高等数学解题法.pptx

预备知识预备知识一一.函数函数1.两个函数等价:定义域和对应法则2.求定义域3.基本性质(2)奇偶性 (3)单调性 (4)周期性4.反三角函数5.基本初等函数,初等函数二二.一些重要的公式一些重要的公式(不等式不等式)第一讲第一讲 利用定义求数列极限利用定义求数列极限(部分分式,缩小分母的方法)（二项式，缩小分母）思考：思考：(二项式法)第二讲第二讲 数列极限的计算方法数列极限的计算方法先证单调,有界,然后求极限(两边同时取极限)先证其存在,再求值二二.利用变形及重要极限利用变形及重要极限,等价无穷小等价无穷小第三讲第三讲 函数极限的计算方法函数极限的计算方法一一.利用初等变形利用初等变形二二.利用变换利用变换三三.取对数法取对数法()四四.和差化积和差化积,积化和差积化和差,两角和差公式两角和差公式五五.用高阶无穷小求极限用高阶无穷小求极限一一.利用初等变形利用初等变形二二.利用变换利用变换四四.和差化积和差化积,积化和差积化和差,两角和差公式两角和差公式两角和差积化和差和差化积五五.用高阶无穷小求极限用高阶无穷小求极限思考题思考题第四讲第四讲 函数的连续性函数的连续性一一.连续性、间断点的讨论连续性、间断点的讨论二二.与连续函数性质有关的问题与连续函数性质有关的问题第五讲第五讲 导数定义导数定义(分段函数分段函数)一一.导数定义导数定义二二.分段函数的导数分段函数的导数第六讲第六讲 求导法求导法一一.利用变形利用变形二二.隐函数求导隐函数求导三三.反函数求导反函数求导四四.参数方程求导参数方程求导主要用于解方程五五.高阶导数高阶导数观察规律,递推公式第七讲第七讲 中值定理中值定理罗尔中值定理 根的问题 一个函数拉氏定理 (几种形式,增量)一个函数柯西中值定理 定义,几何意义 两个函数广义罗尔定理广义罗尔定理:证明:广义拉氏定理广义拉氏定理:证明:一一.罗尔中值定理罗尔中值定理证明零点问题主要有两种情况二二.拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理一个函数,两个端点,增量三三.柯西中值定理柯西中值定理两个函数四四.利用中值定理构造辅助函数利用中值定理构造辅助函数找原函数五五.利用中值定理讨论函数性质利用中值定理讨论函数性质第八讲第八讲 极值及其相关性质极值及其相关性质一一.极值问题极值问题二二.利用极值讨论方程的根利用极值讨论方程的根第九讲第九讲 显式不等式的证明显式不等式的证明一一.利用函数单调性利用函数单调性二二.利用极值、最值证明不等式利用极值、最值证明不等式第十讲第十讲 不定积分的计算方法不定积分的计算方法一一.有理函数的积分有理函数的积分所有有理函数都能够积分真分式 凑微分换元降次凑微分换元降次添项减项 练习练习原式二二.三角有理式积分三角有理式积分万能公式 三三.无理函数积分无理函数积分第十一讲第十一讲 定积分的计算定积分的计算递推公式换元法分区间根据奇偶性第十二讲第十二讲 微分方程的解法微分方程的解法一、可分离变量，一阶线性，齐次一、可分离变量，一阶线性，齐次直接求解直接求解需作变换需作变换机动 目录 上页 下页 返回 结束 7.设F(x)f(x)g(x),其中函数 f(x),g(x)在(,+)内满足以下条件:(1)求F(x)所满足的一阶微分方程;(2)求出F(x)的表达式.二、可化为齐次方程专题二、可化为齐次方程专题2.求解定解问题求解定解问题 3.设设 是连续函数是连续函数,且满足且满足求求 4.求解为通解的微分方程.5.求以 6.设有微分方程其中试求此方程满足初始条件的连续解.1.求一连续可导函数使其满足下列方程:2.设在设在 时所定义的可微函数时所定义的可微函数 满足条件满足条件求求且满足方程 4.设 1.设曲线设曲线 上任意一点上任意一点 满足满足 又又 过点过点 求求 的方的方程程.为曲边的曲边梯形面积上述两直线与 x 轴围成的三角形面二阶可导,且上任一点 P(x,y)作该曲线的切线及 x 轴的垂线,区间 0,x 上以满足的方程.积记为2.特征方程:实根 特 征 根通 解以上结论可推广到高阶常系数线性微分方程.若特征方程含 k 重复根若特征方程含 k 重实根 r,则其通解中必含对应项则其通解中必含对应项特征方程:推广推广:为特征方程的 k(0,1,2)重根,则设特解为为特征方程的 k(0,1)重根,则设特解为3.上述结论也可推广到高阶方程的情形.时可设特解为 时可设特解为 1.(填空)设2.2.求微分方程的通解 (其中为实数).3.3.已知二阶常微分方程有特解求微分方程的通解.4.4.的通解.1.2.3.4.5.为特解的 4 阶常系数线性齐次微分方程,并求其通解.6.1.设下列高阶常系数线性非齐次方程的特解式:2.2.求解定解问题 求微分方程满足条件处连续且可微的解.第十三讲第十三讲 多元函数的极限、连多元函数的极限、连续、偏导、微分续、偏导、微分一、多元函数极限的计算一、多元函数极限的计算二、讨论函数极限的存在性二、讨论函数极限的存在性三、讨论函数的连续性三、讨论函数的连续性三、偏导数与可微性三、偏导数与可微性第十四讲第十四讲 多元微分多元微分一、全微分的求法一、全微分的求法二、复合函数求偏导二、复合函数求偏导三、隐函数求偏导三、隐函数求偏导