1．cos75°+cos15°的值等于 （ ）
A． B － C． － D．
2．a=（sin17°+cos17°），b=2cos213°－1，c= ，则 （ ）
A．c＜a＜b B． b＜c＜a C． a＜b＜c D． b＜a＜c
3．化简= ．
4．化简sin(2α+β)－2sinαcos(α+β)= ．
5．在△ABC中，已知A、B、C成等差数列，则tan+tan+tantan的值为 ．
6．化简sin2A+sin2B+2sinAsinBcos(A+B)．

7 化简sin50°(1+tan10°)．

8 已知sin(α+β)=1，求证：sin(2α+β)+sin(2α+3β)=0．

第5课 三角函数的图象与性质（一）
【考点指津】
了解正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质，能运用数形结合的思想解决问题，能讨论较复杂的三角函数的性质．
【知识在线】
1．若+2cosx＜0，则x的范围是 ．
2．下列各区间，使函数y=sin(x+π)的单调递增的区间是 （ ）
A．[，π] B． ［0，］ C． ［－π，0］ D． [，]
3．下列函数中，周期为的偶函数是 （ ）
A．y=sin4x B． y=cos22x－sin22x C． y=tan2x D． y=cos2x
4．判断下列函数的奇偶性
（1）y=xsinx+x2cos2x是 函数；
（2）y=｜sin2x｜－xcotx是 函数；
（3）y=sin(+3x)是 函数．
5．函数f(x)=cos(3x+φ)是奇函数，则φ的值为 ．
【讲练平台】
例1 （1）函数y=的定义域为
(2)若α、β为锐角，sinα＜cosβ，则α、β满足 （ ）
A．α＞β B．α＜β C．α+β＜ D． α+β＞
例2 判断下列函数的奇偶性：
(1)y= ； (2)y=

例3 求下列函数的最小正周期：
（1）y=sin(2x－)sin(2x+ ) ；(2)y=

例4 已知函数f(x)=5sinxcosx－5cos2x+ (x∈R) ．
(1)求f(x)的单调增区间；
（2）求f(x)图象的对称轴、对称中心．

【训练反馈】
1．函数y=lg(2cosx－1)的定义域为 （ ）
A．{x｜－＜x＜} B．{x｜－＜x＜｝
C．{x｜2kπ－＜x＜2kπ+，k∈Z} D．{x｜2kπ－＜x＜2kπ+，k∈Z}
2．如果α、β∈（，π），且tanα＜cotβ，那么必有 （ ）
A．α＜β B． β＜α C． α+β＜ D． α+β＞
3．若f(x)sinx是周期为π的奇函数，则f(x)可以是 （ ）
A．sinx B． cosx C． sin2x D． cos2x
4．下列命题中正确的是 （ ）
A．若α、β是第一象限角，且α＞β，且sinα＞sinβ
B．函数y=sinxcotx的单调递增区间是（2kπ－，2kπ+），k∈Z
C．函数y= 的最小正周期是2π
D．函数y=sinxcos2φ－cosxsin2φ的图象关于y轴对称，则φ=＋，k∈Z
5．函数y=sin+cos在（－2π，2π）内的递增区间是 ．
6．y=sin6x+cos6x的周期为 ．
7．比较下列函数值的大小： （1）sin2，sin3，sin4； (2)cos2θ，sin2θ，tan2θ（＜θ＜）．
8．设f(x)=sin(x+) (k≠0) ．
(1)写出f(x)的最大值M，最小值m，以及最小正周期T；
（2）试求最小的正整数k，使得当自变量x在任意两个整数间（包括整数本身）变化时，函数f(x)至少有一个M与m．
第6课 三角函数的图象与性质（二）
【考点指津】
了解正弦函数、余弦函数、正切函数的图象，会用“五点法”画正弦函数、余弦函数和函数y=Asin(ωx+φ)的图象，理解参数A、ω、φ的物理意义．掌握将函数图象进行对称变换、平移变换、伸缩变换．会根据图象提供的信息，求出函数解析式．
【知识在线】
1．将y=cosx的图象作关于x轴的对称变换，再将所得的图象向下平移1个单位，所得图象对应的函数是 （ ）
A．y=cosx+1 B．y=cosx－1 C．y=－cosx+1 D．y=－cosx－1
2．函数f(x)=sin3x图象的对称中心的坐标一定是 （ ）
A． (kπ，0)， k∈Z B．（kπ，0）， k∈Z C．（kπ，0）， k∈Z D．（kπ，0），k∈Z
3．函数y=cos(2x+)的图象的一个对称轴方程为 （ ）
A．x=－－ B．x=－ C．x= D．x=π
4．为了得到函数y=4sin(3x+)，x∈R的图象，只需把函数y=3sin(x+)的图象上所有点（ ）
A．横坐标伸长到原来的3倍，纵坐标不变 B．横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变
C．纵坐标伸长到原来的3倍，横坐标不变 D．纵坐标缩短到原来的倍，横坐标不变．
5．要得到y=sin(2x－ )的图象，只需将y=sin2x的图象 （ ）
A．向左平移个单位 B． 向右平移个单位 C．向左平移个单位 D． 向右平移个单位
【讲练平台】 例1 函数y=Asin（ωx+φ)(A＞0，ω＞0，｜φ｜＜)的最小值为－2，其图象相邻的最高点和最低点横坐标差3π，又图象过点（0，1），求这个函数的解析式．
x
y
ππ

3
－3
O

例2 右图为某三角函数图像的一段
（1）试用y=Asin（ωx+φ)型函数表示其解析式；
（2）求这个函数关于直线x=2π对称的函数解析式．

例3 已知函数y=cos2x+ sinxcosx+1 (x∈R)．
(1)当y取得最大值时，求自变量x的集合；
（2）该函数图象可由y=sinx(x∈R)的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到？
【训练反馈】
1．函数y= sin(2x+θ)的图象关于y轴对称的充要条件是 （ ）
A．θ=2kπ+ B．θ=kπ+ C．θ=2kπ+π D．θ=kπ+π(k∈Z)
2．先将函数y=sin2x的图象向右平移个单位长度，再将所得图象作关于y轴的对称变换，则所得函数图象对应的解析式为 （ ）
y
x
－1
1
1
A．y=sin(－2x+ ) B．y=sin(－2x－)C．y=sin(－2x+ ) D． y=sin(－2x－)
3．右图是周期为2π的三角函数y=f(x)的图象，
那么f(x)可以写成 （ ）
A．sin(1+x) B． sin(－1－x)
C．sin(x－1) D． sin(1－x)
4．y=tan(x－)在一个周期内的图象是 （ ）

O
x
x
x
x
y
y
y
y
D
C
A
B

O
O

O

5．已知函数y=2cosx(0≤x≤2π)的图象与直线y=2围成一个封闭的平面图形，则该封闭图形面积是 ．
6．将y=sin(3x－ )的图象向（左、右） 平移 个单位可得y=sin(3x+）的图像．
7．已知函数y=Asin(ωx+φ)，在同一个周期内，当x=时取得最大值，当x=时取得最小值－ ，若A＞0，ω＞0，｜φ｜＜，求该函数的解析表达式．

6
10
14
10
20
30
时间/h
y
温度/ ℃
8．已知函数y=sinx+cosx，x∈R．
(1)当y取得最大值时，求自变量x的取值集合；
（2）该函数的图象可由y=sinx(x∈R)的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到？

9．如图：某地一天从6时到14时的温度变化曲线近似满足函数y=Asin(ωx+φ)+b．
（1）求这段时间的最大温差；
（2）写出这段曲线的函数解析式．

第7课 三角函数的最值
【考点指津】
掌握基本三角函数y=sinx和y=cosx的最值，及取得最值的条件；掌握给定区间上三角函数的最值的求法；能运用三角恒等变形，将较复杂的三角函数的最值问题转化成一个角的一个三角函数的最值问题．
【知识在线】
1．已知（1）cos2x=1.5 ；(2)sinx－cosx=2．5 ；(3)tanx+ =2 ；(4)sin3x=－ ．上述四个等式成立的是 （ ）
A．（1）（2） B．（2）（4） C．（3）（4） D．（1）（3）
2．当x∈R时，函数y=2sin(2x+)的最大值为 ，最小值为 ，当x∈〔－， 〕时函数y的最大值为 ，最小值为 .
3．函数y=sinx－cosx的最大值为 ，最小值为 ．
4．函数y=cos2x+sinx+1的值域为 ．
【讲练平台】
例1 求函数f(x)=sin 2x+2sinxcosx+3cos2x的最大值，并求出此时x的值．

例2 若θ∈［－, ］，求函数y=cos(+θ）+sin2θ的最小值．

例3 试求函数y=sinx+cosx+2sinxcosx+2的最大值和最小值．

【训练反馈】
1．函数y= 的最大值是 （ ）
A． －1 B． ＋1 C． 1－ D． －1－
2．若2α+β=π，则y=cosβ－6sinα的最大值和最小值分别为 （ ）
A．7，5 B． 7，－ C． 5，－ D． 7，－5
3．当0≤x≤时，函数f(x)= 的 （ ）
A．最大值为2，最小值为 B．最大值为2，最小值为0
C．最大值为2，最小值不存在 D．最大值不存在，最小值为0
4．已知关于x的方程cos2x－sinx+a=0，若0＜x＜时方程有解，则a的取值范围是（ ）
A．［－1，1］ B．（－1，1） C．［－1，0］ D．（－∞，－）
5．要使sinα－cosα= 有意义，则m的取值范围是 ．
6．若f(x)=2sinωx(0＜ω＜1），在区间［0，］上的最大值为，则ω= ．
三、解答题
7．y=sinxcosx+sinx+cosx，求x∈［0， ］时函数y的最大值．

8．已知函数f(x)=－sin2x－asinx+b+1的最大值为0，最小值为－4，若实数a＞0，求a，b的值．

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