三角恒等变换专题复习(带答案)资料.doc

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三角恒等变换专题复习
教学目标：
1、能利用单位圆中的三角函数线推导出 的正弦、余弦、正切的诱导公式；
2、理解同角三角函数的基本关系式： ；
3、可熟练运用三角函数见的基本关系式解决各种问题。
教学重难点：
可熟练运用三角函数见的基本关系式解决各种问题
【基础知识】
一、同角的三大关系：
① 倒数关系 tan•cot=1 ② 商数关系 = tan ； = cot
③ 平方关系
温馨提示：
（1）求同角三角函数有知一求三规律，可以利用公式求解，最好的方法是利用画直角三角形速解。[来源:学+科+网]
（2）利用上述公式求三角函数值时，注意开方时要结合角的范围正确取舍“”号。
二、诱导公式口诀：奇变偶不变，符号看象限
用诱导公式化简，一般先把角化成的形式，然后利用诱导公式的口诀化简（如果前面的角是90度的奇数倍，就是 “奇”，是90度的偶数倍，就是“偶”；符号看象限是，把看作是锐角，判断角在第几象限，在这个象限的前面三角函数的符号是 “+”还是“--”，就加在前面）。
用诱导公式计算时，一般是先将负角变成正角，再将正角变成区间的角，再变到区间的角，再变到区间的角计算。
三、和角与差角公式 ：
;
;

变 用 ±= (±)(1)
四、二倍角公式：
= .
.

五、注意这些公式的来弄去脉
这些公式都可以由公式推导出来。
六、注意公式的顺用、逆用、变用。
如：逆用
变用
七、合一变形（辅助角公式）
把两个三角函数的和或差化为“一个三角函数，一个角，一次方”的 形式。，其中．
八、万能公式

九、用，表示

十、积化和差与和差化积
积化和差 ；
；
；
.
和差化积

十一、方法总结
1、三角恒等变换方法
观察（角、名、式）→三变（变角、变名、变式）
（1） “变角”主要指把未知的角向已知的角转化，是变换的主线，
如α=(α+β)－β=(α－β)+β, 2α=(α+β)+ (α－β), 2α=(β+α)－(β－α),α+β=2· , = (α－)－(－β)等.
（2）“变名”指的是切化弦（正切余切化成正弦余弦），
（3）“变式’指的是利用升幂公式和降幂公式升幂降幂，利用和角和差角公式、合一变形公式展开和合并等。
2、恒等式的证明方法灵活多样
①从一边开始直接推证,得到另一边,一般地,如果所证等式一边比较繁而另一边比较简时多采用此法,即由繁到简.
②左右归一法,即将所证恒等式左、右两边同时推导变形,直接推得左右两边都等于同一个式子.
③比较法, 即设法证明: "左边－右边=0" 或" =1";
④分析法,从被证的等式出发,逐步探求使等式成立的充分条件,一直推到已知条件或显然成立的结论成立为止,则可以判断原等式成立.
【例题精讲】
例1 已知为第四象限角，化简：
解：（1）因为为第四象限角
所以原式=

例2 已知，化简
解：，
所以原式=
例3 tan20°+4sin20°
解：tan20°+4sin20°=
=
例4 （05天津）已知，求及．
解：解法一：由题设条件，应用两角差的正弦公式得
，即 ①
由题设条件，应用二倍角余弦公式得

故 ② 由①和②式得，
因此，，由两角和的正切公式
解法二：由题设条件，应用二倍角余弦公式得，
解得　　，即 由可得
由于，且，故a在第二象限于是，
从而 以下同解法一
小结：1、本题以三角函数的求值问题考查三角变换能力和运算能力，可从已知角和所求角的内在联系（均含）进行转换得到．
2、在求三角函数值时，必须灵活应用公式，注意隐含条件的使用，以防出现多解或漏解的情形．
例5 已知为锐角的三个内角，两向量，，若与是共线向量.
（1）求的大小；
（2）求函数取最大值时，的大小.
解：（1）
，

（2）
，．
小结：三角函数与向量之间的联系很紧密，解题时要时刻注意
例6 设关于x的方程sinx＋cosx＋a＝0在(0, 2π)内有相异二解α、β.
(1)求α的取值范围; (2)求tan(α＋β)的值.
解: (1)∵sinx＋cosx＝2(sinx＋cosx)＝2 sin(x＋), ∴方程化为sin(x＋)＝－.
∵方程sinx＋cosx＋a＝0在(0, 2π)内有相异二解, ∴sin(x＋)≠sin＝ .
又sin(x＋)≠±1 (∵当等于和±1时仅有一解), ∴|－|<1 . 且－≠. 即|a|<2且a≠－.
∴ a的取值范围是(－2, －)∪(－, 2).
(2) ∵α、 β是方程的相异解, ∴sinα＋cosα＋a＝0 ①. sinβ＋cosβ＋a＝0 ②.
①－②得(sinα－ sinβ)＋( cosα－ cosβ)＝0. ∴ 2sincos－2sin
sin＝0, 又sin≠0, ∴tan＝.∴tan(α＋β)＝＝.
小结：要注意三角函数实根个数与普通方程的区别，这里不能忘记(0, 2π)这一条件.
例7 已知函数在区间上单调递减，试求实数的取值范围．
解：已知条件实际上给出了一个在区间上恒成立的不等式．
任取，且，则不等式恒成立，即恒成立．化简得
由可知：，所以
上式恒成立的条件为：.
由于

且当时，，所以 ,
从而 ,
有 , 故 的取值范围为.

【基础精练】
1．已知α是锐角，且sin＝，则sin的值等于(　　)
A.　　　　　 B．－ C. D．－

2．若－2π＜α＜－，则 的值是(　　)
A．sin　　　　　B．cos C．－sin D．－cos

3.·等于 (　　)
A.－sinα B.－cosα C.sinα D.cosα

4.已知角α在第一象限且cosα＝，则等于 (　　)
A.　　　　　　　B. C. D.－

5.定义运算＝ad－bc.若cosα＝，＝，0<β<α<，则β等于(　　)
A. B. C. D.

6.已知tanα和tan(－α)是方程ax2＋bx＋c＝0的两个根，则a、b、c的关系是 (　　)
A.b＝a＋c B.2b＝a＋c C.c＝b＋a D.c＝ab

7.设a＝(sin56°－cos56°)，b＝cos50°cos128°＋cos40°cos38°，c＝，d＝(cos80°－2cos250°＋1)，则a，b，c，d的大小关系为 (　　)
A.a＞b＞d＞c B.b＞a＞d＞c C.d＞a＞b＞c D.c＞a＞d＞b

8．函数y＝sin2x＋sin2x，x∈R的值域是(　　)
A. B.
C. D.

9.若锐角α、β满足(1＋tanα)(1＋tanβ)＝4，则α＋β＝　　　　.

10.设α是第二象限的角，tanα＝－，且sin<cos，则cos＝　　　　.

11.已知sin(x)=，0<x<，求的值。

12.若，，求α+2β。

【拓展提高】
1、设函数f(x)＝sin(－)－2cos2＋1
(1)求f(x)的最小正周期.
(2)若函数y＝g(x)与y＝f(x)的图像关于直线x＝1对称，求当x∈[0，]时y＝g(x)的最大值

2.已知向量a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)，|a－b|＝
(1)求cos(α－β)的值；
(2)若0<α<，－<β<0，且sinβ＝－，求sinα.

3、求证：－2cos（α+β）=.

【基础精练参考答案】

4．C【解析】原式＝
＝＝＝2×(cosα＋sinα)＝2×(＋)＝.
5.D【解析】依题设得：sinα·cosβ－cosα·sinβ＝sin (α－β)＝.
∵0<β<α<，∴cos(α－β)＝. 又∵cosα＝，∴sinα＝.
sinβ＝sin[α－(α－β)]＝sinα·cos(α－β)－cosα·sin(α－β) ＝×－×＝，∴β＝.
6.C【解析】 ∴tan＝tan[(－α)＋α]＝＝1，
∴－＝1－，∴－b＝a－c，∴c＝a＋b.
7.B【解析】a＝sin(56°－45°)＝sin11°，b＝－sin40°cos52°＋cos40°sin52°＝sin(52°－40°)＝sin12°，c＝＝cos81°＝sin9°，d＝(2cos240°－2sin240°)＝cos80°＝sin10°
∴b＞a＞d＞c.
8.C【解析】y＝sin2x＋sin2x＝sin2x－cos2x＋＝sin＋，故选择C.
9. 【解析】由(1＋tanα)(1＋tanβ)＝4，可得＝，即tan(α＋β)＝.
又α＋β∈(0，π)，∴α＋β＝.
10. －解析：∵α是第二象限的角，∴可能在第一或第三象限，又sin<cos，∴为第三象限的角， ∴cos<0.∵tanα＝－，∴cosα＝－，∴cos＝－ ＝－.

12.【解析】∵，∴
∴，α+2β,又tan2β=,,[来源:Zxxk.Com]∴α+2β=
【拓展提高参考答案】
1、【解析】 (1)f(x)＝sincos－cossin－cosx＝sinx－cosx
＝sin(x－)，故f(x)的最小正周期为T＝＝8
(2)法一：在y＝g(x)的图象上任取一点 (x，g(x))，它关于x＝1的对称点(2－x，g(x)).
由题设条件，点(2－x，g(x))在y＝f(x)的图象上，从而g(x)＝f(2－x)＝sin[(2－x)－]
＝sin[－x－]＝cos(x＋)，
当0≤x≤时， ≤x＋≤，因此y＝g(x)在区间[0，]上的最大值为g(x)max＝cos＝.
法二：因区间[0，]关于x＝1的对称区间为[，2]，且y＝g(x)与y＝f(x)的图象关于x＝1对称，故y＝g(x)在[0，]上的最大值为y＝f(x)在[，2]上的最大值，由(1)知f(x)＝sin(x－)，
当≤x≤2时，－≤x－≤，因此y＝g(x)在[0，]上的最大值为g(x)max＝sin＝.
2、【解析】(1)∵a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)， ∴a－b＝(cosα－cosβ，sinα－sinβ).
∵|a－b|＝，∴＝， 即2－2cos(α－β)＝，∴cos(α－β)＝.
(2)∵0<α<，－<β<0，∴0<α－β<π，∵cos(α－β)＝，∴sin(α－β)＝ ∵sinβ＝－，∴cosβ＝，
∴sinα＝sin[(α－β)＋β]＝sin(α－β)cosβ＋cos(α－β)sinβ＝·＋·(－)＝