一微积分学基本定理省公共课一等奖全国赛课获奖课件.pptx

一微积分学基本定理一微积分学基本定理 NewtonNewton和和leibnizleibniz独立创建微积分之前，已经独立创建微积分之前，已经有积分和微分概念，它们起源不一样，出现时间有有积分和微分概念，它们起源不一样，出现时间有先后，处理问题也不一样，但先后，处理问题也不一样，但NewtonNewton和和leibnizleibniz几几乎同时发觉了它们联络乎同时发觉了它们联络微积分学基本定理，从微积分学基本定理，从而创建了而创建了CalculusCalculus，这是里程碑式结果。，这是里程碑式结果。第第5 5节节 微积分学基本定理微积分学基本定理第1页类似地可有类似地可有“变下限积分变下限积分”称为称为“变上限积分变上限积分”。1 1变上限积分变上限积分 ，伴随，伴随 在在 中变动，中变动，也也在变动。且在变动。且 对于对于 是唯一，所以可定义是唯一，所以可定义在在 上一个新函数，记为：上一个新函数，记为：第2页2 2微积分学基本定理微积分学基本定理 ，表表 增量，增量，表表 增量增量积分中值定理积分中值定理 因因 在在 和和 之间，之间，时，时，第3页微积分学基本定理微积分学基本定理Th.4.1 Th.4.1 设设 在在 上连续上连续 可导，且可导，且 第4页e.g.1e.g.1 求求 e.g.2e.g.2 求求 RemarkRemark类似地类似地，思索：思索：？第5页3 3原函数及其性质、不定积分原函数及其性质、不定积分（1 1）原函数概念）原函数概念称满足称满足 函数函数 为为 一个原函数一个原函数 e.g.e.g.是是 一个原函数一个原函数 是是 一个原函数一个原函数 是是 一个原函数一个原函数 第6页（2 2）原函数基本性质）原函数基本性质即即 任意两个原函数之间只相差一个常数。任意两个原函数之间只相差一个常数。（i i）若）若 是是 一个原函数一个原函数 ,也是也是 原函数原函数 （iiii）若）若 和和 都是都是 原函数原函数 第7页 全部原函数集合称为全部原函数集合称为 不定积分不定积分，记为，记为 。即即 记成记成 ，（3 3）不定积分（）不定积分（indefinite integralindefinite integral）只要知道只要知道 一个原函数，就可由它表示一个原函数，就可由它表示出出 全部原函数，即不定积分。全部原函数，即不定积分。第8页(4)(4)基本积分公式基本积分公式 第9页设设 是是 一个原函数一个原函数令令 再令再令 也是一个原函数也是一个原函数4 4定积分计算定积分计算 Newton-leibniz Newton-leibniz公式公式第10页 这即著名这即著名微积分学基本公式微积分学基本公式，也称牛，也称牛-莱公式，莱公式，它揭示微分与积分之间关系，表示只要求出它揭示微分与积分之间关系，表示只要求出 一个一个原函数，即可求得定积分数值。原函数，即可求得定积分数值。e.g.3e.g.3 计算计算 它给出了定积分一个计算方法，而无须经过复它给出了定积分一个计算方法，而无须经过复杂极限运算。杂极限运算。e.g.4e.g.4 计算计算 问问：能不能用此方法，为何？能不能用此方法，为何？第11页e.g.5e.g.5 计算正弦曲线计算正弦曲线 在在 上与上与 轴轴所围成平面图形面积。所围成平面图形面积。e.g.6e.g.6计算计算 RemarkRemark定积分计算取决于能否较轻易地求得被积定积分计算取决于能否较轻易地求得被积函数原函数，这包括到积分法，我们这里函数原函数，这包括到积分法，我们这里不打算多讲，可参看相关参考书。不打算多讲，可参看相关参考书。第12页5 5微分运算与积分运算互逆性质微分运算与积分运算互逆性质 由不定积分概念和微积分基本定理可知，有互由不定积分概念和微积分基本定理可知，有互逆运算：逆运算：oror oror 第13页二变限积分极限二变限积分极限 无穷积分无穷积分若若 对对 有定义有定义 可考虑可考虑 时极限时极限 若若 称极限值为函数称极限值为函数 在无穷区间在无穷区间上上无穷积分无穷积分(infinite integralinfinite integral)。记为记为 ,i.e.,i.e.类似地可定义类似地可定义 第14页计算无穷积分：计算无穷积分：（i i）（iiii）e.g.7 e.g.7 RemarkRemark当在当在 上积分上积分 和在和在 上上积分积分 均存在时，称均存在时，称 在在 上上积分存在，记为积分存在，记为 e.g.e.g.概率积分概率积分 第15页三定积分应用、微元法三定积分应用、微元法1 1几何应用几何应用平面图形面积平面图形面积在区间在区间 上选取上选取一个具代表性一个具代表性“区区间间微元微元”，对应，对应面积微元为面积微元为 ，i.e.i.e.平面图形由平面图形由围成，求该平面图形面积。围成，求该平面图形面积。第16页能够证实能够证实 与窄曲边形实际面积与窄曲边形实际面积“近似近似”相等相等（即相差一个高阶无穷小量）。（即相差一个高阶无穷小量）。计算抛物线计算抛物线 与与 围成面积。围成面积。e.g.8e.g.8 所求面积所求面积 RemarkRemark上述这种用一个微元来代替准确量计算法上述这种用一个微元来代替准确量计算法称为称为 微元法微元法。它表达了它表达了“以直代曲以直代曲”，“以不变代变以不变代变”思想，是微积分中一个很主要思想。思想，是微积分中一个很主要思想。第17页2 2旋转体体积旋转体体积 平面图形绕着它所在平面内一条直线旋转一周平面图形绕着它所在平面内一条直线旋转一周所成立体称为所成立体称为旋转体旋转体，这条直线称为，这条直线称为旋转轴旋转轴。e.g.9e.g.9 考虑双曲线考虑双曲线 在在 内部分。内部分。让其绕让其绕x x轴旋转，则旋转后得一曲面，求此轴旋转，则旋转后得一曲面，求此曲面与曲面与 所围体积。所围体积。第18页Sol.Sol.考虑考虑 上任一点上任一点 处，取一小微元处，取一小微元 表面积为表面积为 此薄片对应体积微元和表面积微元分别为此薄片对应体积微元和表面积微元分别为 体积为体积为 第19页若若 连续地向右移，使连续地向右移，使 ，则旋转曲面称为，则旋转曲面称为GabrielGabriel喇叭。喇叭。其体积为其体积为表面积为表面积为 表明表明GabrielGabriel喇叭含有有限体积，而有没有穷表面喇叭含有有限体积，而有没有穷表面积。这是与积。这是与“直观直观”不一样。不一样。第20页3 3在经济学中应用在经济学中应用我们已知，在经济学中，惯用导数表示一些边际经济我们已知，在经济学中，惯用导数表示一些边际经济量。比如边际成本量。比如边际成本 ，边际收益，边际收益 ，边际利润，边际利润 等。等。反过来，假如已知边际量，要求总量，则可采取积分反过来，假如已知边际量，要求总量，则可采取积分求解。求解。e.g.10e.g.10 某商品需求量某商品需求量 为价格为价格 函数，该商品最函数，该商品最大需求量为大需求量为10001000，已知边际需求为，已知边际需求为 ，求需求量，求需求量 与价格与价格 函函数关系数关系。第21页Sol.Sol.第22页e.g.11e.g.11 Sol.第23页第24页作作 业业1.P43.11(2)(3)(5)(6)1.P43.11(2)(3)(5)(6)2.P43.12(1)(3)(4)(5)(6)2.P43.12(1)(3)(4)(5)(6)3.(3.(补充补充)设生产某产品固定成本为设生产某产品固定成本为2020元，生产元，生产 件产品边际成本为件产品边际成本为 （元（元/件），试件），试求总成本函数求总成本函数 。第25页