上海市十三校2021届高三第一次联考数学(理)试题word版含答案.docx

高三学科测试
数学试题（理科）
考斯时间 120分钟 满分150分
一、填空题：（本大题56分）本大题共有14题，考生应在答题纸上相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分。
1、已知集合，则
2、椅子，则
3、在复平面中，复数是虚数单位）对应的点在第 象限
4、函数的最小正周期是
5、已知函数，则
6、已知，若，则
7、满足的实数的取值范围是
8、设是的开放式中的一次项的系数，若，则的最小值是
9、若存在整数使成立，则实数的取值范围是
10、某班班会预备从甲、乙等7名同学中选4名同学发言，要求甲、乙至少有一人参与，那么不同的发言挨次的种数为 （用数字作答）
11、已知函数，若当时，能取到最小值，则实数的取值范围是
12、已知数列中，，若是5的倍数，且，则
13、假如一个正整数能表示为连个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“奇怪数”，则区间内的全部“奇怪数”之和为
14、已知，，直线与函数的图象从左至右相交于点，直线与函数的图象从左至右相交于点，记线段和在轴上的投影程长度分别为，当变化时，的最小值是

二、填空题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，Ian高代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分。
15、设表示复数的共轭复数，则与“复数为实数”不等价的说法是（ ）
A． B． C． D．表示复数的虚部）
16、在中，内角所对的边分别为，则“”是“是以为底角的等腰三角形”的（ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件
17、函数的图象可看成将函数的图象（ ）
A．向左平移个单位得到 B．各点纵坐标不变，横坐标伸长的原来的4倍得到
C．向右平移个单位得到 D．各点纵坐标不变，横坐标缩短的原来的倍得到
18、如图所示，医用输液瓶可以视为两个圆柱的组合体，开头输液时，滴管为匀速滴下液体（滴管内液体忽视不计），设输液开头后分钟，瓶内液面与进气管的距离为厘米，已知当时，假如瓶内的药液恰好156分钟滴完，则函数的大致图象为（ ）

三、解答题：（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必需在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤。
19、（本小题满分12分）
已知二次函数，若不等式的解集为
（1）解关于的不等式：；
（2）是否存在实数，使得关于的函数的最小值为-4？
若存在，求的值；若不存在，说明理由。

20、（本小题满分12分）
某同学用“五点法”画函数在某一个周期的图象时，列表并填入的部分数据如下表：

0

0

0

0
（1）请写出上表的，并直接写出函数的解析式；
（2）设，当时，求的单调增区间。

21、（本小题满分12分）
某环境疼惜部门对某处的环境状况用“污染质素”来检测，据测定，该处的“污染指数”与四周污染源的强度和距离之比成正比，比例系数为常数，现已知相距36的两家化工厂（污染源）的污染强度分别为1和，它们连线段上任意一点处的污染指数等于两化工厂对该处的污染指数之和，设。
（1）试将表示为的函数，指出其定义域；
（2）当时，处的“污染指数”最小，试求化工厂的污染强度的值。

22、（本小题满分16分）
已知数列的各项均为正数，记

（1）若，求；
（2）若，且对任意，都是与的等差中项，求数列的通项公式；
（3）已知命题：“若数列是公比为的等比数列，则对任意，都是公比为的等比数列”是真命题，试写出该命题的逆命题，推断真假，并证明。

23、（本小题满分18分）
已知是满足下列条件的集合：①;②若，则；③若且，则；
（1）推断是否正确，说明理由；
（2）证明：“”是“”的充分条件，其中是正整数数集；
（3）证明：若，则