抛物线与圆的综合知识讲解.doc

拔高专题 抛物线与圆的综合
一、基本模型构建
常见模型

思考
圆与抛物线以及与坐标系相交，根据抛物线的解析式可求交点 坐标 ，根据交点可求三角形的 边长 ，由于圆的位置不同，三角形的形状也不同。再根据三角形的形状，再解决其它问题。
二、拔高精讲精练
探究点一：抛物线、圆和直线相切的问题
例1: （2015•崇左）如图，在平面直角坐标系中，点M的坐标是（5，4），⊙M与y轴相切于点C，与x轴相交于A，B两点．
（1）则点A，B，C的坐标分别是A （2，0） ，B （8，0） ，C （0，4） ；
（2）设经过A，B两点的抛物线解析式为y=（x-5）2+k，它的顶点为E，求证：直线EA与⊙M相切；
（3）在抛物线的对称轴上，是否存在点P，且点P在x轴的上方，使△PBC是等腰三角形？如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．

（1）解：连接MC、MA，如图1所示：∵⊙M与y轴相切于点C，∴MC⊥y轴，∵M（5，4），∴MC=MA=5，OC=MD=4，
∴C（0，4），∵MD⊥AB，∴DA=DB，∠MDA=90°，∴AD==3，∴BD=3，∴OA=5-3=2，OB=5+3=8，
∴A（2，0），B（8，0）；
（2）证明：把点A（2，0）代入抛物线y=（x-5）2+k，得：k=-，∴E（5，-），
∴DE=，∴ME=MD+DE=4+=，EA2=32+（）2=，∵MA2+EA2=52+=，ME2=，
∴MA2+EA2=ME2，∴∠MAE=90°，即EA⊥MA，∴EA与⊙M相切；
（3）解：存在；点P坐标为（5，4），或（5，），或（5，4+）；理由如下：
由勾股定理得：BC===4，分三种情况：①当PB=PC时，点P在BC的垂直平分线上，点P与M重合， ∴P（5，4）；
②当BP=BC=4时，如图2所示：∵PD===，∴P（5，）；③当PC=BC=4时，连接MC，如图3所示：则∠PMC=90°，根据勾股定理得：PM===，∴PD=4+，
∴P（5，4+）；综上所述：存在点P，且点P在x轴的上方，使△PBC是等腰三角形，
点P的坐标为（5，4），或（5，），或（5，4+）．

【变式训练】（2015•柳州）如图，已知抛物线y=-（x2-7x+6）的顶点坐标为M，与x轴相交于A，B两点（点B在点A的右侧），与y轴相交于点C．
（1）用配方法将抛物线的解析式化为顶点式：y=a（x-h）2+k（a≠0），并指出顶点M的坐标；
（2）在抛物线的对称轴上找点R，使得CR+AR的值最小，并求出其最小值和点R的坐标；
（3）以AB为直径作⊙N交抛物线于点P（点P在对称轴的左侧），求证：直线MP是⊙N的切线．

（1）解：∵y=-（x2-7x+6）=-（x2-7x）-3=-（x-）2+，∴抛物线的解析式化为顶点式为：y=-（x-）2+，顶点M的坐标是（，）；
（2）解：∵y=-（x2-7x+6），∴当y=0时，-（x2-7x+6）=0，解得x=1或6，∴A（1，0），B（6，0），∵x=0时，y=-3，∴C（0，-3）．连接BC，则BC与对称轴x=的交点为R，连接AR，则CR+AR=CR+BR=BC，根据两点之间线段最短可知此时CR+AR的值最小，最小值为BC==3．设直线BC的解析式为y=kx+b，∵B（6，0），C（0，-3），∴，解得，∴直线BC的解析式为：y=x-3，令x=，得y=×-3=-，∴R点坐标为（，-）；
（3）证明：设点P坐标为（x，-x2+x-3）．∵A（1，0），B（6，0），∴N（，0），∴以AB为直径的⊙N的半径为AB=，∴NP=，即（x-）2+（-x2+x-3）2=（）2，化简整理得，x4-14x3+65x2-112x+60=0，（x-1）（x-2）（x-5）（x-6）=0，解得x1=1（与A重合，舍去），x2=2，x3=5（在对称轴的右侧，舍去），x4=6（与B重合，舍去），∴点P坐标为（2，2）．∵M（，），N（，0），∴PM2=（2-）2+（2-）2=，PN2=（2-）2+22==，
MN2=（）2=，∴PM2+PN2=MN2，∴∠MPN=90°，∵点P在⊙N上，∴直线MP是⊙N的切线．

【教师总结】本题是二次函数综合题目，考查了坐标与图形性质、垂径定理、二次函数解析式的求法、勾股定理、勾股定理的逆定理、切线的判定、等腰三角形的性质等知识；综合性强．
探究点二：抛物线、圆和三角形的最值问题
例2:（2015•茂名）如图，在平面直角坐标系中，⊙A与x轴相交于C（-2，0），D（-8，0）两点，与y轴相切于点B（0，4）．
（1）求经过B，C，D三点的抛物线的函数表达式；
（2）设抛物线的顶点为E，证明：直线CE与⊙A相切；
（3）在x轴下方的抛物线上，是否存在一点F，使△BDF面积最大，最大值是多少？并求出点F的坐标。

解：（1）设抛物线的解析式为：y=ax2+bx+c，把B（0，4），C（-2，0），D（-8，0）代入得：，
解得．∴经过B，C，D三点的抛物线的函数表达式为：y=x2+x+4；
（2）∵y=x2+x+4=（x+5）2-，∴E（-5，-），设直线CE的函数解析式为y=mx+n，直线CE与y轴交于点G，则，解得：，∴y=x+，在y=x+中，令x=0，y=，∴G（0，），
如图1，连接AB，AC，AG，则BG=OB-OG=4-=，CG===，∴BG=CG，AB=AC，
在△ABG与△ACG中，，∴△ABG≌△ACG，∴∠ACG=∠ABG，∵⊙A与y轴相切于点B（0，4），∴∠ABG=90°，∴∠ACG=∠ABG=90°∵点C在⊙A上，∴直线CE与⊙A相切；
（3）存在点F，使△BDF面积最大， 如图2连接BD，BF，DF，设F（t，t2+t+4），过F作FN∥y轴交BD于点N，设直线BD的解析式为y=kx+d，则，解得．∴直线BD的解析式为y=x+4，
∴点N的坐标为（t，t+4），∴FN=t+4-（t2+t+4）=-t2-2t，∴S△DBF=S△DNF+S△BNF=OD•FN=×8×（-t2-2t）=-t2-8t=-（t+4）2+16，∴当t=-4时，S△BDF最大，最大值是16，当t=-4时，t2+t+4=-2，∴F（-4，-2）．

【变式训练】如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a＞0，c＜0）交x轴于点A，B，交y轴于点C，设过点A，B，C的圆与y轴的另一个交点为D．已知点A，B，C的坐标分别为（-2，0），（8，0），（0，-4）．
（1）求此抛物线的表达式与点D的坐标；
（2）若点M为抛物线上的一动点，且位于第四象限，求△BDM面积的最大值。

解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+c过点A（-2，0），B（8，0），C（0，-4），∴，解得，
∴抛物线的解析式为：y=x2-x-4；∵OA=2，OB=8，OC=4，∴AB=10．如答图1，连接AC、BC，由勾股定理得：AC=，BC=．∵AC2+BC2=AB2=100，∴∠ACB=90°，∴AB为圆的直径．由垂径定理可知，点C、D关于直径AB对称，∴D（0，4）；
（2）解法一：设直线BD的解析式为y=kx+b，∵B（8，0），D（0，4），∴，解得， ∴直线BD解析式为：y=-x+4．设M（x，x2-x-4），如答图2-1，过点M作ME∥y轴，交BD于点E，则E（x，-x+4）．∴ME=（-x+4）-（x2-x-4）=-x2+x+8．∴S△BDM=S△MED+S△MEB=ME（xE-xD）+ME（xB-xE）=ME（xB-xD）=4ME，∴S△BDM=4（-x2+x+8）=-x2+4x+32=-（x-2）2+36．∴当x=2时，△BDM的面积有最大值为36；
解法二：如答图2-2，过M作MN⊥y轴于点N．设M（m，m2-m-4），∵S△OBD=OB•OD==16，S梯形OBMN=（MN+OB）•ON=（m+8）[-（m2-m-4）]=-m（m2-m-4）-4（m2-m-4），
S△MND=MN•DN=m[4-（m2-m-4）]=2m-m（m2-m-4），∴S△BDM=S△OBD+S梯形OBMN-S△MND=16-m（m2-m-4）-4（m2-m-4）-2m+m（m2-m-4）=16-4（m2-m-4）-2m=-m2+4m+32=-（m-2）2+36；∴当m=2时，△BDM的面积有最大值为36．

【教师总结】本题考查了待定系数法求解析式，在解答此类问题时要注意构造出辅助线，利用圆的有关性质、勾股定理、三角形面积的求法等综合求解.

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