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高一下期数学知识点
一．三角恒等变换
1、两角和与差的正弦、余弦和正切公式：
⑴；⑵；
⑶；⑷；
⑸ （）；
⑹ （）．
2、二倍角的正弦、余弦和正切公式：
⑴．
⑵
升幂公式
降幂公式，．
⑶．

3、（辅助角公式）合一变形把两个三角函数的和或差化为“一个三角函数，一个角，一次方”的 形式。，其中．
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二．数列
基本概念
1.数列的定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每个数称为该数列的项.
2.通项公式：如果数列的第项与序号之间可以用一个式子表示,那么这个公式叫做这个数列的通项公式，即.
3.递推公式：如果已知数列的第一项（或前几项），且任何一项与它的前一项（或前几项）间的关系可以用一个式子来表示，即或，那么这个式子叫做数列的递推公式. 如数列中，，其中是数列的递推公式.
4.数列的前项和与通项的公式
①； ②.
5. 数列的表示方法：解析法、图像法、列举法、递推法.
6. 数列的分类：有穷数列，无穷数列；递增数列，递减数列，摆动数列，常数数列；有界数列，无界数列.
①递增数列:对于任何,均有.
②递减数列:对于任何,均有.
③摆动数列:例如:
④常数数列:例如:6,6,6,6,…….
⑤有界数列:存在正数使.
⑥无界数列:对于任何正数,总有项使得.
等差数列
1.等差数列的概念
如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，这个数列叫做等差数列，常数称为等差数列的公差.
2.通项公式与前项和公式
⑴通项公式，为首项，为公差.
⑵前项和公式或.
3.等差中项
如果成等差数列，那么叫做与的等差中项.
即：是与的等差中项，，成等差数列.
4.等差数列的判定方法
⑴定义法：（，是常数）是等差数列；
⑵中项法：()是等差数列.
5.等差数列的常用性质
⑴数列是等差数列，则数列、（是常数）都是等差数列；
⑵在等差数列中，等距离取出若干项也构成一个等差数列，即为等差数列，公差为.
⑶；(,是常数)；(,是常数，)
⑷若，则；
⑸若等差数列的前项和，则是等差数列；
⑹当项数为，则；
当项数为，则.
等比数列
1.等比数列的概念
如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的比等于同一个常数，这个数列叫做等比数
列，常数称为等比数列的公比.
2.通项公式与前项和公式
⑴通项公式：，为首项，为公比 .
⑵前项和公式：①当时，
②当时，.
3.等比中项
如果成等比数列，那么叫做与的等比中项.
即：是与的等差中项，，成等差数列.
4.等比数列的判定方法
⑴定义法：（，是常数）是等比数列；
⑵中项法：()且是等比数列.
5.等比数列的常用性质
⑴数列是等比数列，则数列、（是常数）都是等比数列；
⑵在等比数列中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即为等比数列，公比为.
⑶
⑷若，则；
⑸若等比数列的前项和，则、、、是等比数列.

三．平面向量
1.向量的概念：既有大小又有方向的量叫向量,有二个要素：大小、方向.
2.向量的表示方法：
①用有向线段表示-----(几何表示法)；
②用字母、等表示(字母表示法)；
③平面向量的坐标表示（坐标表示法）：
分别取与轴、轴方向相同的两个单位向量、作为基底。任作一个向量，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数、，使得，叫做向量的（直角）坐标，记作，其中叫做在轴上的坐标，叫做在轴上的坐标， 特别地，，，。；若，，则，
3.零向量、单位向量：
①长度为0的向量叫零向量，记为；
②长度为1个单位长度的向量，叫单位向量.（注：就是单位向量）
4.平行向量：
①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；
②我们规定与任一向量平行.向量、、平行，记作∥∥.共线向量与平行向量关系：平行向量就是共线向量.
性质：是唯一）
（其中 ）

5.相等向量和垂直向量：
①相等向量：长度相等且方向相同的向量叫相等向量.
②垂直向量——两向量的夹角为
性质：. （其中 ）
6.向量的加法、减法：
①求两个向量和的运算，叫做向量的加法。向量加法的三角形法则和平行四边形法则。
平行四边形法则：
（起点相同的两向量相加，常要构造平行四边形）

三角形法则

——加法法则的推广： ……
即个向量……首尾相连成一个封闭图形，则有……
②向量的减法向量加上的相反向量，叫做与的差。即： -= + (-)；
差向量的意义： = , =, 则=-

③平面向量的坐标运算：若，，则，，。
④向量加法的交换律：+=+；向量加法的结合律：(+) +=+ (+)
⑤常用结论：
（1）若，则D是AB的中点
（2）或G是△ABC的重心，则
7．向量的模：
1、定义：向量的大小，记为 || 或 ||
2、模的求法：
若 ，则 ||
若， 则 ||
3、性质：
（1）； （实数与向量的转化关系）
（2），反之不然
（3）三角不等式：
（4） （当且仅当共线时取“=”）
即当同向时 ，； 即当同反向时 ，
（5）平行四边形四条边的平方和等于其对角线的平方和，
即
8．实数与向量的积：实数λ与向量的积是一个向量，记作：λ
（1）|λ|=|λ|||；
（2）λ>0时λ与方向相同；λ<0时λ与方向相反；λ=0时λ=；
（3）运算定律 λ(μ)=(λμ)，(λ+μ)=λ+μ，λ(+)=λ+λ

交换律：;分配律：. ()·=(·)=·();
①不满足结合律：即
②向量没有除法运算。如：，都是错误的
（4）已知两个非零向量，它们的夹角为，则 =
坐标运算：，则
（5）向量在轴上的投影为：
︱︱， （为的夹角，为的方向向量）
其投影的长为 （为的单位向量）
（6）的夹角和的关系：
（1）当时，同向；当时，反向
（2）为锐角时，则有； 为钝角时，则有
9．向量共线定理：
向量与非零向量共线（也是平行）的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使=λ。
10．平面向量基本定理：
如果，是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数λ1，λ2使=λ1+λ2。
(1)不共线向量、叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；
(2)基底不惟一，关键是不共线；
(3)由定理可将任一向量在给出基底、的条件下进行分解；
(4)基底给定时，分解形式惟一. λ1，λ2是被，，唯一确定的数量。
向量坐标与点坐标的关系：当向量起点在原点时，定义向量坐标为终点坐标，即若A(x，y)，则=（x,y）；当向量起点不在原点时，向量坐标为终点坐标减去起点坐标，即若A（x1,y1），B（x2,y2），则=(x2-x1,y2-y1)
11. 向量和的数量积：
①·=| |·||cos，其中∈[0，π]为和的夹角。
②||cos称为在的方向上的投影。
③·的几何意义是：的长度||在的方向上的投影的乘积，是一个实数（可正、可负、也可是零），而不是向量。
④若 =（，）, =（x2，）, 则
⑤运算律：a· b=b·a, (λa)· b=a·(λb)=λ（a·b）， （a+b）·c=a·c+b·c。
⑥和的夹角公式：cos=＝
⑦||2=x2+y2，或||=⑧| a·b |≤| a |·| b |。

12.两个向量平行的充要条件：
符号语言：若∥，≠，则=λ
坐标语言为：设=（x1,y1），=(x2,y2)，则∥(x1,y1)=λ(x2,y2)，即，或x1y2-x2y1=0
在这里，实数λ是唯一存在的，当与同向时，λ>0；当与异向时，λ<0。
|λ|=，λ的大小由及的大小确定。因此，当，确定时，λ的符号与大小就确定了。这就是实数乘向量中λ的几何意义。
13.两个向量垂直的充要条件：
符号语言：⊥·=0坐标语言：设=(x1,y1), =(x2,y2)，则⊥x1x2+y1y2=0
四．解三角形
一 正弦定理
（一）知识与工具：
正弦定理：在△ABC中，。
在这个式子当中，已知两边和一角或已知两角和一边，可以求出其它所有的边和角。
注明：正弦定理的作用是进行三角形中的边角互化，在变形中，注意三角形中其他条件的应用：
(1)三内角和为180°
(2)两边之和大于第三边，两边之差小于第三边
(3)面积公式：S=absinC==2R2sinAsinBsinC
(4)三角函数的恒等变形。
sin(A+B)=sinC，cos(A+B)=-cosC ，sin=cos，cos=sin
（二）题型 使用正弦定理解三角形共有三种题型
题型1 利用正弦定理公式原型解三角形
题型2 利用正弦定理公式的变形(边角互化)解三角形：关于边或角的齐次式可以直接边角互化。
题型3 三角形解的个数的讨论
方法一：画图看

方法二：通过正弦定理解三角形，利用三角形内角和与三边的不等关系检验解出的结果是否符合实际意义，从而确定解的个数。
二 余弦定理
（一）知识与工具：
a2=b2+c2﹣2bccosA cosA=
b2=a2+c2﹣2accosB cosB=
c2=a2+b2﹣2abcosC cosC=
注明：余弦定理的作用是进行三角形中的边角互化，当题中含有二次项时，常使用余弦定理。在变形中，注意三角形中其他条件的应用：
(1)三内角和为180°；
(2)两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。
(3)面积公式：S=absinC==2R2sinAsinBsinC
附：三角形的五个“心”；
重心：三角形三条中线交点.
外心：三角形三边垂直平分线相交于一点.
内心：三角形三内角的平分线相交于一点.
垂心：三角形三边上的高相交于一点.
五．不等式
一、不等式的主要性质：
(1)对称性： (2)传递性：
(3)加法法则：；
(4)乘法法则：；

(5)倒数法则：
(6)乘方法则：
(7)开方法则：
二、一元二次不等式和及其解法

二次函数

（）的图象

一元二次方程

有两相异实根

有两相等实根

无实根

R

注意：一般常用因式分解法、求根公式法求解一元二次不等式
顺口溜：在二次项系数为正的前提下：大于型取两边，小于型取中间
三、均值不等式
1.均值不等式：如果a,b是正数，那么
2、使用均值不等式的条件：一正、二定、三相等
3、平均不等式：平方平均≥算术平均≥几何平均≥调和平均（a、b为正数），即
（当a = b时取等）
四、含有绝对值的不等式
1．绝对值的几何意义：是指数轴上点到原点的距离；是指数轴上两点间的距离
2、

3．当时， 或，
；
当时，，．
4、解含有绝对值不等式的主要方法：
①解含绝对值的不等式的基本思想是去掉绝对值符号，将其等价转化为一元一次（二次）不等式（组）进行求解；
②去掉绝对值的主要方法有：
（1）公式法：，或．
（2）定义法：零点分段法； （3）平方法：不等式两边都是非负时，两边同时平方．
五、其他常见不等式形式总结：
①分式不等式的解法：先移项通分标准化，则

②无理不等式：转化为有理不等式求解

③指数不等式：转化为代数不等式

④对数不等式：转化为代数不等式

六、三角不等式：
七、不等式证明的几种常用方法
比较法（做差法、做商法）、综合法、分析法、换元法、反证法、放缩法。
八、数轴穿跟法: 奇穿，偶不穿
例题：不等式的解为（ ）
A．－1<x≤1或x≥2 B．x<－3或1≤x≤2
C．x=4或－3<x≤1或x≥2 D．x=4或x<－3或1≤x≤2
九、零点分段法
例题：求解不等式：．