2017-2018学年四川省自贡市八年级(下)期末数学试卷.doc

2017-2018学年四川省自贡市八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共8小题，共24.0分）
1. 与可以合并的二次根式是（　　）
A. B. C. D.
2. 直线y=x-1不经过（　　）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（　　）
A. x≥-1 B. x≠0 C. x＞-1且x≠0 D. x≥-1且x≠0
4. 下列曲线中不能表示y是x的函数的是（　　）
A. B.
C. D.
5. 直角三角形中，两直角边分别是12和5，则斜边上的中线长是（　　）
A. 34 B. 26 C. 8.5 D. 6.5
6. 为了解某班学生双休日户外活动情况，对部分学生参加户外活动的时间进行抽样调查，结果如表：则关于“户外活动时间”这组数据的众数、中位数、平均数分别是（　　）
户外活动的时间/小时
1
2
3
6
学生人数/人
2
2
3
2
A. 3，3，3 B. 6，2，3 C. 3，3，2 D. 3，2，3
7. 实数a、b在数轴上对应点如图所示，则化简-|a|的结果是（　　）
A. 2a B. 2b C. -2b D. -2a
8. 如图，长方形的高为2cm，底面长为3cm，宽为1cm，蚂蚁沿长方体表面，从点A1到C2（点A1、C2见图中黑圆点）的最短距离是（　　）
A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
9. 有一组数据：1，2，3，4，5，则这组数据的方差是______．
10. 命题“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的逆命题是______．它是______命题（填“真”或“假”）
11. 已知函数y=2mx-5m-3，当m=______时，直线过原点；m为______数时，函数y随x的增大而增大．
12. 观察分析下列数据：，2，6，4，……，则第17个数据是______．
13. 如图，四边形ABCD是矩形，E是BA延长线上的一点，F是CE上一点，∠ACF=∠AFC，∠FAE=∠FEA；若∠ACB=21°，则∠ECD=______．

14. 如图，正方形ABCD中，AB=3，点E在边CD上，且CE=2DE；将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连结AG、CF，下列结论：
①BG=GC；②AG∥CF；③S△FGC=．
其中，正确的结论有______（填上你认为正确的序号）

三、计算题（本大题共1小题，共5.0分）
15. 计算：．

四、解答题（本大题共9小题，共53.0分）
16. 在甲村至乙村的公路旁有一块山地正在开发，现有一C处需要爆破，已知点C与公路上的停靠站A的距离为300米，与公路上另一停靠站B的距离为400米，且CA⊥CB，如图，为了安全起见，爆破点C周围半径250米范围内不得进入，问在进行爆破时，公路AB段是否有危险，是否而需要暂时封锁？请通过计算进行说明．

17. 如图，将四边形ABCD的四边中点E、F、G、H依次连接起来，得四边形到EFGH是平行四边形吗？请说明理由．

18. 在同一坐标系中，画出函数y1=-x+3与y2=2x的图象，观察图象写出当y1≥y2时，x的取值范围．

19. 在四个互不相等的正整数中，最大的数是8，中位数是4，求这四个数（按从小到大的顺序排列）

20. 国家规定，“中小学生每天在校体育锻炼时间不小于1小时”，某地区就“每天在校体育锻炼时间”的问题随机调查了若干名中学生，根据调查结果制作如下统计图（不完整）．其中分组情况：A组：时间小于0.5小时；B组：时间大于等于0.5小时且小于1小时；C组：时间大于等于1小时且小于1.5小时；D组：时间大于等于1.5小时．

根据以上信息，回答下列问题：
（1）A组的人数是______人，并补全条形统计图；
（2）本次调查数据的中位数落在组______；
（3）根据统计数据估计该地区25 000名中学生中，达到国家规定的每天在校体育锻炼时间的人数约有______人．

21. 如图，△ABC是直角三角形，且∠ABC=90°，四边形BCDE是平行四边形，E为AC的中点，BD平分∠ABC，点F在AB上，且BF=BC．求证：DF=AE．

22. 已知一次函数y1=k1x+b与正比例函数y2=k2x都经过点M（3，4），y1的图象与y轴交于点N，且|ON|=2|OM|．
（1）求y1与y2的解析式；
（2）求△MON的面积．

23. 如图，直线y=-x+10与x轴、y轴分别相交与点B、C，点A的坐标为（8，0），P（x，y）是直线y=-x+10在第一象限内的一个动点．
（1）求△OPA的面积S与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）当△OPA的面积为10时，求点P的坐标；
（3）过点P作PE⊥x轴于E，作PE⊥y轴于F，是否存在一点P，使得EF的长最小？若存在，求出EF的最小值；若不存在，请说明理由．

24. 如图，在正方形ABCD内任取一点E，连接AE、BE，在△ABE外分别以AE、BE为边作正方形AEMN和EBFG．
（1）按题意，在图中补全符合条件的图形；
（2）连接CF，求证：△ABE≌△CBF；
（3）在补全的图形中，求证：AN∥CF．

答案和解析
1.【答案】C
【解析】
解：A.与不是同类二次根式，不可以合并，故本选项错误；
B.与不是同类二次根式，不可以合并，故本选项错误；
C.=2，故与是同类二次根式，故本选项正确；
D.=5，故与不是同类二次根式，故本选项错误．
故选：C．
将各选项中的二次根式化简，被开方数是5的根式即为正确答案．
本题考查了同类二次根式的定义，同类二次根式是化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式称为同类二次根式．
2.【答案】B
【解析】
解：∵y=x-1
∴k＞0，b＜0
∴y=x-1的图象经过第一、三、四象限，不经过第二象限
故选：B．
由k=1＞0，b=-1＜0，可知函数y=x-1的图象经过第一、三、四象限．
一次函数y=kx+b的图象有四种情况：
①当k＞0，b＞0，函数y=kx+b的图象经过第一、二、三象限，y的值随x的值增大而增大；
②当k＞0，b＜0，函数y=kx+b的图象经过第一、三、四象限，y的值随x的值增大而增大；
③当k＜0，b＞0时，函数y=kx+b的图象经过第一、二、四象限，y的值随x的值增大而减小；
④当k＜0，b＜0时，函数y=kx+b的图象经过第二、三、四象限，y的值随x的值增大而减小；
3.【答案】D
【解析】
解：由题意得，x+1≥0且x≠0，
解得x≥-1且x≠0．
故选：D．
根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式计算即可得解．
本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．
4.【答案】C
【解析】
解：当给x一个值时，y有唯一的值与其对应，就说y是x的函数，x是自变量．
选项C中的曲线，不满足对于自变量的每一个确定的值，函数值有且只有一个值与之对应，即单对应．故C中曲线不能表示y是x的函数，
故选：C．
函数的定义：设在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数，x是自变量．由此即可判断．
考查了函数的概念，理解函数的定义，是解决本题的关键．
5.【答案】D
【解析】
解：由勾股定理得，斜边==13，
所以，斜边上的中线长=×13=6.5．
故选：D．
利用勾股定理列式求出斜边，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答．
本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，勾股定理，熟记性质是解题的关键．
6.【答案】A
【解析】
解：这组数据的众数为3，中位数为3，平均数=（1×2+2×2+3×3+6×2）=3．
故选：A．
根据众数、中位数、平均数对各选项进行判断．
本题考查了众数：一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．也考查了平均数和中位数．
7.【答案】B
【解析】
解：如图所示：b＞0，a-b＜0，a＜0，
则-|a|
=b+b-a-（-a）
=2b．
故选：B．
利用数轴得出b＞0，a-b＜0，a＜0，进而化简得出答案．
此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确得出各部分符号是解题关键．
8.【答案】D
【解析】
解：∵长方体的高为2cm，底面长为3cm，宽为1cm，
将长方体的两个侧面展开如图，连接A1、C2，
根据两点之间线段最短，
A1C2=cm．
故选：D．
根据两点之间线段最短，把立体图形展开为平面图形，利用勾股定理即可解决问题．
此题主要考查了勾股定理的应用以及平面展开图最短路径问题，利用勾股定理得出A2C2的长是解题关键．
9.【答案】2
【解析】
解：由平均数的公式得：（1+2+3+4+5）÷5=3，
∴方差=[（1-3）2+（2-3）2+（3-3）2+（4-3）2+（5-3）2]÷5=2．
故答案为：2．
先根据平均数的定义确定平均数，再根据方差公式进行计算即可求出答案．
本题考查了平均数和方差的定义．平均数是所有数据的和除以数据的个数．方差是一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数．
10.【答案】一边上的中线等于这边的一半的三角形是直角三角形   真
【解析】
解：命题“直角三角形斜边上的中线是斜边的一半”的逆命题是一边上的中线等于这边的一半的三角形是直角三角形，为真命题，
故答案为：一边上的中线等于这边的一半的三角形是直角三角形；真．
把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题．然后判断真假即可．
本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解如何写出一个命题的逆命题，并熟练掌握直角三角形的判定方法，难度不大．
11.【答案】-   正
【解析】
解：当-5m-3=0，即m=-时，直线过原点；
当2m＞0，即m＞0时，函数y随x的增大而增大；
故答案为：-；正
要使函数图象过原点，应该-5m-3=0；y随x的增大而增大，应该2m＞0．
本题考查了一次函数的性质，根据一次函数的性质解答是解决本题的关键．
12.【答案】51
【解析】
解：=1×，
2=2×，
6=3×，
4=4×，
……
第17个数据=17×=51．
故答案为：51．
将各数变形为一个有理数与一个无理数的乘积的形式，从而可发现其中的规律，然后依据规律进行计算即可．
主要考查了学生的分析、总结、归纳能力，规律型的习题一般是从所给的数据和运算方法进行分析，从特殊值的规律上总结出一般性的规律．
13.【答案】23°
【解析】
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BCD=90°，AB∥CD，AD∥BC，
∴∠FEA=∠ECD，∠DAC=∠ACB=21°，
∵∠ACF=∠AFC，∠FAE=∠FEA，
∴∠ACF=2∠FEA，
设∠ECD=x，则∠ACF=2x，
∴∠ACD=3x，
∴3x+21°=90°，
解得：x=23°；
故答案为：23°
由矩形的性质得出∠BCD=90°，AB∥CD，AD∥BC，证出∠FEA=∠ECD，∠DAC=∠ACB=21°，由三角形的外角性质得出∠ACF=2∠FEA，设∠ECD=x，则∠ACF=2x，∠ACD=3x，由互余两角关系得出方程，解方程即可．
本题考查了矩形的性质、平行线的性质、直角三角形的性质、三角形的外角性质；熟练掌握矩形的性质和平行线的性质是解决问题的关键．
14.【答案】①②③
【解析】
解：∵正方形ABCD的边长为3，CE=2DE，
∴DE=1，EC=2，
∵把△ADE沿AE折叠使△ADE落在△AFE的位置，
∴AF=AD=3，EF=ED=1，∠AFE=∠D=90°，∠FAE=∠DAE，
在Rt△ABG和Rt△AFG中，
，
∴Rt△ABG≌Rt△AFG（HL），
∴GB=GF，
设BG=x，则GF=x，CG=BC-BG=3-x，
在Rt△CGE中，GE=x+1，EC=2，CG=3-x，
∵CG2+CE2=GE2，
∴（3-x）2+22=（x+1）2，解得x=，
∴BG=，CG=3-=
∴BG=CG，所以①正确；
∵GF=GC，
∴∠GFC=∠GCF，
又∵Rt△ABG≌Rt△AFG，
∴∠AGB=∠AGF，
而∠BGF=∠GFC+∠GCF，
∴∠AGB+∠AGF=∠GFC+∠GCF，
∴∠AGB=∠GCF，
∴CF∥AG，所以②正确；
∵EF=DE=1，GF=，
∴EG=，
∴=，
∴=，
∴S△FCG=•S△EGC=××2×=，故③正确．
故答案为①②③．
首先证明Rt△ABG≌Rt△AFG（HL），推出GB=GF，设BG=x，则GF=x，CG=BC-BG=3-x，在Rt△CGE中，GE=x+1，EC=2，CG=3-x，根据CG2+CE2=GE2，构建方程求出x即可判断①正确；想办法证明∠AGB=∠GCF，即可判断②正确；只要证明=，可得S△FCG=•S△EGC，由此即可判断③正确；
本题考查正方形的性质、翻折变换、全等三角形的判定和性质、勾股定理、平行线的判定等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．
15.【答案】解：原式=（6-+）×
=×
=19．
【解析】

先把二次根式化为最简二次根式，然后把括号内合并后进行二次根式的乘法运算．
本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
16.【答案】解：如图，过C作CD⊥AB于D，
∵BC=400米，AC=300米，∠ACB=90°，
∴根据勾股定理得AB=500米，
∵AB•CD=BC•AC，
∴CD=240米．
∵240米＜250米，故有危险，
因此AB段公路需要暂时封锁．
【解析】

如图，本题需要判断点C到AB的距离是否小于250米，如果小于则有危险，大于则没有危险．因此过C作CD⊥AB于D，然后根据勾股定理在直角三角形ABC中即可求出AB的长度，然后利用三角形的公式即可求出CD，然后和250米比较大小即可判断需要暂时封锁．
本题考查正确运用勾股定理，善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．
17.【答案】证明：四边形到EFGH是平行四边形，理由是：
如图所示，连接BD，
∵E、F、G、H分别是四边形ABCD边的中点，
∴HE∥BC，HE=BD，GF∥BC，GF=BC，
∴HE=GF且HE∥GF；
∴四边形EFGH是平行四边形．
【解析】

由三角形中位线定理得出HE∥BC，HE=BC，GF∥BC，GF=BC，因此HE=GF且HE∥GF；即可得出结论；
本题考查了平行四边形的判定、中点四边形、三角形中位线定理；熟练掌握三角形中位线定理是解决问题的关键．
18.【答案】解：当x1=0时y1=3，当y1=0时，x1=3，当x2=0时y2=0，当y2=2时，x2=1，则图象如图所示；

当y1≥y2时，x≤1．
【解析】

在解析式中分别令y=0和x=0，则可求得交点的坐标，利用两点法可画出函数图象，进而解答即可；
本题考查了一次函数的与一元一次不等式．正确求出一次函数与x轴与y轴的交点是解题的关键．
19.【答案】解：∵中位数是4，最大的数是8，
∴第二个数和第三个数的和是8，
∵这四个数是不相等的正整数，
∴这两个数是3、5或2、6，
∴这四个数是1，3，5，8或2，3，5，8或1，2，6，8．
【解析】

根据中位数的定义得出第二个数和第三个数的和是8，再根据这四个数是不相等的正整数，得出这两个数是3、5或2、6，再根据这些数都是正整数得出第一个数是2或1．
此题考查了中位数，掌握中位数的概念是本题的关键；中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数．
20.【答案】50   C   14000
【解析】
解：（1）由统计图可得，
A组人数为：60÷24%-60-120-20=50，
故答案为：50，补全的条形统计图如右图所示，
（2）由补全的条形统计图可得，中位数落在C组，
故答案为：C；
（3）由题意可得，
该地区25 000名中学生中，达到国家规定的每天在校体育锻炼时间的人数约有：25000×（48%+8%）=14000（人），
故答案为：14000．
（1）根据题意和统计图可以得到A组的人数；
（2）根据（1）中补全的统计图可以得到这组数据的中位数落在哪一组；
（3）根据统计图中的数据可以估计该地区达到国家规定的每天在校体育锻炼时间的人数．
本题考查中位数、用样本估计总体、扇形统计图、条形统计图，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答问题．
21.【答案】证明：（1）延长DE交AB于点G，连接AD．
∵四边形BCDE是平行四边形，
∴ED∥BC，ED=BC．
∵点E是AC的中点，∠ABC=90°，
∴AG=BG，DG⊥AB．
∴AD=BD，
∴∠BAD=∠ABD．
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠BAD=45°，即∠BDE=∠ADE=45°．
又BF=BC，
∴BF=DE．
∴在△AED与△DFB中，
，
∴△AED≌△DFB（SAS），
∴AE=DF，即DF=AE；
【解析】

延长DE交AB于点G，连接AD．构建全等三角形△AED≌△DFB（SAS），则由该全等三角形的对应边相等证得结论；
本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质．全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
22.【答案】解：（1）∵正比例函数y2=k2x都经过点M（3，4），
∴k2=，
∴y2=k2x．
∵OM==5，
∴ON=10，
∴N（0，10）或（0，-10），
当一次函数y1=k1x+b经过M（3，4），N（0，10）时，
，解得，
∴y1=-2x+10．
当一次函数y1=k1x+b经过M（3，4），N（0，-10）时，
，解得，
∴y1=x-10．

（2）S△MON=×10×3=15．
【解析】

（1）利用待定系数法即可解决问题；
（2）根据三角形的面积公式计算即可；
本题考查两直线相交或平行问题，解题的关键是灵活运用待定系数法解决问题，属于中考常考题型．
23.【答案】解：（1）∵A（8，0），
∴OA=8，
S=OA•|yP|=×8×（-x+10）=-4x+40，（0＜x＜10）．
（2）当S=10时，则-4x+40=10，解得x=，
当x=时，y=-+10=，
∴当△OPA的面积为10时，点P的坐标为（，）．
（3）如图所示：

∵∠FOE=∠OEP=∠PFO=90°，
∴四边形OFPE为矩形．
∴EF=OP．
由垂线段最短可知当OP⊥CB时，OP有最小值，即EF有最小值．
将x=0代入y=-x+10得y=10，
∴C（0，10），
∴OC=10．
将y=0代入y=-x+10得x=10，
∴B（10，0），
∴OB=10．
依据勾股定理可知BC=10．
∵OC=OB，OP⊥BC，
∴PB=AP，
∴OP=BC=5．
∴EF的最小值为5．
【解析】

（1）根据三角形的面积公式S△OPA=OA•Py，然后把y转换成x，即可求得△OPA的面积S与x的函数关系式；
（2）把s=10代入S=-4x+40，求得x的值，把x的值代入y=-x+10即可求得P的坐标；
（3）首先证明四边形OFPE为矩形，则EF=OP，然后由垂线段最短可知当OP⊥CB时，OP有最小值，即EF有最小值，然后再求得OP的长即可．
本题考查了一次函数的综合应用，解答本题主要应用了三角形的面积公式、矩形的性质和判定、垂线段的性质，证得EF=OP是解题的关键．
24.【答案】（1）解：补全的图形如图所示．

（2）∵四边形ABCD，四边形EBFG是正方形，
∴AB=BC，EB=BF，∠ABC=∠EBF=90°，
∴∠ABE=∠CBF，
∴△ABE≌△CBF，

（3）证明：延长AE交BC于O，交CF于K．
∵△ABE≌△CBF，
∴∠BAE=∠BCF，
∵∠BAE+∠AOB=90°，∠AOB=∠COK，
∴∠COK+∠BCF=90°，
∴∠AKC=90°，
∴AE⊥CF，∵AN⊥AE，
∴AN∥CF．
【解析】

（1）根据要求画出图形即可；
（2）根据SAS证明即可；
（3）延长AE交BC于O，交CF于K．只要证明△ABE≌△CBF，推出∠BAE=∠BCF，由∠BAE+∠AOB=90°，∠AOB=∠COK，推出∠COK+∠BCF=90°，推出∠AKC=90°，推出AE⊥CF，延长即可解决问题；
本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
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