山西省2021届高三第三次四校联考数学(文)试卷-Word版含答案.docx

2021届高三班级第三次四校联考
数学（文）试题
命题：忻州一中 康杰中学 长治二中 临汾一中
(考试时间120分钟 满分150分)
一、选择题(5×12＝60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项用2B铅笔涂黑答题纸上对应题目的答案标号)
1.设全集为R，集合A=，B=，则
A. B. C. D.
2.已知复数为虚数单位，则的共轭复数是
A. B. C. D.
3.若等比数列满足，，则公比
A. B. C. D.
4.若椭圆的离心率为，则双曲线的渐近线方程为
A. B. C. D.
5.已知命题使；命题，下列是真命题的是
A. B. C. D.
6.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为
A. B. C. D.
7.在面积为的内部任取一点，则的面积大于
的概率为
A. B. C. D.

8.假如执行如图的程序框图，那么输出的值是
A. 2022            B. 2 C.                    D.
9.已知函数，则函数的
大A
x
y
O
B
x
y
O
D
x
y
O
y
C
x
O
致图象是

10.在半径为的球面上有三点，假如，，则球心到平面的距离为
A. B. C. D.
11.已知函数的部分图象如图所示，
1

x
o
y
则取得最小值时的集合为
A. B.
C. D.
12.已知点是抛物线的对称轴与准线的交点，点为抛物线的焦点，在抛物线上且满足，当取最大值时，点恰好在以为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为
A． B． C． D．
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在答题纸的相应位置上)
13.已知向量，，若，则 .
14.设变量满足约束条件，则的最小值是 .
15.设数列满足，点对任意的，都有向量
，则数列的前项和 .
16.已知函数，若函数有且仅有两个零点，
则实数的取值范围是 .
三、解答题(本大题6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，并把解答写在答卷纸的相应位置上)
17. (本小题满分12分)
在ΔABC中，内角所对的边分别为.
若－.
（1）求角C的大小；
（2）已知，ΔABC的面积为. 求边长的值.
0
1
1
甲
乙
9 9
1 1
8 9
x 2
（18题图）
18. (本小题满分12分)
如图所示,茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学完成某道
数学题(满分12分)的得分状况.乙组某个数据的个位数模糊，
记为，已知甲、乙两组的平均成果相同.
（1）求的值，并推断哪组同学成果更稳定;
（2）在甲、乙两组中各抽出一名同学，求这两名同学的得分之和低于20分的概率.
19. (本小题满分12分)
如图，是圆的直径，点在圆上,矩形所
在的平面垂直于圆所在的平面,，．
（1）证明：平面平面；
（2）当三棱锥的体积最大时，求点到平面
（19题图）
的距离．
20. (本小题满分12分)
已知点,点是圆C：上的任意一点,，线段的垂直
平分线与直线交于点.
（1）求点的轨迹方程；
（2）若直线与点的轨迹有两个不同的交点和，且原点总在以
为直径的圆的内部，求实数的取值范围．
21. (本小题满分12分)
设函数，.
(1) 若曲线在点处的切线与直线垂直，求的单调递减区间和微小值（其中为自然对数的底数）；
（2）若对任意，恒成立，求的取值范围.
请考生在（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答，假如多答，则按做的第一题记分．作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号右侧的方框涂黑．
22．(本小题满分10分)选修4—1：几何证明选讲
（22题图）
如图所示,已知圆外有一点,作圆的切线,为切点,过的中点,作割线,交圆于、两点,连接并延长,交圆于点,连接交圆于点,若.
(1)求证:△∽△;
(2)求证:四边形是平行四边形.
23．(本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程
在直角坐标系中，圆C的参数方程为：
．以为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．
（1）求圆C的极坐标方程；
（2）直线的极坐标方程是，射线与圆C的交点
为O、P，与直线的交点为Q，求线段的长．
24. (本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲
设函数=，.不等式的解集为.
（1）求；
（2）当时，证明:．
2021四校三联文科数学试题答案
一选择题 1-6 CABADB 7-12DBDCBC
二填空题 13. 或 14. 15. 16.
三解答题
17.解：（１）由条件得=2（2）
即== ………………2分
化简得 , ………………………4分
∵　∴　
又　∴　＝ ………………………6分
（２）由已知及正弦定理得 ………………………8分
又 SΔABC=8，C= ∴ ， 得 ………………………10分
由余弦定理得 . ………………………12分
18. （1） ∴ ……………2分 ，
又
………………4分
∴∴甲组成果比乙组稳定。 ………………6分
（2）记甲组4名同学为：A1，A2， A3，A4；乙组4名同学为：B1，B2，B3，B4；分别从甲乙两组中各抽取一名同学全部可能的结果为：(A1,B1)，(A1,B2)，(A1,B3)，(A1,B4)
(A2,B1)，(A2,B2)，(A2,B3)，(A2,B4)，(A3,B1)，(A3,B2)，(A3,B3)，(A3,B4)，(A4,B1)，(A4,B2)，(A4,B3)，(A4,B4)，共16个基本大事，其中得分之和低于20分的共6个基本大事， ………………10分
∴得分之和低于20分的概率是：. …………………12分
19．（1）证明：∵是直径，∴ …………………1分，
又四边形为矩形, ,,∴
∵，∴平面 …………4分
又平面，∴平面平面 ………………6分
（2）由⑴知
， ………………………8分，
当且仅当时等号成立 ……………………9分，
∴当三棱锥体积最大为 ……………………10分，
此时，，
设点到平面的距离为，则
………………………12分
20.解：解：（1）由题意知，∴，
∴E的轨迹是以C、A为焦点的椭圆，其轨迹方程为： ……………4分
（2）设，则将直线与椭圆的方程联立得：，
消去y,得：
……………6分
由于O在以PQ为直径的圆的内部，故 ………7分
而
由 …………………9分
得： , 且满足（*）式
M的取值范围是 ……………………12分

21解：（1）由条件得 ……………………2分
∵曲线在点处的切线与直线垂直，∴此切线的斜率为0
即，有，得 ……………………4分
∴=，由得，由得.
∴在（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增，当时取得微小值
.
故的单调递减区间为（0，），微小值为. ……………………6分
（2）条件等价于对任意，恒成立，……（*）
设 ，
∴（*）等价于在（0，+∞）上单调递减. ……………………9分
由0在（0，+∞）上恒成立， ……………………10分
得=恒成立，
∴ ( 对，仅在时成立)，
故的取值范围是[，+∞）. ……………………12分
22.证明:(1)∵是圆的切线, 是圆的割线, 是的中点,
∴, ∴,
又∵, ∴△∽△,
∴, 即.
∵, ∴, ∴,
∴△∽△. …………………5分
(2)∵,∴,即,
∴, ∵△∽△,∴,
∵是圆的切线,∴,
∴,即,
∴, ∴四边形PMCD是平行四边形. …………………10分
23.解：（1）圆C的一般方程为，又，
所以圆C的极坐标方程为         ………………5分
（2）设，则有解得
设，则有,解得
所以     ………………10分
24.解:(1) 等价于
或或 解得
…………………5分
(2) 当时，即时，要证，即证

所以 …………………10分