【2021导与练-高校信息化课堂】高三理科数学二轮复习—专项训练高考中档题训练(四).docx

高考中档题训练(四)
1.(2022温州一模)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且asin B+bcos A=0.
(1)求角A的大小;
(2)若a=,b=1,求△ABC的面积.
解:(1)由asin B+bcos A=0得sin Asin B+sin Bcos A=0,
tan A=-1,A=.
(2)由=得=,
sin B=,B=,
sin C=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B=×+×=,
S△ABC=absin C=××1×=.
2.(2021江西南昌二模)如表所示是一个由正数组成的数表,数表中各行依次成等差数列,各列依次成等比数列,且公比都相等,已知a1,1=1,a2,3=6,a3,2=8.
a1,1
a1,2
a1,3
a1,4
…
a2,1
a2,2
a2,3
a2,4
…
a3,1
a3,2
a3,3
a3,4
…
a4,1
a4,2
a4,3
a4,4
…
…
…
…
…
…
(1)求数列{an,2}的通项公式;
(2)设bn=+(-1)na1,n(n∈N*),求数列{bn}的前n项和Sn.
解:(1)设第一行依次组成的等差数列的公差是d,各列依次组成的等比数列的公比是q(q>0),
则a2,3=qa1,3=q(1+2d)⇒q(1+2d)=6,
a3,2=q2a1,2=q2(1+d)⇒q2(1+d)=8,
解得d=1,q=2,所以a1,2=2,an,2=2×2n-1=2n.
(2)由(1)得a1,n=n,所以bn=+(-1)nn,
Sn=(+++…+)+[-1+2-3+…+(-1)nn],
记Tn=+++…+,
则Tn=+++…+,
两式相减得,Tn=+++…+-
=1-,
所以Tn=2-,
所以n为偶数时,Sn=+2-,
n为奇数时,Sn=-+2-.
3.(2021高考广东卷)如图①,在等腰直角三角形ABC中,∠A=90°,
BC=6,D,E分别是AC,AB上的点,CD=BE=,O为BC的中点.将△ADE沿DE折起,得到如图②所示的四棱锥A′BCDE,其中A′O=.

(1)证明:A′O⊥平面BCDE;
(2)求二面角A′CDB的平面角的余弦值.
解:(1)由题意,易得OC=3,AC=3,AD=2.
连接OD,OE.在△OCD中,由余弦定理可得
OD==.
由翻折不变性可知A′D=2,
所以A′O2+OD2=A′D2,
所以A′O⊥OD.
同理可证A′O⊥OE,
又OD∩OE=O,
所以A′O⊥平面BCDE.
(2)法一　(传统法)过O作OH⊥CD交CD的延长线于H,
连接A′H,如图.

由于A′O⊥平面BCDE,
所以A′H⊥CD,
所以∠A′HO为二面角A′CDB的平面角.
结合OC=3,∠BCD=45°,
得OH=,
从而A′H==.
所以cos∠A′HO==,
所以二面角A′CDB的平面角的余弦值为.
法二　(向量法)以O点为原点,建立空间直角坐标系Oxyz,如图所示,

则A′(0,0,),C(0,-3,0),
D(1,-2,0),
所以=(0,3,),=(-1,2,).
设n=(x,y,z)为平面A′CD的一个法向量,
则
即
解得
令x=1,得n=(1,-1,),
即n=(1,-1,)为平面A′CD的一个法向量.
由(1)知=(0,0,)为平面CDB的一个法向量,
所以cos<n,>=
==,
即二面角A′CDB的平面角的余弦值为.