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一个飞行管理问题

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一个飞行管理问题
摘 要
本文研究的是对在一定区域范围内作水平飞行的飞机管理问题，通过对原飞行方向角进行调整，避免飞机相撞确保飞机安全，为此建立了一个非线性规划模型，其约束条件为任意两架飞机不相撞的安全距离大于8公里，飞行方向角调整的幅度不应超过30度，为达到飞机飞行方向角调整的幅度尽可能地小，确定目标函数为区域内所有飞机调整角度的平方和最小。
为了使模型的求解更方便，在约束条件中将任意时刻飞机之间的安全距离大于8公里转化为在区域内飞机之间的最小安全距离大于8公里。
用MATLAB编程软件对给定数据的模型进行求解，得到问题所给数据模型的结果：第一，第二，第五架飞机方向角可不偏转，第三架，第六架飞机的飞行方向角度顺时针偏转约0.50度。列表如下：

-0.0004
-0.0004
2.0019
-0.4960
0.0005
1.5676

目标函数：
本文还对模型的稳定性进行分析，对最极端不利的几种可能出现的情况进行了分析和计算，从而得到了较满意的结果，说明所建立的模型的稳定性强。

关键词：非线性规划；最优解；最小调整幅度；滞后时间

二、问题重述
在约10,000米高空的某边长160公里的正方形区域内,经常有若干架飞机作水平飞行。区域内每架飞机的位置和速度向量均由计算机记录其数据,以便进行飞行管理。当一架欲进入该区域的飞机到达区域边缘时,记录其数据后,要立即计算并判断是否会与区域内的飞机发生碰撞,如果会碰撞,则应计算如何调整各架(包括新进入的)飞机飞行的方向角,以避免碰撞。现假定条件如下
（1) 不碰撞的标准为任意两架飞机的距离大于8公里；
（2) 飞机飞行方向角调整的幅度不应超过30度；
（3) 所有飞机飞行速度均为每小时800公里；
（4) 进入该区域的飞机在区域边缘时,与区域内飞机的距离应在60公里以上；
（5) 最多需考虑6架飞机；
（6) 不必考虑飞机离开此区域后的状况。
请你对这个避免碰撞的飞行管理问题建立数学模型,列出计算步骤,对以下数据进行计算(方向角误差不超过0.01度),要求飞机飞行方向角调整的幅度尽量小。
设该区域4个顶点的座标为：
(0,0),(160,0),(160,160),(0,160)。
记录数据为：
飞机编号 横座标X 纵座标Y 方向角(度)
1 150 140 243
2 85 85 236
3 150 155 220.5
4 145 50 159
5 130 150 230
新进入 0 0 52
注：方向角指飞行方向与X轴正向的夹角。
试根据实际背景对你的模型进行评价与推广。

二、问题分析
该问题是一个在一定的约束条件下的最优化的问题，即在边长160公里的正方形区域内如何调整各架飞机的飞行方向角，使各飞机不发生碰撞的最优化方案，从题目中的约束条件分析，不碰撞的标准为任意两架飞机的距离大于8公里和飞机飞行方向角调整的幅度不应超过30度可以初步确定为模型的目标项和约束项；因此，初步定模型的目标项为飞机飞行飞行方向角调整的幅度尽量小，约束项为任意时刻飞机之间的安全距离大于8公里且该区域内的飞机不发生相互碰撞。建立了非线性规划模型，利用MATLAB编程软件对给定数据的模型进行求解，得出最优化方案。

三、模型假设
(1)不碰撞的标准为任意两架飞机的距离大于8公里；
(2) 飞机飞行方向角调整的幅度不应超过30度；
(3) 所有飞机飞行速度均为每小时800公里；
(4) 进入该区域的飞机在区域边缘时,与区域内飞机的距离应在60公里以上；
(5) 最多需考虑6架飞机；
(6) 不必考虑飞机离开此区域后的状况；
(7)计算机及记录新进入飞机数据列给各飞机发指令隔,小于0.5分；
(8)飞机接到指令后立即转到所算需要的角度，即不考虑转变半径的影响；
(9)飞机进入控制区域后完全服从地面控制台的调度，飞机接到指令时保持飞行状态不变。

四、符号说明

第架飞机的初始位置坐标

第架飞机的初始方向角

第架飞机的方向角

第架飞机的偏转角

时刻两架飞机之间的距离

两架飞机预计最短距离

飞机飞行的速度

时间参数

五、模型建立与求解
表示时刻两架飞机之间的距离；

其中=，=。
以各飞机调整的飞机角度平方和作为目标函数，就可以得到本问题中的数学模型：

其中，=，=；
当时，；
其中为飞机沿调整后方向在控制区飞行的时间。
但在求解的过程中，要确定一般情况下比较繁琐，很难确定它的值。
为了使模型的计算更方便，我们对以上的模型进行如下的修改：
由于飞机飞过边长160公里的正方形区域所需的时间不超过0.28小时（即飞机沿正方形区域对角线飞行所用的时间），故可认为当且仅当，且的时候飞机在区域中相互碰撞，否则就不会碰撞，这样实际上是使得飞机相互之间不相撞的条件更为苛刻了一些，也相当于对飞机飞离该区域后的情况作了部分的考虑，从而提高了全局控制的安全性。
关乎的一些算法运算的问题，要对任意时刻进行判断比较的困难，所以可将条件转化为，两飞机的最小距离；
又有

令，

当时，
解得：
又当飞行时间在范围内，飞机刚进入边长160公里的正方形区域的时间在范围时：

又当初始时间在时，得出：

而初始时间在时，得出：

但当时，第架飞机飞行方向角一致，得出：

综上得到改进的数学模型：

六、模型检验
下面对一些特殊情况进行验算

（,,）
飞机1 (0,70,0) 4.2955
飞机2 (55,5,9) -3.0404
飞机3 (90,60,180) -1.4329
飞机4 (40,130,270) 0.0007
飞机5 (80,5,180) -0.0010
飞机6 (0,60,0) -8.7665

（,,）
飞机1 (60,80,180) 6.5672
飞机2 (60,70,180) 6.0517
飞机3 (60,60,180) 5.5368
飞机4 (60,90,180) -4.9475
飞机5 (60,100,180) -4.4337
飞机6 (0,80,0) 8.7573

（,,）
飞机1 (60,100,270) -5.9694
飞机2 (70,100,270) 6.0090
飞机3 (80,10,270) 5.4942
飞机4 (50,100,270) -5.4546
飞机5 (40,100,270) -4.9404
飞机6 (0,40,0) -4.8505

七、模型评价与推广
优点：
以上建立的非线性规划模型原理简单，操作便捷，运行结果在精度和耗时两方面均能令人满意，具有一定的实用性，比较完整地解决了原始的问题，而且非线性规划方法具有一般性。
缺点：
本文建立的模型在一些方面确实存在一定的不足之处，当飞机数目增多时，会由于约束条件的增加从而使得计算时间大幅度增加，另外，非线性处理中得到的只是一个最优解，至于这个解是属于局部最优还是整体最优，比较难确定。
改进：
建议将非线性规划约束结合相对速度转化为线性约束，以提高运算速度，增加精度同时也应对模型处理结果进行更深一步地检验。
推广：
可以推广到空城飞行管理的其它情况，比如控制区域内飞机数量及坐标与题中不同的情况。

八、参考文献
【1】张丽华，周永芳，数学建模，北京：科学出版社，2010.
【2】程极泰，最优设计的数学方法，北京：国防工业出版社，1994.
【3】王正林，精通MATLAB科学计算，北京：电子工业出版社，2009.

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