2021高中数学-1.6微积分基本定理-学案(人教A版选修2-2).docx

1．6　微积分基本定理

学习目标
1.了解微积分基本定理的内容与含义．
2．会利用微积分基本定理求函数的定积分．(重点、难点)
学法指导
通过探究变速直线运动物体的速度与位移的关系，直观了解微积分基本定理的含义．微积分基本定理不仅揭示了导数和定积分之间的内在联系，而且还供应了计算定积分的一种有效方法.

1．微积分基本定理
内容
假如f(x)是区间[a，b]上的连续函数，并且F′(x)＝f(x)，那么f(x)dx＝F(b)－F(a)
符号
f(x)dx＝F(x)|＝F(b)－F(a)
2.定积分和曲边梯形面积的关系
设曲边梯形在x轴上方的面积为S上，在x轴下方的面积为S下，则
(1)当曲边梯形在x轴上方时，如图①，则f(x)dx＝S上．

(2)当曲边梯形在x轴下方时，如图②，则f(x)dx＝－S下．

(3)当曲边梯形在x轴上方、x轴下方均存在时，如图③，则f(x)dx＝S上－S下．
若S上＝S下，则f(x)dx＝0.

1．推断：(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若F′(x)＝f(x)，则F(x)唯一．(　　)
(2)定积分f(x)dx的几何意义是由x轴、函数y＝f(x)的图象以及直线x＝a，x＝b围成的各部分面积的代数和．(　　)
答案：(1)×　(2)×
2．下列各式中，正确的是(　　)
A.F′(x)dx＝F′(b)－F′(a)
B.F′(x)dx＝F′(a)－F′(b)
C．F′(x)dx＝F(b)－F(a)
D．F′(x)dx＝F(a)－F(b)
答案：C
3．下列积分值等于1的是(　　)
A.xdx　 B．(x＋1)dx
C．1dx D．dx
答案：C
4.(x2－x)dx＝________.
答案：

　　　　　　　求简洁函数的定积分

计算下列定积分：
(1)dx；
(2)sin xdx；
(3)(2x－)dx；
(4)(cos x－ex)dx.
(链接教材P53例1、例2)
[解]　(1)由于(ln x)′＝，
所以dx＝ln x|＝ln 2－ln 1＝ln 2.
(2)由于(－cos x)′＝sin x，
所以sin xdx＝(－cos x)|
＝(－cos 2π)－(－cos 0)＝0.
(3)由于(x2)′＝2x，()′＝－，
所以(2x－)dx＝2xdx－dx
＝x2|＋|＝(9－1)＋(－1)＝.
(4)由于(sin x)′＝cos x，(ex)′＝ex.
所以(cos x－ex)dx＝cos xdx－exdx
＝sin x|－ex|＝－1.
方法归纳
(1)用微积分基本定理求定积分的步骤：
①求f(x)的一个原函数F(x)；
②计算F(b)－F(a)．
(2)留意事项：
①有时需先化简被积函数，再求积分；
②f(x)的原函数有无穷多个，如F(x)＋c，计算时，一般只写一个最简洁的，不再加任意常数C．

1．计算下列定积分：
(1)(x2＋)dx；(2)(1＋)dx.
解：(1)(x2＋)dx＝(x3－x－3)|＝(－)－(－)＝.
(2)(1＋)dx＝(x＋x)|＝9＋×9－(4＋×4)＝27－(4＋)＝.

　　　　　　　计算分段函数的定积分
计算下列定积分：
(1)若f(x)＝，求f(x)dx；
(2)|3－2x|dx.
[解]　(1)∫f(x)dx＝x2dx＋(cos x－1)dx，
又∵(x3)′＝x2，(sin x－x)′＝cos x－1，
∴原式＝x3＋(sin x－x)
＝(0＋)＋(sin －)－(sin 0－0)
＝－.
(2)|3－2x|dx
＝(3－2x)dx＋(2x－3)dx
＝(3x－x2)＋(x2－3x)＝.
方法归纳
(1)求分段函数的定积分时，可利用积分性质将其表示为几段积分和的形式；
(2)带确定值的解析式，先依据确定值的意义找到分界点，去掉确定值号，化为分段函数；
(3)含有字母参数的确定值问题要留意分类争辩．

2．已知函数f(x)＝先画出函数图象，再求这个函数在区间[0,4]上的定积分．
解：函数f(x)的图象如图所示．

5555555555555555555555555
f(x)dx＝sin xdx＋1dx＋(x－1)dx
＝(－cos x)＋x＋(x2－x)
＝1＋(2－)＋(4－0)＝7－.

　　　　　　　定积分的简洁应用

已知f(x)＝(12t＋4a)dt，F(a)＝[f(x)＋3a2]dx，求函数F(a)的最小值．
[解]　∵f(x)＝(12t＋4a)dt
＝(6t2＋4at)|
＝6x2＋4ax－(6a2－4a2)
＝6x2＋4ax－2a2，
∴F(a)＝[f(x)＋3a2]dx＝(6x2＋4ax＋a2)dx
＝(2x3＋2ax2＋a2x)|＝a2＋2a＋2
＝(a＋1)2＋1≥1，
∴当a＝－1时，F(a)最小值＝1.
方法归纳
定积分的应用体现了积分与函数的内在联系，可以通过积分构造新的函数，进而对这一函数进行性质、最值等方面的考查，解题过程中留意体会转化思想的应用．

3．设函数y＝ωsin(ωx－)(ω＞0)的周期为T，若＜T＜，且ωsin(ωx－)dx＝－，求ω的值．
解：ωsin(ωx－)dx＝－cos(ωx－)|
＝－cos－sin ＋cos －sin
＝－sin ，
∴sin ＝，∴＝＋2kπ或＋2kπ(k∈Z)．
又∵＜T＜，
∴ω＝5.

数学思想
分类争辩思想求解含参数的积分
已知f(x)＝若3f(x)dx＝40，求实数k的值．
[解]　由3f(x)dx＝40，
得f(x)dx＝.
依据分段函数的解析式，分－2≤k＜2和2≤k＜3两种状况争辩：
(1)当－2≤k＜2时，
f(x)dx＝(2x＋1)dx＋(1＋x2)dx
＝(x2＋x)＋(x＋)
＝(4＋2)－(k2＋k)＋(3＋9)－(2＋)
＝－(k2＋k)＝，
所以k2＋k＝0，
解得k＝0或k＝－1.
(2)当2≤k＜3时，
f(x)dx＝(1＋x2)dx＝(x＋)
＝(3＋9)－(k＋)＝，
整理，得k3＋3k＋4＝0，
即k3＋k2－k2＋3k＋4＝0，
所以(k＋1)(k2－k＋4)＝0，
所以k＝－1，
又由于2≤k＜3，
所以k＝－1舍去．
综上所述，
k＝0或k＝－1为所求．
[感悟提高]　1.本题利用了分类争辩思想和方程思想，因积分下限k∈[－2,3)，故要对参数分两种情形－2≤k＜2,2≤k＜3进行分类求解，尽而转化为关于k的方程，解方程便可求得k的值．
2．分类争辩方法是解决含有参数问题的主要途径．分类争辩是依据确定的标准将一个简洁的数学问题分解为等价的若干个相对简洁的子问题．分类时坚持条件优先的原则，如依据参数的符号分类，按方程或函数的次数分类等，本例分类的标准是积分下限的意义以及分段函数的概念两方面的信息.
名师解题
定积分求解的三种常用策略
1.选择适当的积分变量
在有些定积分求解问题中，选x为积分变量，有时需将图形分割，运算比较繁琐，这时可选用y作为积分变量，为此需求出两线交点的纵坐标，确定出被积函数和积分的上、下限．
求由抛物线y2＝8x(y＞0)与直线x＋y－6＝0及y＝0所围成图形的面积．
[解]　

法一：由，解得交点坐标为(2,4)，如图，所以所求面积为A＝dx＋(6－x)dx＝2×x|＋(6x－x2)|＝×2＋(36－18)－(12－2)＝.
法二：由，
解得交点坐标为(2,4)，如图，
所以所求面积为
A＝(6－y－y2)dy＝(6y－y2－y3)|
＝24－8－×43＝.
2．巧用定积分的“区间可加性”
求解定积分运算时，若被积函数含有确定值，应先去掉确定值符号，再求解．

计算：|x－2|dx.
[解]　∵f(x)＝|x－2|＝
∴|x－2|dx＝(2－x)dx＋(x－2)dx
＝(2x－x2)|＋(x2－2x)|
＝(4－2)－(2－)＋(－6)－(2－4)
＝1.
3．合理拆项
被积函数假如是分式，并且分子中变量的最高项的次数与分母中最高项的次数相同，可以考虑将分式拆项，这样不但可以使问题的思路简洁查找，而且可以削减计算量．
求定积分dx的值．
[解]　dx＝dx
＝(1－)dx＝dx－dx
＝1－2dx＝1－2ln(x＋2)|＝1－2ln 2.
单独成册

1．ex＋2x)dx等于(　　)
A．1 B．e－1
C．e D．e＋1
解析：选C．(ex＋2x)dx＝(ex＋x2)|＝(e1＋1)－e0
＝e，故选C．
2．若(2x－3x2)dx＝0，则k等于(　　)
A．0 B．1
C．0或1 D．不确定
解析：选B.(2x－3x2)dx＝(x2－x3)|＝k2－k3＝0，∴k＝0(舍去)或k＝1，故选B.
3.|x|dx等于(　　)
A. xdx B.(－x)dx
C．(－x)dx＋xdx D．xdx＋(－x)dx
解析：选C．∵|x|＝
∴|x|dx＝(－x)dx＋xdx，故选C．
4．设f(x)＝则f(x)dx等于(　　)
A. B.
C． D．不存在
解析：选C．f(x)dx＝x2dx＋(2－x)dx
＝x3＋＝.
5．已知函数y＝x2与y＝kx(k＞0)的图象所围成的封闭区域的面积为，则k＝(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选C．由消去y得x2－kx＝0，
所以x＝0或x＝k，
则所求区域的面积为S＝(kx－x2)dx
＝(kx2－x3)＝＝，
即k3＝27，解得k＝3.
6．计算定积分(x2＋sin x)dx＝________.
解析：(x2＋sin x)dx＝(－cos x)|＝.
答案：
7．已知2≤(kx＋1)dx≤4，则实数k的取值范围为________．
解析：(kx＋1)dx＝(kx2＋x)|＝(2k＋2)－(k＋1)＝k＋1，
所以2≤k＋1≤4，解得≤k≤2.
答案：
8．(2022·天津高二检测)设m＝exdx，n＝x－1dx，则m与n的大小关系为________．
解析：由微积分基本定理，得m＝exdx＝ex|＝e－1，
n＝x－1dx＝ln x|＝1，
由于m－n＝e－2＞0，
所以m＞n.
答案：m＞n
9．计算下列定积分：
(1)(x2－3x＋5)dx；
(2)cos2xdx；
(3)(x－x2＋)dx；
(4) (|x＋3|＋|3－x|)dx
解：(1)∵(x3－x2＋5x)′＝x2－3x＋5，
∴(x2－3x＋5)dx＝(x3－x2＋5x)|
＝－6＋10－(－－－5)＝.
(2)∵cos2x＝＋cos 2x，
(x＋sin 2x)′＝＋cos 2x，
∴cos2xdx＝(x＋sin 2x)
＝＋sin π－(＋sin )
＝－×＝－.
(3)∵(x2－x3＋ln x)′＝x－x2＋，
∴(x－x2＋)dx＝(x2－x3＋ln x)|
＝×4－×8＋ln 2－(－＋ln 1)
＝－＋ln 2.
(4)设f(x)＝|x＋3|＋|3－x|＝
则(|x＋3|＋|3－x|)dx
＝(－2x)dx＋dx＋2xdx
＝(－x2)|＋6x|＋x2|
＝－(－3)2－(－1)×(－6)2＋6×3－6×(－3)＋62－32＝90.
10．已知(x3＋ax＋3a－b)dx＝2a＋6，且f(t)＝(x3＋ax＋3a－b)dx为偶函数，求a，b.
解：∵f(x)＝x3＋ax为奇函数，
∴(x3＋ax)dx＝0，
∴(x3＋ax＋3a－b)dx
＝(x3＋ax)dx＋(3a－b)dx
＝0＋(3a－b)[1－(－1)]
＝6a－2b，
∴6a－2b＝2a＋6，即2a－b＝3.①
又∵f(t)＝
＝＋＋(3a－b)t为偶函数，
∴3a－b＝0.②
由①②得a＝－3，b＝－9.
[高考水平训练]
1．若y＝(sin t＋cos t·sin t)dt，则y的最大值是(　　)
A．1 B．2
C．－1 D．0
解析：选B.y＝(sin t＋cos t·sin t)dt
＝sin tdt＋dt＝－cos t－cos 2t
＝－cos x＋1－(cos 2x－1)
＝－cos 2x－cos x＋
＝－(cos x)2－cos x＋
＝－(cos x＋1)2＋2≤2.
2．设f(x)＝，若f[f(1)]＝1，则a＝________.
解析：∵x＝1＞0，∴f(1)＝lg 1＝0.
又∵f(x)＝x＋3t2dt＝x＋a3(x≤0)，
∴f(0)＝a3，∴a3＝1，∴a＝1.
答案：1
3．若f(x)是一次函数，且f(x)dx＝5，xf(x)dx＝.求dx的值．
解：设f(x)＝kx＋b，k≠0，
则(kx＋b)dx＝＝＋b＝5，①
xf(x)dx＝ (kx2＋bx)dx
＝＝＋＝，②
联立①②可得
∴f(x)＝4x＋3.
则dx＝dx
＝dx＝(4x＋3ln x)
＝(8＋3ln 2)－(4＋3ln 1)＝4＋3ln 2.
4．已知(2t－3)dt＋2≤0，求函数f(x)＝的值域．
解：由(2t－3)dt＋2≤0，
得(t2－3t)|＋2≤0，
即x2－3x＋2≤0，
解得1≤x≤2.
由于f(x)＝＝4x＋，
所以f′(x)＝(4x＋)′＝4－＝，
令f′(x)＝0，得4x2－9＝0，
解得x＝或x＝－(舍去)．
易知当1≤x＜时，f′(x)＜0；
当＜x≤2时，f′(x)＞0.
所以f(x)在[1，)上单调递减，在(，2]上单调递增，
故当x＝时，f(x)取得唯一的微小值f()＝12，
故f(x)在1≤x≤2上的最小值为12.
又f(1)＝13＞f(2)＝，故f(x)在1≤x≤2上的最大值为13，所以f(x)在1≤x≤2上的值域为[12,13]．