高中数学(北师大版)选修2-2教案：第1章-教材解读：综合法与分析法.docx

《综合法与分析法》教材解读
一、重点学问梳理
1、综合法是把整个不等式看成一个整体，从某一个或几个不等式动身经过变形、运算推导出欲证的不等式。综合法是证明不等式时一种较为简捷的方法，其简捷之处就再于直接运用了不等式的有关定理、性质来解决问题。当然，要想运用定理、不等式，必需具备相应的条件，另外，在证题的过程中，要能够通过对条件与结论及不等式两端的差距与联系的比较、分析，制定出合理的解题策略，并加以实施。常用的关系有：①若ab＞0，则＋≥2(当且仅当a＝b时取“＝”号)；②若t＞0，则t＋≥2(当且仅当t＝1时取“＝”号)；若t＜0，则t＋≤－2(当且仅当t＝－1时取“＝”号)；③若a，b∈R，则ab≤()2≤

2、分析法实质上是从欲证的不等式动身，去查找使之成立的充分条件。在证明的过程中，要保证变形的每一步都是可逆的，即分析得到的每一步都是上一步成立的充分条件。分析法是证明不等式的一种常用的方法，通常状况下，当一个不等式无法利用比较法和综合法加以证明时，可以接受这一方法。这一方法对于一些条件较为简洁而结论简洁的问题往往特殊有效。
分析法与综合法是两种思路截然相反的证明方法。综合法与分析法是对应统一的，证题时常将两种方法交替使用。在证明不等式时，对于简洁的不等式，直接运用综合法证明往往难以确定解决问题的策略，通常要分析、探究证题途径，然后再运用综合法加以证明，即用分析法探路，用综合法叙述。
综合法和分析法的推证过程如下：
结论

综合法——已知条件

结论

分析法—— 已知条件

二、疑、难点解析
这部分的难点是分析法证明过程的书写以及两种方法在证题中选择和使用。
例1、设a，b，c均为正数，且a＋b＋c≤3，求证：＋＋≥.
证明：留意到上述不等式当a＝b＝c＝1时取等号，由二元均值不等式可得：
＋≥2＝1，同理＋≥1，＋≥1，
三式累加，得＋＋＋≥3，
∴＋＋≥3－，
∵a＋b＋c≤3，－(a＋b＋c)≥－3，
∴＋＋≥.
点评：由于本题所证不等式为轮换对称式(交换任意两个字母不等式不发生转变)，具有这种规律的不等式经常接受综合法证明.本题证明中涉及到了三个不等式相加，这种方法称为累加法，是证明不等式的一种基本而又重要的方法，在使用这一方法时，如能依据所证不等式取等号的条件，机敏应用平均值不等式，往往能直接推得所需结论.
留意：（1）综合法是“由因导果”，即从“已知”看“可知”，逐步推向“未知”。
（2）①几个同向不等式相加或相乘；②条件不等式的证明，要适当运用条件；③积累和娴熟运用常用不等式，并特殊留意不等式成立的条件信取得等号的条件。

例2、已知a>b>0，求证： 。
证明：要证原不等式，只要证 ，
即证 ，
只要证 ，
只要证 ，
即要证 ，即。
由于a>b>0，所以成立，故原不等式成立。
点评：以上证明过程是典型的分析法。分析法解题方向较为明确，利于查找解题思路；而综合法条理清楚、宜于表述。因此，在实际解题时，通常以分析法为主寻求解题思路，再用综合法有条理地表述解题过程。本题用综合法证明略。
留意: (1)分析法是“执果索因”，即从“未知”看“需知”再逐步靠近“已知”，其证题的方向是“逆求”(而不是逆推),步步寻求上一步成立的充分条件而非充要条件。
(2)分析法论证“若A则B”这个命题的书写格式如下：“要证……成立，只需证……成立，即证……成立，也就是证……成立，而……明显成立，故原不等式……成立”。同时要留意在用分析法证题时确定要使用必要的关联词。
（3）对于无理式、对数式、分式不等式的证明常用分析法证明。在证明过程中，常用到两过平方、配方，对数运算，两边同乘以或除以某一式子的技巧，但在这种变形过程中必需留意恒等变形。