【2021届备考】2021全国名校数学试题分类解析汇编(1月第三期)：M单元-推理与证明.docx

M单元　推理与证明
名目
M单元　推理与证明 1
M1　合情推理与演绎推理 1
M2　直接证明与间接证明 2
M3 数学归纳法 3
M4 单元综合 3

M1　合情推理与演绎推理

【数学（文）卷·2021届湖北省武汉市武昌区高三元月调考（202101）】16.给出以下数对序列：
(1，1)
(1，2)(2，1)
(1，3)(2，2)(3，1)
(1，4)(2，3)(3，2)(4，1)
……
记第行的第个数对为，如，则
（Ⅰ） ________；（Ⅱ） ________．
【学问点】归纳推理 M1
【答案】【解析】解析：由前4行的特点，归纳可得：若则
∴
故答案为：.
【思路点拨】由前4行得到，每一行的第一个数对是为行数，接着的每一个数对前一个数是连续的自然数，后一个是依次减1的数，由此推出第n行的数对，即可得到（Ⅰ）、（Ⅱ）的结论，留意每一行中，第一个数是列数，两个数之和减1是行数．

【数学理卷·2021届山东省日照一中高三上学期第三次阶段复习质量达标检测（202101）】13．已知＝2，＝3，＝4，…，若＝7，(a、b均为正实数)，则类比以上等式，可推想a、b的值，进而可得a＋b＝.
【学问点】类比推理．M1
【答案】【解析】55解析：观看下列等式
＝2，＝3，＝4，…，
照此规律，第7个等式中：a=7，b=72﹣1=48，∴a+b=55，故答案为：55
【思路点拨】观看所给的等式，照此规律，第7个等式中：a=7，b=72﹣1=48，即可写出结果．

【数学理卷·2021届云南省部分名校高三1月份统一考试（202101）】15．观看下列等式：依据上述规律，第个等式为.
【学问点】合情推理与演绎推理M1
【答案】【解析】解析：由题意得，可得第n项为，所以第个等式为.
【思路点拨】观看各个等式，找其中的规律，便可得到结果.

【数学文卷·2021届云南省部分名校高三1月份统一考试（202101）】15．观看下列等式：依据上述规律，第个等式为
【学问点】合情推理与演绎推理M1
【答案】【解析】解析：由题意得，可得第n项为，所以第个等式为故答案为
.
【思路点拨】观看各个等式，找其中的规律，便可得到结果.

M2　直接证明与间接证明

M3 数学归纳法

【数学理卷·2021届山东省日照一中高三上学期第三次阶段复习质量达标检测（202101）】20．（本小题满分13分）
已知数列{an}的前n项和为Sn，通项公式为an＝，f(n)＝，
(I)计算f(1)，f(2)，f(3)的值；
(II)比较f(n)与1的大小，并用数学归纳法证明你的结论.
【学问点】数列递推式；用数学归纳法证明不等式．D1 M3
【答案】【解析】(I)见解析；(II)当n＝1和n＝2时，f(n)＞1；当n≥3时，f(n)＜1.证明见解析。
解析：(I)由已知f(1)＝S2＝1＋＝，
f(2)＝S4－S1＝＋＋＝，
f(3)＝S6－S2＝＋＋＋＝；………………3分
(II)由(1)知f(1)＞1，f(2)＞1；
下面用数学归纳法证明：当n≥3时，f(n)＜1. ………………5分
①由(1)知当n＝3时，f(n)＜1；………………6分
②假设n＝k(k≥3)时，f(k)＜1，即f(k)＝＋＋…＋＜1，那么
f(k＋1)＝＋＋…＋＋＋
＝＋＋－＜1＋＋
＝1＋＋＝1－－＜1，
所以当n＝k＋1时，f(n)＜1也成立.………………11分
由①和②知，当n≥3时，f(n)＜1. ………………12分
所以当n＝1和n＝2时，f(n)＞1；当n≥3时，f(n)＜1.………………13分
【思路点拨】（1）此问依据通项公式计算出前n项的和．当n=1时，f（1）=s2；当n=2时，f（2）=s4﹣s1=a2+a3；当n=3时，f（3）=s6﹣s2．（2）当n=1时，当n＝1和n＝2时，f(n)＞1；当n≥3时，f(n)＜1.

M4 单元综合