2022届数学一轮(文科)北师大版-课时作业10-5-第十章统计、统计案例与概率.docx

第5讲　古典概型

基础巩固题组
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．一枚硬币连掷2次，恰有一次正面朝上的概率为 (　　)
A. B. C. D.
解析　一枚硬币连掷2次，基本大事有(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反)，而只有一次消灭正面的基本大事有(正，反)，(反，正)，故其概率为＝.
答案　D
2．若某公司从五位高校毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人，这五人被录用的机会均等，则甲或乙被录用的概率为 (　　)
A. B. C. D.
解析　记“甲或乙被录用”为大事A.从五人中录用三人，基本大事有(甲，乙，丙)，(甲，乙，丁)，(甲，乙，戊)，(甲，丙，丁)，(甲，丙，戊)，(甲，丁，戊)，(乙，丙，丁)，(乙，丙，戊)，(乙，丁，戊)，(丙，丁，戊)，共10种可能，而A的对立大事仅有(丙，丁，戊)一种可能，∴A的对立大事的概率为P()＝，∴P(A)＝1－P()＝.
答案　D
3．(2022·湖北卷)随机掷两枚质地均匀的骰子，它们向上的点数之和不超过5的概率记为p1，点数之和大于5的概率记为p2，点数之和为偶数的概率记为p3，则 (　　)
A．p1＜p2＜p3 B．p2＜p1＜p3
C．p1＜p3＜p2 D．p3＜p1＜p2

解析　随机掷两枚质地均匀的骰子，全部可能的结果共有36种．大事“向上的点数之和不超过5”包含的基本大事有(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(3，1)，(3，2)，(4，1)，共10种，其概率p1＝＝.大事“向上的点数之和大于5”与“向上的点数之和不超过5”是对立大事，所以“向上的点数之和大于5”的概率p2＝.由于朝上的点数之和不是奇数就是偶数，所以“点数之和为偶数”的概率p3＝.故p1<p3<p2.
答案　C
4．(2021·临沂模拟)第17届亚运会于2022年9月19日在韩国仁川进行．运动会期间来自A高校2名和B高校4名共计6名高校生志愿者，现从这6名志愿者中随机抽取2人到体操竞赛场馆服务，至少有一名A高校志愿者的概率是
(　　)
A. B. C. D.
解析　记2名来自A高校的志愿者为A1，A2，4名来自B高校的志愿者为B1，B2，B3，B4.从这6名志愿者中选出2名的基本大事有(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A1，B4)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A2，B4)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B1，B4)，(B2，B3)，(B2，B4)，(B3，B4)，共15种．其中至少有一名A高校志愿者的大事有9种．故所求概率P＝＝.故选C.
答案　C
5．(2022·合肥检测)从2名男生和2名女生中，任意选择两人在星期六、星期日参与某公益活动，每天一人，则星期六支配一名男生、星期日支配一名女生的概率为 (　　)
A. B. C. D.
解析　从2名男生和2名女生中任选两人在星期六、星期日参与某公益活动，每天一人，共有12种选法，其中星期六支配一名男生，星期日支配一名女生的结果有4种，所求概率为＝，故选A.
答案　A
二、填空题
6．(2022·江西六校联考)甲、乙、丙三人站成一排，则甲乙相邻的概率为________．
解析　甲、乙、丙三人随机地站成一排有(甲乙丙)、(甲丙乙)、(乙甲丙)、(乙丙甲)、(丙甲乙)、(丙乙甲)，共6种排法，甲、乙相邻而站有(甲乙丙)、(乙甲丙)、(丙甲乙)、(丙乙甲)，共4种排法，由概率公式得甲、乙两人相邻而站的概率为＝.
答案　
7．(2022·南京、盐城模拟)从长度分别为2，3，4，5的四条线段中任意取出三条，则以这三条线段为边可以构成三角形的概率是________．
解析　从四条线段中任取三条有4种取法：(2，3，4)，(2，3，5)，(2，4，5)，(3，4，5)，其中能构成三角形的取法有3种：(2，3，4)，(2，4，5)，(3，4，5)，故所求的概率为.
答案　
8．(2021·成都诊断)甲、乙两组各有三名同学，他们在一次测验中的成果的茎叶图如图所示．假如分别从甲、乙两组中各随机选取一名同学，则这两名同学的成果相同的概率是________.
甲组

乙组

8
8

3
2
9
0
1
2
解析　由题意知甲组三名同学的成果为88，92，93，乙组三名同学的成果为90，91，92，则两组中各任取一名共有9种结果，成果相同时只有一种结果，所以概率为.
答案　
三、解答题
9．(2022·郑州质量监测)某种产品的广告费支出x与销售额y(单位：万元)之间有如下对应数据：
x
2
4
5
6
8
y
30
40
60
50
70
若广告费支出x与销售额y回归直线方程为y＝6.5x＋a(a∈R)．
(1)试猜测当广告费支出为12万元时，销售额是多少？
(2)在已有的五组数据中任意抽取两组，求至少有一组数据其猜测值与实际值之差的确定值不超过5的概率．
解　(1)由题意得＝＝5，
＝＝50，
由于点(5，50)在回归直线上，代入回归直线方程求得a＝17.5，
所求回归直线方程为y＝6.5x＋17.5，
当广告支出为12万元时，销售额y＝6.5×12＋17.5＝
95．5(万元)．
(2)实际值和猜测值对应表为
x
2
4
5
6
8
y
30
40
60
50
70

30.5
43.5
50
56.5
69.5
在已有的五组数据中任意抽取两组的基本大事(30，40)，(30，60)，(30，50)，(30，70)，(40，60)，(40，50)，(40，70)，(60，50)，(60，70)，(50，70)，共10个，
两组数据其猜测值与实际值之差的确定值都超过5的有(60，50)，共1个，
所以至少有一组数据其猜测值与实际值之差的确定值不超过5的概率为P＝
1－＝.
10．现有8名奥运会志愿者，其中志愿者A1，A2，A3通晓日语，B1，B2，B3通晓俄语，C1，C2通晓韩语．从中选出通晓日语、俄语和韩语的志愿者各1名，组成一个小组．
(1)求A1被选中的概率；
(2)求B1和C1不全被选中的概率．
解　(1)从8人中选出日语、俄语和韩语志愿者各1名，其一切可能的结果组成的基本大事共18个：
(A1，B1，C1)，(A1，B1，C2)，(A1，B2，C1)，(A1，B2，C2)，(A1，B3，C1)，(A1，B3，C2)，(A2，B1，C1)，(A2，B1，C2)，(A2，B2，C1)，(A2，B2，C2)，(A2，B3，C1)，(A2，B3，C2)，(A3，B1，C1)，(A3，B1，C2)，(A3，B2，C1)，(A3，B2，C2)，(A3，B3，C1)，(A3，B3，C2)．
由18个基本大事组成．由于每一个基本大事被抽取的机会均等，因此这些基本大事的发生是等可能的．
用M表示“A1恰被选中”这一大事，则包含的结果为：
(A1，B1，C1)，(A1，B1，C2)，(A1，B2，C1)，(A1，B2，C2)，(A1，B3，C1)，(A1，B3，C2)
大事M由6个基本大事组成，因而P(M)＝＝.
(2)用N表示“B1、C1不全被选中”这一大事，则其对立大事表示“B1、C1全被选中”这一大事，由于包含(A1，B1，C1)，(A2，B1，C1)，(A3，B1，C1)3个结果，大事 有3个基本大事组成，所以P()＝＝，由对立大事的概率公式得P(N)＝1－P()＝1－＝.
力量提升题组
(建议用时：25分钟)
11．设集合A＝{1，2}，B＝{1，2，3}，分别从集合A和B中随机取一个数a和b，确定平面上的一个点P(a，b)，记“点P(a，b)落在直线x＋y＝n上”为大事Cn(2≤n≤5，n∈N)，若大事Cn的概率最大，则n的全部可能值为(　　)
A．3 B．4 C．2和5 D．3和4
解析　分别从集合A和B中随机取出一个数，确定平面上的一个点P(a，b)，则有(1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，共6种状况，a＋b＝2的有1种状况，a＋b＝3的有2种状况，a＋b＝4的有2种状况，a＋b＝5的有1种状况，所以可知若大事Cn的概率最大，则n的全部可能值为3和4.
答案　D
12．一个三位数的百位，十位，个位上的数字依次为a，b，c，当且仅当a＞b，b＜c时称为“凹数”(如213，312等)，若a，b，c∈{1，2，3，4}，且a，b，c互不相同，则这个三位数为“凹数”的概率是 (　　)
A. B. C. D.
解析　由1，2，3组成的三位数有123，132，213，231，312，321，共6个；
由1，2，4组成的三位数有124，142，214，241，412，421，共6个；
由1，3，4组成的三位数有134，143，314，341，413，431，共6个；
由2，3，4组成的三位数有234，243，324，342，432，423，共6个．所以共有6＋6＋6＋6＝24个三位数．
当b＝1时，有214，213，314，412，312，413，共6个“凹数”；
当b＝2时，有324，423，共2个“凹数”．
∴这个三位数为“凹数”的概率P＝＝.
答案　C
13．(2021·扬州中学模拟)将一枚骰子抛掷两次，若先后消灭的点数分别为b，c，则方程x2＋bx＋c＝0有实根的概率为________．
解析　将一枚骰子抛掷两次共有36种结果：(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，(4，5)，(4，6)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)，方程x2＋bx＋c＝0有实根，则Δ＝b2－4c≥0，即b≥2，则A包含的结果有：(2，1)，(3，1)，(4，1)，(5，1)，(6，1)，(3，2)，(4，2)，(5，2)，(6，2)，(4，3)，(5，3)，(6，3)，(4，4)，(5，4)，(6，4)，(5，5)，(6，5)，(5，6)，
(6，6)，共19种，由古典概率的计算公式可得P(A)＝.
答案　
14．一汽车厂生产A，B，C三类轿车，每类轿车均有舒适型和标准型两种型号，某月的产量如下表(单位：辆)：

轿车A
轿车B
轿车C
舒适型
100
150
z
标准型
300
450
600
按类用分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取50辆，其中有A类轿车10辆．
(1)求z的值；
(2)用分层抽样的方法在C类轿车中抽取一个容量为5的样本．将该样本看成一个总体，从中任取2辆，求至少有1辆舒适型轿车的概率；
(3)用随机抽样的方法从B类舒适型轿车中抽取8辆，经检测它们的得分如下：
9．4，8.6，9.2，9.6，8.7，9.3，9.0，8.2，把这8辆轿车的得分看成一个总体，从中任取一个数，求该数与样本平均数之差的确定值不超过0.5的概率．
解　(1)设该厂这个月共生产轿车n辆，
由题意得＝，所以n＝2 000，
则z＝2 000－100－300－150－450－600＝400.
(2)设所抽样本中有a辆舒适型轿车，
由题意得＝，则a＝2.
因此抽取的容量为5的样本中，有2辆舒适型轿车，3辆标准型轿车．用A1，A2表示2辆舒适型轿车，用B1，B2，B3表示3辆标准型轿车，用E表示大事“在该样本中任取2辆，其中至少有1辆舒适型轿车”，则基本大事空间包含的基本大事有：
(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，B1)，
(A2，B2)，(A2，B3)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B2，B3)，共10个．
大事E包含的基本大事有：
(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，共7个．故P(E)＝，即所求概率为.
(3)样本平均数＝(9.4＋8.6＋9.2＋9.6＋8.7＋9.3＋9.0＋8.2)＝9.
设D表示大事“从样本中任取一个数，该数与样本平均数之差的确定值不超过0.5”，则基本大事空间中有8个基本大事，大事D包含的基本大事有9.4，8.6，9.2，8.7，9.3，9.0，共6个，所以P(D)＝＝，即所求概率为.