2022届高考数学(文科人教A版)大一轮课时作业：4.5-数系的扩充与复数的引入-.docx

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课时提升作业(二十七)
数系的扩充与复数的引入
(25分钟　50分)
一、选择题(每小题5分,共35分)
1.(2022·安徽高考)设i是虚数单位,复数i3+2i1+i=(　　)
A.-i B.i C.-1 D.1
【解析】选D.i3+2i1+i=-i+2i1+i
=-i+2i(1-i)(1+i)(1-i)
=-i+2i(1-i)2=1.
2.(2022·浙江高考)已知i是虚数单位,a,b∈R,则“a=b=1”是“(a+bi)2=2i”的(　　)
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
【解析】选A.当a=b=1时,(a+bi)2=(1+i)2=2i,反过来(a+bi)2=a2-b2+2abi=2i,
则a2-b2=0,2ab=2,解得a=1,b=1或a=-1,b=-1,所以“a=b=1”是“(a+bi)2=2i”的充分不必要条件.
3.在复平面内,复数i(2-i)对应的点位于(　　)
A.第一象限 B.其次象限
C.第三象限 D.第四象限
【解析】选A.i(2-i)=2i-i2=1+2i,所以对应的点(1,2)位于第一象限.
4.已知复数z=(a2-1)+(a-1)i(a∈R)是纯虚数,则a=(　　)
A.0 B.1 C.-1 D.±1
【解析】选C.由题意得a2-1=0,a-1≠0,解得a=-1.
5.( 2021·阜阳模拟)复数-i2i-1(i为虚数单位)的虚部是(　　)
A.15i B.15 C.-15i D.-15
【解析】选B.-i2i-1=-i(2i+1)(2i-1)(2i+1)=i5-25,
所以虚部为15.
6.(2021·泉州模拟)复数z=m-2i1+2i(m∈R,i为虚数单位)在复平面上对应的点不行能位于(　　)
A.第一象限 B.其次象限
C.第三象限 D.第四象限
【解题提示】先把z化成a+bi(a,b∈R)的形式,再进行推断.
【解析】选A.z=m-2i1+2i=(m-2i)(1-2i)5=m-45+-(2m+2)5i,明显m-45>0与-2m+25>0不行能同时成立,则z=m-2i1+2i对应的点不行能位于第一象限.
【一题多解】本题还可用以下方法求解.z=m-2i1+2i=m-45+-(2m+2)5i,设x=m-45,y=-(2m+2)5,则2x+y+2=0.又直线2x+y+2=0不过第一象限,则z=m-2i1+2i对应的点不行能位于第一象限.
【方法技巧】复数问题的解题技巧
(1)依据复数的代数形式,通过其实部和虚部可推断一个复数是实数,还是虚数.
(2)复数z=a+bi,a∈R,b∈R与复平面上的点Z(a,b)是一一对应的,通过复数z的实部和虚部可推断出其对应点在复平面上的位置.
7.计算：12-32i12+32i2=(　　)
A.18-338i B.18+338i
C.12-32i D.12+32i
【解析】选D.
原式=12-32i14+2×12×32i+34i2
=12-32i32i-12
=-12-32i2=-14-32i+34i2
=12+32i.
【一题多解】本题还可有如下解法:
原式=12-32i12+32i12+32i
=14-34i212+32i=12+32i.
二、填空题(每小题5分,共15分)
8.(2022·湖南高考)复数3+ii2(i为虚数单位)的实部等于　　　　.
【解析】由于3+ii2=3+i-1=-3-i,所以实部为-3.
答案:-3
9.(2021·日照模拟)若复数z=1+i(i为虚数单位),z是z的共轭复数,则z2+z 2=　　　　.
【解析】由于z=1+i,所以z=1-i,
则z2+z2=(1+i)2+(1-i)2=2i-2i=0.
答案:0
10.若定义a　bc　d=ad-bc(a,b,c,d为复数),
则2i　　3i3i　(3-2i)i=　　　　.
【解题提示】充分利用定义代入求解即可.
【解析】由已知定义可知2i　　3i3i　(3-2i)i=2i×[(3-2i)i]-(3i)2
=-2(3-2i)+9=3+4i.
答案:3+4i
(20分钟　40分)
1.(5分)(2021·济南模拟)设i是虚数单位,复数a+i2-i是纯虚数,则实数a=(　　)
A.-2 B.2 C.-12 D.12
【解析】选D.由于复数a+i2-i=(a+i)(2+i)(2+i)(2-i)=2a-15+(a+2)i5是纯虚数,
所以2a-1=0,得a=12,故选D.
【加固训练】设i是虚数单位,复数1+ai2-i为纯虚数,则实数a为　　　　.
【解析】若1+ai2-i=(1+ai)(2+i)(2-i)(2+i)=(2-a)+(2a+1)i5=2-a5+2a+15i为纯虚数,则2-a=0,2a+1≠0,故a=2.
答案:2
2.(5分)已知复数z满足|z|=1,则|z-(4+3i)|的最大、最小值为(　　)
A.5,3 B.6,4 C.7,5 D.6,5
【解题提示】利用复数的几何意义或设出后代入求解.
【解析】选B.方法一:由|z|=1知复数z对应的点为以原点为圆心,以1为半径的圆上的点.
而|z-(4+3i)|则表示单位圆上的点到点P(4,3)的距离.又|OP|=42+32=5,
故|z-(4+3i)|max=5+1=6,|z-(4+3i)|min=5-1=4.
方法二:设z=x+yi(x,y∈R),
则由|z|=1得x2+y2=1,
又|z-(4+3i)|=|(x-4)+(y-3)i|=(x-4)2+(y-3)2,
由几何意义可知上式为单位圆上的点到P(4,3)点的距离.又|OP|=5,
故|z-(4+3i)|max=5+1=6,|z-(4+3i)|min=5-1=4.
3.(5分)(2021·重庆模拟)设z1,z2是复数,则下列命题中的假命题是(　　)
A.若|z1-z2|=0,则z1=z2 B.若z1=z2,则z1=z2
C.若z1=z2,则z1·z1=z2·z2 D.若z1=z2,则z12=z22
【解析】选D.设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R).
选项
具体分析
结论
A
若|z1-z2|=0,
则(a-c)2+(b-d)2=0,所以a=c,b=d,即z1=z2,故z1=z2
正确
B
若z1=z2,则a=c,b=-d,所以z1=z2
正确
C
若|z1|=|z2|,则a2+b2=c2+d2,所以z1·z1=z2·z2
正确
D
z12=(a2-b2)+2abi,z22=(c2-d2)+2cdi,在a2+b2=c2+d2的前提下不能保证a2-b2=c2-d2,2ab=2cd
错误
4.(12分)(2021·临沂模拟)若1+2i是关于x的实系数方程x2+bx+c=0的一个复数根.
(1)试求b,c的值.
(2)1-2i是否是所给方程的根,试给出推断.
【解题提示】(1)由复数相等列关于b,c的方程组求解.
(2)代入方程验证即可.
【解析】(1)由于1+2i是关于x的实系数方程x2+bx+c=0的一个根,则(1+2i)2+b(1+2i)+c=0,整理得(b+c-1)+(22+2b)i=0,则22+2b=0,b+c-1=0,解得b=-2,c=3.
即b=-2,c=3.
(2)由(1)得方程为x2-2x+3=0,把1-2i代入方程左边得(1-2i)2-2(1-2i)+3=1-22i+2i2-2+22i+3=1-2-2+3=0,即1-2i满足方程x2-2x+3=0,所以1-2i是所给方程的根.
【加固训练】已知复数z=bi(b∈R),z-21+i是实数,i是虚数单位.
(1)求复数z.
(2)若复数(m+z)2所表示的点在第一象限,求实数m的取值范围.
【解析】(1)由于z=bi(b∈R),
所以z-21+i=bi-21+i=(bi-2)(1-i)(1+i)(1-i)=(b-2)+(b+2)i2=b-22+b+22i.
又由于z-21+i是实数,所以b+22=0,所以b=-2,即z=-2i.
(2)由于z=-2i,m∈R,所以(m+z)2=(m-2i)2=m2-4mi+4i2=(m2-4)-4mi,又由于复数(m+z)2所表示的点在第一象限,所以m2-4>0,-4m>0.解得m<-2,即m∈(-∞,-2).
5.(13分)(力气挑战题)若虚数z同时满足下列两个条件:
①z+5z是实数;②z+3的实部与虚部互为相反数.
这样的虚数是否存在?若存在,求出z;若不存在,请说明理由.
【解题提示】设z=a+bi(a,b∈R,b≠0),依据条件①②列关于实数a,b的方程组,把复数问题转化为实数的计算.
【解析】存在.设z=a+bi(a,b∈R,b≠0),
则z+5z=a+bi+5a+bi
=a1+5a2+b2+b1-5a2+b2i.
又z+3=a+3+bi,z+5z是实数,
依据题意有b1-5a2+b2=0,a+3=-b,
由于b≠0,所以a2+b2=5,a=-b-3,
解得a=-1,b=-2或a=-2,b=-1.
所以z=-1-2i或z=-2-i.
【加固训练】已知关于x的方程:x2-(6+i)x+9+ai=0(a∈R)有实数根b.
(1)求实数a,b的值.
(2)若复数满足|z-a-bi|-2|z|=0,求z为何值时,|z|有最小值,并求出|z|的最小值.
【解题提示】(1)把b代入方程,依据复数的实部、虚部等于0解题即可.
(2)设z=s+ti(s,t∈R),依据所给条件可得s,t间的关系,进而得到复数z对应的轨迹,依据轨迹解决|z|的最值问题.
【解析】(1)由于b是方程x2-(6+i)x+9+ai=0(a∈R)的实根,所以(b2-6b+9)+(a-b)i=0,
所以b2-6b+9=0,a=b,解得a=b=3.
(2)设z=s+ti(s,t∈R),其对应点为Z(s,t),
由|z-3-3i|=2|z|,得(s-3)2+(t+3)2=4(s2+t2),
即(s+1)2+(t-1)2=8,
所以Z点的轨迹是以O1(-1,1)为圆心,
22为半径的圆,如图所示,

当Z点在OO1的连线上时,
|z|有最大值或最小值.
由于|OO1|=2,
半径r=22,
所以当z=1-i时,|z|有最小值且|z|min=2.
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