2022届数学一轮课时作业(文科)人教A版-第四章-三角函数、解三角形-第4章-第2讲.docx

第2讲　同角三角函数基本关系式与诱导公式

基础巩固题组
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．＝ (　　)
A．sin 2－cos 2　 B．sin 2＋cos 2
C．±(sin 2－cos 2)　 D．cos 2－sin 2
解析　＝
＝＝|sin 2－cos 2|＝sin 2－cos 2.
答案　A
2．已知sin α＝，则sin4α－cos4α的值为 (　　)
A．－　 B．－
C．　 D．
解析　sin4α－cos4α＝sin2α－cos2α＝2sin2α－1＝－1＝－.
答案　B
3．已知α和β的终边关于直线y＝x对称，且β＝－，则sin α等于 (　　)
A．－　 B．　
C．－　 D．
解析　由于α和β的终边关于直线y＝x对称，所以α＋β＝2kπ＋(k∈Z)．又β＝－，所以α＝2kπ＋(k∈Z)，即得sin α＝.
答案　D
4．(2022·肇庆模拟)已知sin＝，α∈，则sin(π＋α)＝ (　　)
A．　 B．－
C．　 D．－
解析　由已知sin＝，得cos α＝，∵α∈，∴sin α＝，∴sin(π＋α)＝－sin α＝－.
答案　D
5．已知sin＝，则cos＝ (　　)
A．　 B．－　
C．　 D．－
解析　∵cos＝sin
＝sin＝－sin＝－.
答案　D
二、填空题
6．假如sin(π＋A)＝，那么cos的值是________.
解析　∵sin(π＋A)＝，∴－sin A＝.
∴cos＝－sin A＝.
答案　
7．sin π·cos π·tan的值是________.
解析　原式＝sin·cos·tan
＝··
＝××(－)＝－.
答案　－
8．(2021·长沙一模)若cos(2π－α)＝，且α∈，则sin(π－α)＝________.
解析　由诱导公式可知cos(2π－α)＝cos α＝，sin(π－α)＝sin α，由sin2α＋cos2α＝1可得，sin α＝±，
∵α∈，∴sin α＝－.
答案　－
三、解答题
9．已知sin θ＝，＜θ＜π.
(1)求tan θ的值；
(2)求的值．
解　(1)∵sin2θ＋cos2θ＝1，∴cos2θ＝.
又＜θ＜π，∴cos θ＝－.∴tan θ＝＝－.
(2)由(1)知，＝＝－.
10．已知在△ABC中，sin A＋cos A＝.
(1)求sin Acos A的值；
(2)推断△ABC是锐角三角形还是钝角三角形；
(3)求tan A的值．
解　(1)∵sin A＋cos A＝， ①
∴两边平方得1＋2sin Acos A＝，
∴sin Acos A＝－，
(2)由sin Acos A＝－＜0，且0＜A＜π，
可知cos A＜0，∴A为钝角，∴△ABC是钝角三角形．
(3)∵(sin A－cos A)2＝1－2sin Acos A＝1＋＝，
又sin A＞0，cos A＜0，∴sin A－cos A＞0，
∴sin A－cos A＝， ②
∴由①，②可得sin A＝，cos A＝－，
∴tan A＝＝＝－.
力气提升题组
(建议用时：25分钟)
11．若sin＝，则cos等于 (　　)
A．－　 B．－
C．　 D．
解析　∵＋＝.
∴sin＝sin
＝cos＝.
则cos＝2cos2－1＝－.
答案　A
12．(2022·武汉模拟)已知α∈，sin α＋cos α＝－，则tan等于 (　　)
A．7　 B．－7
C．　 D．－
解析　由sin α＋cos α＝－两边平方得1＋2sin αcos α＝，∴2sin αcos α＝－，∵＜α＜π，此时sin α＞0，cos α＜0，sin α－cos α＝＝ ＝＝，联立得
解得sin α＝，cos α＝－，∴tan α＝＝－，
∴tan＝＝＝，故选C．
答案　C
13．sin21°＋sin22°＋…＋sin290°＝________.
解析　sin21°＋sin22°＋…＋sin290°＝sin21°＋sin22°＋…＋sin244°＋sin245°＋cos244°＋cos243°＋…＋cos21°＋sin290°＝(sin21°＋cos21°)＋(sin22°＋cos22°)＋…＋(sin244°＋cos244°)＋sin245°＋sin290°＝44＋＋1＝.
答案　
14．是否存在α∈，β∈(0，π)，使等式sin(3π－α)＝cos，cos(－α)＝－cos(π＋β)同时成立？若存在，求出α，β的值；若不存在，请说明理由．
解　假设存在角α，β满足条件，
则由已知条件可得
由①2＋②2，得sin2α＋3cos2α＝2.
∴sin2α＝，∴sin α＝±.
∵α∈，∴α＝±.
当α＝时，由②式知cos β＝，
又β∈(0，π)，∴β＝，此时①式成立；
当α＝－时，由②式知cos β＝，
又β∈(0，π)，∴β＝，此时①式不成立，故舍去．
∴存在α＝，β＝满足条件.