2021年高中数学人教A版必修4练习：习题课4-Word版含答案.docx

习题课（四）

一、选择题
1．如图，e1，e2为相互垂直的单位向量，向量a＋b＋c可表示为(　　)
A．3e1－2e2　　　 B．－3e1－3e2
C．3e1＋2e2　 D．2e1＋3e2
解析：a＋b＋c＝3e1＋2e2.
答案：C
2．已知向量a＝(1，－2)，|b|＝4|a|，a∥b，则b可能是(　　)
A．(4,8)　 B．(8,4)
C．(－4，－8)　 D．(－4,8)
解析：∵a∥b，a＝(1，－2)，∴存在实数λ，使b＝λa，结合选项可知，b可以是(－4,8)．
答案：D
3．设向量a＝(m，n)，b＝(s，t)，定义两个向量a，b之间的运算“⊕”为a⊕b＝(ms，nt)．若向量p＝(1,2)，p⊕q＝(－3，－4)，则向量q等于(　　)
A．(－3,2)　 B．(3，－2)
C．(－3，－2)　 D．(－2，－3)
解析：设向量q＝(x，y)，p⊕q＝(x,2y)＝(－3，－4)，∴x＝－3，y＝－2，故向量q＝(－3，－2)．
答案：C
4．△ABC的三个内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，设向量p＝(a＋c，b)，q＝(b，c－a)．若p∥q，则角C的大小为(　　)
A.　 B.
C.　 D.
解析：∵p＝(a＋c，b)，q＝(b，c－a)且p∥q，
∴(a＋c)(c－a)－b·b＝0，即c2＝a2＋b2，
∴角C的大小为.
答案：C
二、填空题
5．已知点M(3，－2)，N(－5，－1)，若＝，则点P的坐标是________．
解析：令P(x，y)，则＝(x－3，y＋2)，
＝(－8,1)．
∵＝，即(x－3，y＋2)＝(－8,1)，
∴即∴P.
答案：
6．已知点A(1，－2)，若线段AB的中点坐标为(3,1)且与向量a＝(1，λ)共线，则λ＝________.
解析：由题意得，点B的坐标为(3×2－1,1×2＋2)＝(5,4)，则＝(4,6)．又与a＝(1，λ)共线，则4λ－6＝0，得λ＝.
答案：
7．若1＝a，＝b，＝λ(λ≠－1)，则用a，b表示为________．
解析：∵＝＋＝＋λ
＝＋λ(－)＝＋λ－λ，
∴(1＋λ)＝1＋λ，
∴＝＋＝a＋b.
答案：a＋b
三、解答题
8.如图所示，在△ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB、AC于不同的两点M、N，若＝m，＝n，求m＋n的值．
解：设＝a，＝b，则＝(＋)＝a＋b，
又＝＋＝＋λ＝＋λ(－)＝(1－λ)＋λ＝a＋b.
依据平面对量基本定理消去λ整理得m＋n＝2.
9.已知△ABC的两边AB、AC的中点分别为M、N，在BN的延长线上取点P，使NP＝BN，在CM的延长线上取点Q，使MQ＝CM，求证：P、A、Q三点共线．
证明：设＝a、＝b.由题意可知，＝＋＝a＋2
＝a＋2(－)
＝a＋2＝a＋b－2a＝b－a；
＝＋＝b＋2＝b＋2(－)
＝b＋2＝b＋a－2b＝a－b.
明显，＝－，所以，共线．
又由于，有公共起点A.
故P、A、Q三点共线．
10．已知点O(0,0)，A(1,2)，B(4,5)，且＝＋t(t∈R)，求：
(1)t为何值时，点P在x轴上？点P在二、四象限角平分线上？点P在其次象限？
(2)四边形OABP能否成为平行四边形？若能，求出相应的t值；若不能，请说明理由．
解：(1)＝＋t＝(1＋3t,2＋3t)，
若点P在x轴上，只需2＋3t＝0，t＝－；
若点P在二、四象限角平分线上，则
1＋3t＝－(2＋3t)，t＝－；
若点P在其次象限，则需⇒－＜t＜－.
(2)＝(1,2)，＝(3－3t,3－3t)，若四边形OABP为平行四边形，则＝.
无解，故四边形OABP不能成为平行四边形．