第一章-1.2.2-第2课时学习专用.docx

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第2课时　直线与平面平行
学习目标　1.掌握直线与平面的三种位置关系，会判断直线与平面的位置关系.2.学会用图形语言、符号语言表示三种位置关系.3.掌握直线与平面平行的判定定理和性质定理，并能利用两个定理解决空间中的平行关系问题．
知识点一　直线与平面的位置关系
直线与平面的位置关系
定义
图形语言
符号语言
直线在平面内
有无数个公共点

a⊂α
直线与平面相交
有且只有一个公共点

a∩α＝A
直线与平面平行
没有公共点

a∥α
知识点二　直线与平面平行的判定
思考1　如图，一块矩形木板ABCD的一边AB在平面α内，把这块木板绕AB转动，在转动过程中，AB的对边CD(不落在α内)和平面α有何位置关系？
答案　平行．
思考2　如图，平面α外的直线a平行于平面α内的直线b.这两条直线共面吗？直线a与平面α相交吗？
答案　由于直线a∥b，所以两条直线共面，直线a与平面α不相交．
梳理　直线与平面平行的判定定理
文字语言
符号表示
图形表示
如果不在一个平面内一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行
⇒l∥α

知识点三　直线与平面平行的性质
思考1　如图，直线l∥平面α，直线a⊂平面α，直线l与直线a一定平行吗？为什么？
答案　不一定，因为还可能是异面直线．
思考2　如图，直线l∥平面α，直线l⊂平面β，平面α∩平面β＝直线m，满足以上条件的平面β有多少个？直线l，m有什么位置关系？
答案　无数个，l∥m.
梳理　直线与平面平行的性质定理
文字语言
符号表示
图形表示
如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和两平面的交线平行
⇒l∥m

1．若直线l上有两点到平面α的距离相等，则l∥平面α.(　×　)
2．若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线平行．(　×　)
3．两条平行线中的一条直线与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行．(　×　)
类型一　直线与平面平行的判定
例1　已知公共边为AB的两个全等的矩形ABCD和ABEF不在同一平面内，P，Q分别是对角线AE，BD上的点，且AP＝DQ(如图)．求证：PQ∥平面CBE.
证明　方法一　作PM∥AB交BE于点M，作QN∥AB交BC于点N，连接MN，如图，
则PM∥QN，＝，＝.
∵EA＝BD，AP＝DQ，
∴EP＝BQ.
∴＝，
又AB＝CD，∴PM＝QN，
∴四边形PMNQ是平行四边形，
∴PQ∥MN.
又PQ⊄平面CBE，
MN⊂平面CBE，
∴PQ∥平面CBE.
方法二　如图所示，连接AQ并延长交BC的延长线于K，连接EK.
∵AE＝BD，AP＝DQ，
∴PE＝BQ，
∴＝，
又AD∥BK，
∴＝，∴＝，
∴PQ∥EK，
又PQ⊄平面BCE，EK⊂平面BCE，∴PQ∥平面BCE.
反思与感悟　证明直线与平面平行的两种方法
(1)定义法：证明直线与平面没有公共点，一般直接证明较为困难，往往借助于反证法来证明．
(2)定理法：平面外一条直线与平面内的一条直线平行．
跟踪训练1　如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G分别是BC，CC1，BB1的中点，求证：EF∥平面AD1G.
证明　连接BC1，则由E，F分别是BC，CC1的中点知，EF∥BC1.
又AB綊A1B1綊D1C1，
所以四边形ABC1D1是平行四边形，
所以BC1∥AD1，所以EF∥AD1.
又EF⊄平面AD1G，AD1⊂平面AD1G，
所以EF∥平面AD1G.
类型二　线面平行的性质的应用
例2　如图，用平行于四面体ABCD的一组对棱AB，CD的平面截此四面体，求证：截面MNPQ是平行四边形．
证明　因为AB∥平面MNPQ，
平面ABC∩平面MNPQ＝MN，且AB⊂平面ABC，
所以由线面平行的性质定理知，AB∥MN.
同理AB∥PQ，
所以MN∥PQ.同理可得MQ∥NP.
所以截面MNPQ是平行四边形．
引申探究
1．若本例条件不变，求证：＝.
证明　由例1知：PQ∥AB，∴＝.
又QM∥DC，∴＝，
∴＝.
2．若本例中添加条件：AB⊥CD，AB＝10，CD＝8，且BP∶PD＝1∶1，求四边形MNPQ的面积．
解　由例1知，四边形MNPQ是平行四边形，
∵AB⊥CD，∴PQ⊥QM，∴四边形MNPQ是矩形．
又BP∶PD＝1∶1，∴PQ＝5，QM＝4，
∴四边形MNPQ的面积为5×4＝20.
反思与感悟　(1)利用线面平行的性质定理解题的步骤
(2)运用线面平行的性质定理时，应先确定线面平行，再寻找过已知直线的平面与这个平面相交的交线，然后确定线线平行．
跟踪训练2　如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，点E为AD的中点，点F在CD上，若EF∥平面AB1C，则线段FE的长度等于________．
答案　
解析　∵EF∥平面AB1C，又平面ADC∩平面AB1C＝AC，EF⊂平面ADC，∴EF∥AC，∵E是AD的中点，
∴EF＝AC＝×2＝.
类型三　线面平行的综合应用
例3　如图所示，已知P是▱ABCD所在平面外一点，M，N分别是AB，PC的中点，平面PBC∩平面PAD＝l.
(1)求证：l∥BC；
(2)MN与平面PAD是否平行？试证明你的结论．
(1)证明　因为BC∥AD，BC⊄平面PAD，AD⊂平面PAD，
所以BC∥平面PAD.
又因为平面PBC∩平面PAD＝l，且BC⊂平面PBC，所以BC∥l.
(2)解　平行．证明如下：
如图，取PD的中点E，连接AE，NE，
可以证得NE∥AM且NE＝AM，
所以四边形MNEA是平行四边形，所以MN∥AE.
又AE⊂平面PAD，MN⊄平面PAD，
所以MN∥平面PAD.
反思与感悟　判定定理与性质定理常常交替使用，即先通过线线平行推出线面平行，再通过线面平行推出线线平行，复杂的题目还可以继续推下去，我们可称它为平行链，如下：
线线平行线面平行线线平行．
跟踪训练3　如图所示，四边形ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH.
求证：GH∥平面PAD.
证明　如图所示，连接AC交BD于点O，连接MO.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴O是AC的中点，
又M是PC的中点，∴PA∥MO，
而AP⊄平面BDM，OM⊂平面BDM，
∴PA∥平面BMD，
又∵PA⊂平面PAHG，平面PAHG∩平面BMD＝GH，∴PA∥GH.
又PA⊂平面PAD，GH⊄平面PAD，
∴GH∥平面PAD.
1．如图，在正方体ABCD－A′B′C′D′中，E，F分别为平面ABCD和平面A′B′C′D′的中心，则正方体的六个面中与EF平行的平面有(　　)
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
答案　D
解析　由直线与平面平行的判定定理知．EF与平面AB′，平面BC′，平面CD′，平面AD′均平行．故与EF平行的平面有4个．
2．梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊂平面α，CD⊄平面α，则直线CD与平面α内的直线的位置关系只能是(　　)
A．平行 B．平行或异面
C．平行或相交 D．异面或相交
答案　B
解析　∵⇒CD∥α，
∴直线CD与平面α内的直线的位置关系是平行或异面．
3．如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E是DD1的中点，则A1C1与平面ACE的位置关系为________．
考点　直线与平面平行的判定
题点　直线与平面平行的判定
答案　平行
解析　∵A1C1∥AC，A1C1⊄平面ACE，AC⊂平面ACE，∴A1C1∥平面ACE.
4.如图所示，直线a∥平面α，A∉α，并且a和A位于平面α两侧，点B，C∈a，AB，AC分别交平面α于点E，F，若BC＝4，CF＝5，AF＝3，则EF＝______.
答案　
解析　由于点A不在直线a上，则直线a和点A确定一个平面β，所以α∩β＝EF.
因为a∥平面α，a⊂平面β，所以EF∥a.
所以＝.
所以EF＝＝＝.
5.如图，P是平行四边形ABCD所在平面外一点，E，F分别是AB，PD的中点．
求证：AF∥平面PCE.
证明　如图，取PC的中点M，连接ME，MF，则FM∥CD且FM＝CD.
又∵AE∥CD且AE＝CD，
∴FM綊AE，即四边形AFME是平行四边形，
∴AF∥ME.
又∵AF⊄平面PCE，EM⊂平面PCE，
∴AF∥平面PCE.
1．求证两直线平行有两种常用的方法：一是应用基本性质4，证明时要充分应用好平面几何知识，如平行线分线段成比例定理、三角形的中位线定理等．二是证明在同一平面内，这两条直线无公共点．
2．求证角相等也有两种常用的方法：一是应用等角定理，在证明的过程中常用到基本性质4，注意两角对应边方向的讨论．二是应用三角形全等或相似．
3．利用直线与平面平行的判定定理来证明线面平行，关键是寻找面内与已知直线平行的直线，常利用平行四边形、三角形中位线、平行公理等．
4．利用线面平行的性质定理解题的步骤：
(1)确定(或寻找)一条直线平行于一个平面．
(2)确定(或寻找)过这条直线且与这个平面相交的平面．
(3)确定交线，由性质定理得出结论.
一、选择题
1．若直线a，b是异面直线，a⊂β，则b与平面β的位置关系是(　　)
A．平行 B．相交
C．b⊂β D．平行或相交
答案　D
解析　∵a，b异面，且a⊂β，∴b⊄β，∴b与β平行或相交．
2.如图，已知S为四边形ABCD外一点，G，H分别为SB，BD上的点，若GH∥平面SCD，则(　　)
A．GH∥SA
B．GH∥SD
C．GH∥SC
D．以上均有可能
答案　B
解析　因为GH∥平面SCD，GH⊂平面SBD，平面SBD∩平面SCD＝SD，所以GH∥SD，显然GH与SA，SC均不平行，故选B.
3.P为矩形ABCD所在平面外一点，矩形对角线交点为O，M为PB的中点，给出五个结论：
①OM∥PD；②OM∥平面PCD；③OM∥平面PDA；④OM∥平面PBA；⑤OM∥平面PBC.
其中正确的个数为(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
答案　C
解析　由题意知，OM∥PD，则OM∥平面PCD，且OM∥平面PDA.
4．已知直线l∥平面α，P∈α，那么过点P且平行于l的直线(　　)
A．只有一条，不在平面α内
B．只有一条，在平面α内
C．有两条，不一定都在平面α内
D．有无数条，不一定都在平面α内
答案　B
解析　如图所示，∵l∥平面α，P∈α，
∴直线l与点P确定一个平面β，α∩β＝m，
∴P∈m，∴l∥m且m是唯一的．
5．一条直线l上有相异三个点A、B、C到平面α的距离相等，那么直线l与平面α的位置关系是(　　)
A．l∥α
B．l⊥α
C．l与α相交但不垂直
D．l∥α或l⊂α
答案　D
解析　l∥α时，直线l上任意点到α的距离都相等．l⊂α时，直线l上所有的点到α的距离都是0；l⊥α时，直线l上有两个点到α的距离相等；l与α斜交时，也只能有两点到α的距离相等．
6.如图，在三棱柱ABC—A1B1C1中，E是BC的中点，D是AA1上的动点，且＝m，若AE∥平面DB1C，则m的值为(　　)
A. B．1 C. D．2
答案　B
解析　如图，取CB1的中点G，连接GE，DG，当m＝1时，AD＝GE＝BB1且AD∥GE，∴四边形ADGE为平行四边形，则AE∥DG，可得AE∥平面DB1C.
7．如图所示，四边形EFGH为四面体ABCD的一个截面，若＝＝，则与平面EFGH平行的直线有(　　)
A．0条 B．1条 C．2条 D．3条
考点　直线与平面平行的判定
题点　直线与平面平行的判定
答案　C
解析　∵＝，
∴EF∥AB.
又EF⊂平面EFGH，AB⊄平面EFGH，
∴AB∥平面EFGH.
同理，由＝，
可证CD∥平面EFGH.
∴与平面EFGH平行的直线有2条．
二、填空题
8．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为DD1的中点，则BD1与过点A，E，C的平面的位置关系是________．
答案　平行
解析　如图，连接BD，与AC交于点O，连接OE.
∵OE为△BDD1的中位线，∴BD1∥OE.
又BD1⊄平面AEC，OE⊂平面AEC，
∴BD1∥平面AEC.
9.如图，四边形ABDC是梯形，AB∥CD，且AB∥平面α，M是AC的中点，BD与平面α交于点N，AB＝4，CD＝6，则MN＝________.
答案　5
解析　∵AB∥平面α，AB⊂平面ABDC，平面ABDC∩平面α＝MN，∴AB∥MN.
又M是AC的中点，∴MN是梯形ABDC的中位线，故MN＝(AB＋CD)＝5.
10.如图所示，ABCD－A1B1C1D1是正方体，若过A，C，B1三点的平面与底面A1B1C1D1的交线为l，则l与AC的关系是________．
答案　平行
解析　∵AC∥A1C1，A1C1⊂平面A1B1C1D1，AC⊄平面A1B1C1D1，

智慧树《管理学》答案∴AC∥平面A1B1C1D1.

教科版五年级下册科学连线题∵平面ACB1∩平面A1B1C1D1＝l，

教学质量综合测评∴AC∥l.
11．过三棱柱ABC－A1B1C1的任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB1A1平行的直线共有________条．

改革开放的历史性标志是()。答案　6
解析　如图所示，与平面ABB1A1平行的直线有6条：D1E1，E1E，ED，DD1，D1E，DE1.

有限空间作业试题三、解答题
12．如图，四边形ABCD为正方形，△ABE为等腰直角三角形，AB＝AE，P是线段CD的中点，在直线AE上是否存在一点M，使得PM∥平面BCE.若存在，指出点M的位置，并证明你的结论．

新叶阅读答案解　如图，存在点M，当点M是线段AE的中点时，

新教师听公开课PM∥平面BCE.
取BE的中点N，连接CN，MN，

植物细胞教学设计第二课时则MN綊AB綊PC，
所以四边形MNCP为平行四边形，所以PM∥CN.

教案的教学反思怎么写因为PM⊄平面BCE，CN⊂平面BCE，

探究学习法所以PM∥平面BCE.
13．如图，在三棱台DEF－ABC中，AB＝2DE，G，H分别为AC，BC的中点．
求证：BD∥平面FGH.
证明　如图，连接DG，CD，设CD∩GF＝O，连接OH.
在三棱台DEF－ABC中，AB＝2DE，G为AC的中点，可得DF綊GC，
所以四边形DFCG为平行四边形，
则O为CD的中点，
又H为BC的中点，所以OH∥BD.
又OH⊂平面FGH，BD⊄平面FGH，
所以BD∥平面FGH.
四、探究与拓展
14．下列四个正方体图形中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形的是(　　)
A．①③ B．①④
C．②③ D．②④
答案　B
解析　①如图(ⅰ)，连接BC，则平面ABC∥平面MNP，所以AB∥平面MNP，所以①正确．②如图(ⅱ)，连接底面正方形对角线，并取其中点O，连接ON，则ON∥AB，所以AB与平面PMN相交，不平行，所以②不满足题意．③AB与平面PMN相交，不平行，所以③不满足题意．④因为AB∥NP，所以AB∥平面MNP.所以④正确．
故答案为①④.
15.如图，在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形，AB∥CD.AB＝4.BC＝CD＝2，AA1＝2，E，E1，F分别是棱AD，AA1，AB的中点．
证明：直线EE1∥平面FCC1.
证明　如图，在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，
取A1B1的中点F1，连接A1D，C1F1，CF1，FF1.
∵FF1∥BB1∥CC1，
∴F1F⊂平面FCC1，
∴平面FCC1即为平面C1CFF1.
∵AB＝4，CD＝2且AB∥CD，∴CD綊A1F1，
∴A1F1CD为平行四边形，
∴CF1∥A1D.
又E，E1分别是棱AD，AA1的中点，
∴EE1∥A1D，∴CF1∥EE1，
又EE1⊄平面FCC1，CF1⊂平面FCC1，
∴直线EE1∥平面FCC1.
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