2020年人教A版数学理(福建用)课时作业：第八章-第五节曲线与方程.docx

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课时提升作业(五十四)
一、选择题
1.(2021·长春模拟)已知M(-2，0)，N(2，0)，则以MN为斜边的直角三角形的直角顶点P的轨迹方程为( )
(A)x2+y2=2 (B)x2+y2=4
(C)x2+y2=2(x≠±2) (D)x2+y2=4(x≠±2)
2.表示的曲线是( )
(A)抛物线 (B)一个圆
(C)两个圆 (D)两个半圆
3.设x1,x2∈R，常数a＞0，定义运算“*”：x1*x2=(x1+x2)2-(x1-x2)2,若x≥0，则动点P()的轨迹是( )
(A)圆 (B)椭圆的一部分
(C)双曲线的一部分 (D)抛物线的一部分
4.已知A，B是圆O：x2+y2=16上的两点，且|AB|=6，若以AB为直径的圆M恰好经过点C(1，-1)，则圆心M的轨迹方程是( )
(A)(x-1)2+(y+1)2=9
(B)(x+1)2+(y-1)2=9
(C)(x-1)2+(y-1)2=9
(D)(x+1)2+(y+1)2=9
5.(2021·重庆模拟)设动点P在直线x=1上，O为坐标原点，以OP为直角边、点O为直角顶点作等腰直角△OPQ，则动点Q的轨迹是( )
(A)圆 (B)两条平行直线
(C)抛物线 (D)双曲线
6.已知动点P(x,y)，若lg y,lg|x|,成等差数列，则点P的轨迹图象是
( )

7.已知点P在定圆O的圆内或圆周上，动圆C过点P与定圆O相切，则动圆C的圆心轨迹可能是( )
(A)圆或椭圆或双曲线
(B)两条射线或圆或抛物线
(C)两条射线或圆或椭圆
(D)椭圆或双曲线或抛物线
8.(2021·漳州模拟)在△ABC中，A为动点，B，C为定点，B(,0),C(,0) (a>0)且满足条件sin C-sin B=sin A,则动点A的轨迹方程是( )
(A)(y≠0)
(B)(x≠0)
(C)(x<)
(D)(x>)
二、填空题
9.平面上有三个点A(-2，y),B(0,),C(x,y),若，则动点C的轨迹方程是_____________.
10.设定点M(-3,4)，动点N在圆x2+y2=4上运动，以OM，ON为邻边作平行四边形MONP，则点P的轨迹方程为_____________.
11.坐标平面上有两个定点A，B和动点P，假如直线PA，PB的斜率之积为定值m，则点P的轨迹可能是：①椭圆；②双曲线；③抛物线；④圆；⑤直线．试将正确的序号填在横线上：______________.
12.(力气挑战题)设椭圆方程为x2+=1,过点M(0，1)的直线l交椭圆于A，B两点，O是坐标原点，点P满足，当l绕点M旋转时，动点P的轨迹方程为_____________.
三、解答题
13.(2021·厦门模拟)由抛物线y2＝2x上任意一点P向其准线l引垂线，垂足为Q，连接顶点O与P的直线和连接焦点F与Q的直线交于点R，求点R的轨迹方程.
14.(2021·天津模拟)已知圆C与两圆x2+(y+4)2=1,x2+(y-2)2=1外切，圆C的圆心轨迹方程为L，设L上的点与点M(x,y)的距离的最小值为m，点F(0，1)与点M(x,y)的距离为n.
(1)求圆C的圆心轨迹L的方程.
(2)求满足条件m=n的点M的轨迹Q的方程.
(3)在(2)的条件下，摸索究轨迹Q上是否存在点B(x1,y1),使得过点B的切线与两坐标轴围成的三角形的面积等于.若存在，恳求出点B的坐标；若不存在，请说明理由.
15.(力气挑战题)已知线段AB的两个端点A，B分别在x轴、y轴上滑动，|AB|=3，点M满足.
(1)求动点M的轨迹E的方程.
(2)若曲线E的全部弦都不能被直线l:y=k(x-1)垂直平分，求实数k的取值范围.

答案解析
1.【解析】选D.设P(x,y)，则|PM|2+|PN|2=|MN|2，所以x2+y2=4(x≠±2).
【误区警示】本题易误选B.错误的根本缘由是忽视了曲线与方程的关系，从而导致漏掉了x≠±2.
2.【解析】选D.原方程等价于

3.【解析】选D.∵x1*x2=(x1+x2)2-(x1-x2)2,
∴
则P(x,).
设P(x1,y1),即
消去x得y12=4ax1(x1≥0,y1≥0),
故点P的轨迹为抛物线的一部分.
4.【解析】选A.由于以AB为直径的圆恰好经过点C(1，-1)，∴CA⊥CB，
故△ACB为直角三角形,
又M为斜边AB中点，
∴|MC|=|AB|=3，故点M的轨迹是以C(1，-1)为圆心，3为半径的圆，其方程为(x-1)2+(y+1)2=9.
5.【思路点拨】设动点P的纵坐标t为参数，来表示|OP|=|OQ|，并消去参数得轨迹方程，从而确定轨迹.
【解析】选B.设P(1,t)，Q(x,y)，由题意知|OP|=|OQ|,
∴1+t2=x2+y2，①
又∴x+ty=0,
∴t=,y≠0.②
把②代入①,得(x2+y2)(y2-1)=0，即y=±1.
所以动点Q的轨迹是两条平行直线.
6.【解析】选C.由题意可知2lg|x|=lg y+,
∴

7.【解析】选C.当点P在定圆O的圆周上时，圆C与圆O内切或外切，O，P，C三点共线，∴轨迹为两条射线；
当点P在定圆O内时(非圆心)，|OC|＋|PC|＝r0为定值，轨迹为椭圆；
当P与O重合时，圆心轨迹为圆．
【误区警示】本题易因争辩不全，或找错关系而毁灭错误.
8.【解析】选D.∵sin C-sin B=sin A,
由正弦定理得到
|AB|-|AC|=|BC|=a(定值).
∴A点轨迹是以B，C为焦点的双曲线右支(不包括点(,0)),其中实半轴长为，焦距为|BC|=a.
∴虚半轴长为
∴动点A的轨迹方程为
9.【解析】

∴(2，-)·(x,)=0,即y2=8x.
∴动点C的轨迹方程为y2=8x.
答案：y2=8x
10.【解析】设P(x,y)，圆上的动点N(x0,y0)，则线段OP的中点坐标为()，线段MN的中点坐标为()，又由于平行四边形的对角线相互平分，所以有 可得
又由于N(x0,y0)在圆上，所以N点坐标应满足圆的方程.即有(x+3)2+(y-4)2=4，但应除去两点()和().
答案：(x+3)2+(y-4)2=4(除去两点()和())
11.【解析】以直线AB为x轴，线段AB的中垂线为y轴建立平面直角坐标系，设A(-a,0)，B(a,0)，P(x,y)，则有即mx2-y2=a2m,

当m＜0且m≠-1时，轨迹为椭圆；当m＞0时，轨迹为双曲线；当m=-1时，轨迹为圆；当m=0时，轨迹为始终线；但轨迹不行能是抛物线.
答案：①②④⑤
12.【思路点拨】设直线l的斜率为k，用参数法求解，但需验证斜率不存在时是否符合要求.
【解析】直线l过点M(0，1)，当斜率存在时，设其斜率为k,
则l的方程为y=kx+1.
设A(x1,y1),B(x2,y2),
由题设可得点A，B的坐标(x1,y1),(x2,y2)是方程组的解,
将①代入②并化简得，(4+k2)x2+2kx-3=0,
所以
于是
设点P的坐标为(x,y),则消去参数k得4x2+y2-y=0, ③
当斜率不存在时，A，B中点为坐标原点(0，0)，也满足方程③，所以点P的轨迹方程为4x2+y2-y=0.
答案：4x2+y2-y=0
【方法技巧】利用参数法求轨迹方程的技巧
参数法是求轨迹方程的一种重要方法，其关键在于选择恰当的参数.一般来说，选参数时要留意：
①动点的变化是随着参数的变化而变化的，即参数要能真正反映动点的变化特征；②参数要与题设的已知量有着亲热的联系；③参数要便于轨迹条件中的各种相关量的计算，也要便于消去.常见的参数有角度、斜率、点的横坐标、纵坐标等.
13.【解析】设P(x1，y1)，R(x，y)，
则Q(－，y1)，F(，0)，
∴直线OP的方程为y＝，①
直线FQ的方程为y＝－y1(x－)，②
由①②得
将其代入y2＝2x，可得y2＝－2x2＋x,
即点R的轨迹方程为y2＝－2x2＋x(x≠0).
14.【解析】(1)两圆的半径都为1，两圆的圆心分别为C1(0,-4),C2(0,2),
由题意得|CC1|=|CC2|,可知圆心C的轨迹是线段C1C2的垂直平分线，C1C2的中点为(0，-1)，直线C1C2的斜率不存在，故圆心C的轨迹是线段C1C2的垂直平分线，其方程为y=-1,即圆C的圆心轨迹L的方程为y=-1.
(2)由于m=n,所以M(x,y)到直线y=-1的距离与到点F(0，1)的距离相等，故点M的轨迹Q是以y=-1为准线，以点F(0，1)为焦点，顶点在原点的抛物线，即p=2,所以，轨迹Q的方程是x2=4y.
(3)假设存在点B满足条件.由(2)得y=x2,y′=x,所以过点B的切线的斜率为,
切线方程为.
令x=0得y=-x12+y1,
令y=0得.
由于点B在x2=4y上，所以y1=x12，
故y=-x12,x=x1,
所以切线与两坐标轴围成的三角形的面积为
所以，解得|x1|=2,
所以x1=±2.
当x1=2时，y1=1,当x1=-2时，y1=1,所以点B的坐标为(2，1)或(-2，1).
15.【解析】(1)设M(x,y),A(x0,0),B(0,y0),
则x02+y02=9，=(x-x0,y),=(-x,y0-y).
由，得 解得
代入
化简得点M的轨迹方程为
(2)由题意知k≠0,
假设存在弦CD被直线l垂直平分，设直线CD的方程为
由 消去y化简得
(k2+4)x2-8kbx+4k2(b2-1)=0,
Δ=(-8kb)2-4(k2+4)·4k2(b2-1)
=-16k2(k2b2-k2-4)＞0，
k2b2-k2-4＜0,
设C(x1,y1)，D(x2,y2)，CD中点P(xP,yP),
则x1+x2=,
,

又,
∴,得,
代入k2b2-k2-4＜0，得,
解得k2＜5,∴.
∴当曲线E的全部弦都不能被直线l:y=k(x-1)垂直平分时，k的取值范围是k≤或k≥.
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