2021年新课标A版高中数学必修五检测：双基限时练6-应用举例3-.docx

双基限时练(六)
1．在△ABC中，已知BC＝6，A＝30°，B＝120°，则△ABC的面积等于(　　)
A．9 B．18
C．9 D．18
解析　由正弦定理得＝，
∴AC＝＝＝6.
又∠ACB＝180°－120°－30°＝30°，
∴S△ABC＝×6×6×＝9.
答案　C
2．在△ABC中，若a2＋b2＋ab<c2，则△ABC是(　　)
A．钝角三角形 B．锐角三角形
C．直角三角形 D．外形无法判定
解析　由a2＋b2＋ab<c2，得a2＋b2－c2<－ab.
又cosC＝<－.
又cos120°＝－，∴C>120°，故△ABC为钝角三角形．
答案　A
3．在△ABC中，BC＝2，B＝，若△ABC的面积为，则tanC为(　　)
A. B．1
C. D.
解析　由S△ABC＝BC·BAsinB＝，得BA＝1，
由余弦定理，得
AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcosB.
∴AC＝，∴AC2＋BA2＝BC2.
∴△ABC为直角三角形，其中A为直角．
∴tanC＝＝.
答案　C
4．三角形的两边长为3和5，其夹角的余弦值是方程5x2－7x－6＝0的根，则该三角形的面积是(　　)
A．6 B.
C．8 D．10
解析　由5x2－7x－6＝0，得x＝－，或x＝2(舍去)．∴cosα＝－，sinα＝，∴S△＝×3×5×＝6.
答案　A
5．△ABC中，A＝60°，b＝16，此三角形的面积S＝220，则a的值为(　　)
A．7 B．25
C．55 D．49
解析　由S＝220 ，得bcsinA＝220 .
即×16×c×＝220 ，∴c＝55.
∴a2＝b2＋c2－2bccos60°
＝162＋552－2×16×55×＝2401.
∴a＝49.
答案　D
6．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，已知a＝，b＝3，C＝30°，则A＝________.
解析　c2＝a2＋b2－2abcosC＝3＋9－2××3×＝3，
∴c＝.
又＝，∴sinA＝＝＝，
∴a<b，∴A<B，∴A＝30°.
答案　30°
7．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若(b－c)cosA＝acosC，则cosA＝______.
解析　∵(b－c)cosA＝acosC，
∴由正弦定理，得
(sinB－sinC)cosA＝sinAcosC.
∴sinBcosA＝sin(A＋C)＝sinB.∴cosA＝.
答案　
8．在△ABC中，a2－b2＋bc·cosA－ac·cosB＝________.
解析　由余弦定理cosA＝，得bc·cosA＝(b2＋c2－a2)，同理ac·cosB＝(a2＋c2－b2)．
∴a2－b2＋bc·cosA－ac·cosB
＝a2－b2＋(b2＋c2－a2)－(a2＋c2－b2)
＝a2－b2＋b2－a2＝0.
答案　0
9．在△ABC中，A＝60°，b＝1，c＝4，则的值为________．
解析　在△ABC中，由正弦定理得＝＝＝2R，得a＋b＋c＝2R(sinA＋sinB＋sinC)．
又a2＝b2＋c2－2bccosA＝1＋16－2×1×4×＝13，
∴a＝，
∴＝2R＝＝＝.
答案　
10．在锐角△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，又c＝，b＝4，且BC边上的高h＝2.
(1)求角C；
(2)求边a的长．
解　(1)由于△ABC为锐角三角形，过A作AD⊥BC于D点，

sinC＝＝，则C＝60°.
(2)由余弦定理，可知
c2＝a2＋b2－2abcosC，
则()2＝42＋a2－2×4×a×，即a2－4a－5＝0.
所以a＝5，或a＝－1(舍)．
因此所求角C＝60°，边a长为5.
11．在△ABC中，内角A，B，C对边的边长分别是a，b，c，已知c＝2，C＝.
(1)若△ABC的面积等于，求a，b；
(2)若sinC＋sin(B－A)＝2sin2A，求△ABC的面积．
解　(1)由余弦定理及已知条件，得
a2＋b2－ab＝4.
又由于△ABC的面积等于，
所以absinC＝得ab＝4，
联立方程组解得a＝2，b＝2.
(2)由题意，得sin(B＋A)＋sin(B－A)＝4sinAcosA，
即sinBcosA＝2sinAcosA.
当cosA＝0时，A＝，B＝，
∴a＝，b＝.
∴△ABC的面积S＝··b＝.
当cosA≠0时，sinB＝2sinA，
由正弦定理，知b＝2a，
联立方程组解得
∴△ABC的面积S＝absinC＝.
12．△ABC的面积是30，内角A，B，C所对边长分别为a，b，c，cosA＝.
(1)求·；
(2)若c－b＝1，求a的值．
解　(1)在△ABC中，∵cosA＝，∴sinA＝.
又S△ABC＝bcsinA＝30，∴bc＝12×13.
∴·＝||||cosA＝bccosA＝144.
(2)由(1)知bc＝12×13，又c－b＝1，
∴b＝12，c＝13.
在△ABC中，由余弦定理，得
a2＝b2＋c2－2bccosA
＝122＋132－2×12×13×＝25，
∴a＝5.