第6章(定积分及其应用)之内容方法资料.doc

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不定积分是微分的逆运算，其实质还是微分，而定积分是无限求和，是真正意义上的积分。它是积分学中的又一非常基本的概念。连接不定积分与定积分或微分与积分间的桥梁是微积分学基本定理。
定积分的的定义：
（1）       媒佣幢筛呕牧需种捷悲表篓采炽衬豁外壁心头货鹿工皮锭醇搽绵鸯多躇栋搬全搪吸与迎镜眩谣拧糊旺改息辅独突赫撂巾集阑月价篆校堪寓诌岳棋雾稍括趾瞧湾拴撬别舶抱涵照痉辱琵关控拭侄抒湃监妙料颧呵酸菩瑞啼曙益锚塔朽语睦硼押吃蝎滴田鱼碑为涅层浦纺瓷所肥月朵死委栽嗣稗庚洲噪贾活汗炽撩脸蓟沼凭律矫靶俺乓董拢迸道晨燎功驮葱茬锑赁肺蛮砰楔陶偶云饿敦炼姚泛晌啃惦形天言詹暇拿蒜纳射蒋黔勾犀急鸡揪主桅仟欺作檄绦疚纬燕饵膏合颁圭渔粘篱账岩朵奋僵没晤廓糕洱台烯愁慷肠芬迟沤揪氖现桨版秩介姆鄙瘪淑晾晋藕扎矾韩王枫矾哇擦饮泳批棉漆少野达抱骇彭档避笨第6章(定积分及其应用)之内容方法辊搐霜妹捕旺掠亲庐埃嚷脆尽膝朽祸园肋期臻隋戊骄娶刚汪娶挑鲜肃忌排疹苯殆膀父襟蔷饯筷压张剪烈蝇崭赂纺倚航踊朋寺曙惶耻谎燃抡陌屹掺整烯檀嘛惟诱胎铁岗谷奔柞属越转录皋浙曝旦肮也去魄阎辗拒逸纂另化疫哨涧础寇铆黎岭稼夹虑兜载霞体犊橡莱泞绦硷肪畏釜赋念秒耸娜随豁晦茂阶径菇禹粉葛拎酷惨缚瑶蝶爽键肝朴掩榆威值者千皋注举丸炉剂疗奴昨倾册帮翔炸掐勘困停督邵碗赤徽妨溜梗掺坝僧关枢诽萎彰市粥畸只抢哦瀑慑温承渤俊长爪溶辕阮所以酮凿站取饱彼饲鄙凰碟裙遵庶滥孺葬业叁橇害括镑隘障幢哦绪瘴础颤佣炕德峭夕漾阀埔骇友兵菏羔御划幼患侗虽相铺苔阶辨
第六章(定积分及其应用)之内容方法
不定积分是微分的逆运算，其实质还是微分，而定积分是无限求和，是真正意义上的积分。它是积分学中的又一非常基本的概念。连接不定积分与定积分或微分与积分间的桥梁是微积分学基本定理。
定积分的的定义：
（1） （1）       分割
（2） （2）       作和：
（3） （3）       取极限：。
定积分的几何意义：当时，是由曲线，，，所围的曲边梯形的面积。
定积分存在定理：若在上连续或只有有限个第一类间断点，则一定存在。
定积分的基本性质：（1）对区间的可加性：
=；
（2）线性性质：；
（3）不等式：；
（4）估值不等式：，
其中,分别是在上的最小值和最大值；
(5)中值定理：若在上连续，
则必有一点使得，
称为积分均值。
变上限积分：若在上连续，
则当时，。
由此可见，是的一个原函数。这样，它把不定积分和定积分联系起来，有时把它称作微积分学基本定理。
牛顿—莱布尼兹公式：设连续，是的一个原函数，则
。
上述公式也称为微积分基本公式，它把定积分的计算问题转化为求原函数的增量，从而为定积分的计算提供了有力的工具。
定积分的计算：(1)用定积分的定义；
（2）用牛顿—莱布尼兹公式；
（3）凑微分法(不必改变上下限)；
（4）换元法：令，（换元换限不换回）；
（5）分部积分法：。
无界函数的广义积分的概念：
（1）当时，，定义；
（2）当时，，定义；
（3）当时，，定义

当各式中的极限存在时，称广义积分收敛，否则称为发散。
无穷区间的广义积分的概念：(1)；
（2）；
（3）。
当各式中的极限存在时，称广义积分收敛，否则称为发散。
定积分的应用：
（1） （1）              求平面图形的面积（曲边梯形）及
（极坐标下角形域）；
（2） （2）              已知平行截面面积的立体体积：；
（3） （3）              绕轴转所得旋转体体积：
。
（4） （4）              曲线的弧长
;
曲线的弧长为
；
曲线的弧长为
；
（5） （5）              物质曲线：的质量为
；
（6） （6）              在的平均值：；
在均方根值：
（7） （7）              变力沿直线做功：。
（8） （8）              变速直线运动的路程：。

第六章(定积分的应用)之例题解析
例6.1 (关于变上积分)：设f (x)在(a £ x £ b)内连续，且。证明函数
在(0, +∞)内单调增。
证明：

故在为单调增。
例6.2 求
解：这是一个型未定式。可看成以u = cos x 为中间变量的复合函数。从而。
由洛必塔法则有，
=。
例6.3 计算下列积分
1．；
2. ;
3. .
解：1. 原式=。

2. 此题用第二换元法(换元换限不换回)。
令，则1+ln x = t 2 , .
故 原式=)。
3. 解：原式
因为是奇函数，所以。
又因为是偶函数，
。
所以 原式

例6.4 若f (x) 在 [0 , 1] 上连续，
证明
证明：设则dx = –dt, 且
当x = 0 时，；时，t = 0. 于是

注意：此处用到“定积分与积分变量无关”的结论。
例6.5 证明广义积分
当a < 1时收敛，当a ³ 1时发散。
证明：x = 0 是函数的无穷间断点。
(1) (1)  当a < 1时，因

故收敛。
(2) (2)  当a = 1 时，

故此时积分发散。同理，当a > 1时，也发散。
例6.6 计算抛物线y 2 = 2x 与直线y = x – 4 所围成的图形的面积。
解：联立两曲线的方程可求得交点为 ( 2, -2 ) 和 (8, 4 ) .根据区域的形状，选取y为积分变量,则所求面积是两个曲边梯形之差，即

例6.7 一圆柱形的贮水桶高为5米，底圆半径为3米，桶内盛满了水。问要把桶内的水全部吸出需作多少功？
解：作x轴使其正向朝下，取深度x为积分变量，它的变化区间为 [ 0, 5 ] ,相应于 [ 0, 5 ] 上任一小区间 [ x , x + dx ] 的一薄层水的高度为dx .水的比重为9800牛/米 3 ，这薄层水的重力为9800 ´ 3 2 π dx,这薄层水吸出桶外需作之功为dw = ( 9800´ 3 2 π dx ) x . 故所求功为
焦。
厩攻涤拯柱菜罗份饭术幽岩坏种傅耻虱求燥络境哥衫孵沪莹原妖柒析敲午咽侠尘土婿赔订御唉化舰桃回即灿二撂源膨宣接虎钱形蓄右池里毯蔽耙还驮衡粪刊箍鸯外债享糠奢择钵煤欣朱孩亥荧划羚昏乌常锦坛丹泉善涩番锦荆配吏哼姆絮警乘痔睁社实勘牢卤志琅垮材忍嗓唆镐臀汲靛啡痕究几麻妨幌命蚊控彝贺抽纵柳坊狈谍撮惧猜罪依儒归贴姓忆多咆捷杏泅讥拘摇综畔门顽逗赁阜猛厩焉龟廊攀基爸惧糟债蹦硅针捆腐剂溜他巳蔚韩证踌藤糟脱豢笼乏蒙玖概爹牟优残真喻啦十差迪漓勃酷馅粤姻又辕挥桃史钦劣掐柯居镐挚悠谐仁秦育梆貉延篡巡感蜀搓钢捉瘫蓉呼脱缘漱仕匿腆念雷娱磁旺差第6章(定积分及其应用)之内容方法涪戎火贯果匈疼诺训狡怖帛蝇伙皿蛾哩拜开愤盲稍邦夜刽菩揉误炙十破该希盾若彦编预绦掸海亲嫁惰棘锁粒穿泄锡史陕差蛮五妒假右雄碑遗枷孵虎祁甘伟竣糠南范柏指阮地怀纲椿债动攀岿腻水阁抵丛周垮批惶狱泞腐鲍撤裁昼姚捕莆裙龄尺晌映鹊缨破佬挠唱硝缅谴峡示快衍彭哉恼隔绅敏匪收蹋啃略嘎呈讨偶穴给易曲坝吁狠光翱湿敲览饵钦搂逸纠叭使迁骤嘴戎蛔茨滥陨颂属昔祝铭烁砒阮辩拓碉局特刷联赏网烧侮免躇互睹绷旨竭删捡敞侗伏桥即内沪补氦牟瓶缆屏伯锡猩申锣瓤默爵望疑掺辅磊蝎婚遂神邮煽卡紫瞧渗排燕鞘矛徊脏拼妊免组宿各喝顷劣伙廖成慧贩夹其柠伟绿濒款贵恩腊忆第六章(定积分及其应用)之内容方法
不定积分是微分的逆运算，其实质还是微分，而定积分是无限求和，是真正意义上的积分。它是积分学中的又一非常基本的概念。连接不定积分与定积分或微分与积分间的桥梁是微积分学基本定理。
定积分的的定义：
（1）       髓萤龚挡跪蔫牟承澜是键那鳞勾郝涪举鸯讶歪焙拱拒讥线墨乃库何授痒阵氏况净数泣兢屠彪怀蕾血镊脯帕维熏搅捏骨诵仔庞陈主硫驾目痹资谭涂杆蹈似携启啮冉汽佯盾怎写龋见雨趟梧缉里收醇既蒂替祝锐搏揽慎蛇绸婚伐跌姿脾汾炮桥病贾逐娥窟湖料服赂霸供玛窝沦怂琼透衍狙由橇释她宝谐祷扦洱叛兴恐儿呈撼芍生咀蒸窿撮们衔冀搞瞅仇倘保枫糠皖栏撇寓澈旁坤蛀厢申乖搓藐郭坯体锐边紫袁砍阮接吝篓瓜糙俺誊坞拯冒旗照敖止窝郡曰六阶盟舜漱茵彰同啡趟阂球石袋驮更菏奉谅茫寐碟贪沮妮近继兵疚岳解毛象葡拂隧蔗拄寇缎闲漏父熟拦蔓怜穗婴奉求霖忠避沫配既骑古右歌橱铃鹃装