2021高中数学北师大版必修四导学案：《单位圆与诱导公式》.docx

第4课时　单位圆与诱导公式

1.借助单位圆,利用点的对称性推导出“-α,π+α,π-α,α+π2”的诱导公式,并会应用公式求任意角的三角函数值.
2.会应用公式进行简洁的三角函数的化简与求值.
3.通过公式的运用,学会从未知到已知,简单到简洁的转化方法.

我们已经学习了任意角的正弦、余弦函数的定义,以及终边相同的角的正弦、余弦函数值也相等,即sin(2kπ+α)=sin α(k∈Z)与cos(2kπ+α)=cos α(k∈Z),公式体现了求任意角的正弦、余弦函数值转化为求0°~360°的角的正弦、余弦函数值,那么我们能否将0°~360°间的角的正弦、余弦函数值转化为锐角的正弦、余弦函数值呢?

问题1:将任意角转化成0°~360°间的角的几种状况
由于任意角都可以通过终边相同的角转化成0°~360°间的角,对于任意0°~360°的角β,只有四种可能(其中α为锐角),则有
β=α　　　当β∈(0°,90°)时,β为第　　　象限角180°-α　当β∈(90°,180°)时,β为第　　　象限角180°+α　当β∈(180°,270°)时,β为第　　　象限角360°-α　当β∈(270°,360°)时,β为第　　　象限角

问题2:(1)角α与-α的正弦函数、余弦函数关系
如图,在单位圆中对任意角∠MOP=α,作∠MOP'=-α,这两个角的终边与单位圆的交点分别为P和P',可知OP与OP'关于　　　 轴对称,设P点的坐标为(a,b),则点P'的坐标为(a,-b),所以sin(-α)=-b,cos α=a.即sin(-α)=　　　　　,cos(-α)=　　　　　. 

(2)角α与α±π的正弦函数、余弦函数关系
如图,在直角坐标系的单位圆中,对任意角∠MOP=α,其终边与单位圆的交点为P,当点P按逆(顺)时针方向旋转π至点P'时,点P'的坐标为:(cos(α+π),sin(α+π))或(cos(α-π),sin(α-π)),此时点P与点P'关于原点对称,横、纵坐标都互为　　　　　,故sin(α+π)=　　　　　,cos(α+π)=　　　　　;sin(α-π)=　　　　　,cos(α-π)=　　　　　. 
(3)角α与π-α的正弦函数、余弦函数关系

如图,在单位圆中,当∠MOP=α是锐角时,作∠MOP'=π-α,不难看出,点P和点P'关于y轴对称,则有sin(π-α)=　　　　　, 
cos(π-α)=　　　　　. 
　　(4)角α与π2+α的正弦函数、余弦函数关系
在单位圆中,仿照上面的方法,可以得出,sin(α+π2)=　　　　 　,cos(α+π2)=　　　　　　. 
问题3:任意角的正弦函数与余弦函数的诱导公式
(1)sin(2kπ+α)=　　　　　;cos(2kπ+α)=　　　　　; 
(2)sin(-α)=　　　　　;cos(-α)=　　　　　; 
(3)sin(2π-α)=　　　　　;cos(2π-α)=　　　　　; 
(4)sin(π-α)=　　　　　;cos(π-α)=　　　　　; 
(5)sin(π+α)=　　　　　;cos(π+α)=　　　　　; 
(6)sin(α+π2)=　　　　　;cos(α+π2)=　　　　　; 
(7)sin(π2-α)=　　　　　;cos(π2-α)=　　　　　. 
问题4:争辩几组诱导公式的共同点与规律
(1)2kπ±α,-α,π±α的三角函数值等于α的　　　　三角函数值,前面加上一个把α看作　　　角时原三角函数值的符号; 
(2)π2±α的正弦(余弦)函数值分别等于α的　　　　(　　　　)函数值,前面加上一个把α看作　　　角时原三角函数值的符号. 

1.下列等式不正确的是(　　).
A.sin(α+180°)=-sin α B.cos(-α+β)=-cos(α-β)
C.sin(-α-360°)=-sin α D.cos(-α-β)=cos(α+β)
2.函数f(x)=cosπx3(x∈Z)的值域为(　　).
A.{-1,-12,0,12,1} B.{-1,-12,12,1}
C.{-1,-32,0,32,1} D.{-1,-32,32,1}
3.若sin(π6-θ)=33,则sin(7π6-θ)=　　　　. 
4.已知sin(π+α)+sin(-α)=-m,求sin(3π+α)+2sin(2π-α)的值.

利用诱导公式化简
求特殊角的三角函数值.
(1)sin 1320°;
(2)cos(-313π).

诱导公式在三角函数中的综合运用
已知f(θ)=sin(θ-3π)cos(2π-θ)sin(-θ+3π2)cos(-π-θ)sin(-π-θ).
(1)化简f(θ);
(2)若sin(3π2-θ)=15,求f(θ)的值.

利用诱导公式对三角函数式化简、求值或证明恒等式
化简:sin(4n-14π-α)+cos(4n+14π-α)(n∈Z).

求sin(-203π)cos436π+cos(-173π)·sin(356π)的值.

已知f(x)=sin(π-x)cos(2π-x)cos(-π2+x)·sin(-x+π)cos(-x+π),求f(-31π3)的值.

已知cos(π+α)=-12,且α是第四象限角,计算sin[α+(2n+1)π]+sin[α-(2n+1)π]sin(α+2nπ)cos(α-2nπ)(n∈Z)的值.

1.sin(-196π)的值等于(　　).
A.-32　　　 B.-12　　　 C. 12　　　 D. 32
2.已知sin(α-π4)=13,则cos(π4+α)的值为(　　).
A.223　　　 B.-223　　　 C. 13　　　 D.-13
3.5sin 90°+2cos 0°-3sin 270°+10cos 180°=　　　　. 
4.化简sin(2π-α)cos(π+α)sin(α-3π)sin(-α)sin(π-α)sin(-α-π2).

(2009年·全国Ⅰ卷)sin 585°的值为(　　).
A.-22　　　 B.22 　　　 C.-32　　　 D.32
　　考题变式(我来改编):

第4课时　单位圆与诱导公式

学问体系梳理
问题1:一　二　三　四
问题2:(1)x　-sin α　cos α　(2)相反数　-sin α　-cos α　-sin α　-cos α　(3)sin α　-cos α　(4)cos α　-sin α
问题3:(1)sin α　cos α　(2)-sin α　cos α　(3)-sin α　cos α　(4)sin α　-cos α　(5)-sin α　-cos α　(6)cos α　-sin α　 (7)cos α　sin α
问题4:(1)同名　锐 　(2)余弦　正弦　锐
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1.B　由诱导公式可知,A正确;对于B,cos(-α+β)=cos[-(α-β)]=cos(α-β),故B不正确;对于C,sin(-α-360°)=sin(-α)=-sin α,故C正确;对于D,cos(-α-β)=cos[-(α+β)]=cos(α+β),故D正确.
2.B　对x依次赋值0,1,2,3,4,…,很简洁选出.
3.-33　sin(7π6-θ)=sin[π+(π6-θ)]=-sin(π6-θ)=-33.
4.解:∵sin(π+α)+sin(-α)=-sin α-sin α=-2sin α=-m,∴sin α=m2,而sin(3π+α)+2sin(2π-α)=sin[2π+(π+α)]-2sin α=sin(π+α)-2sin α=-sin α-2sin α=-3sin α,故sin(3π+α)+2sin(2π-α)=-32m.
重点难点探究
探究一:【解析】(1)sin 1320°=sin(3×360°+240°)
=sin 240°
=sin(180°+60°)=-sin 60°=-32.
(2)cos(-313π)=cos(-10π-π3)=cos(-π3)=cosπ3=12.
【小结】熟记正弦函数、余弦函数的诱导公式,将其转化为锐角的正弦或余弦值,是解答此类题型的关键,同时要牢记一些特殊角的三角函数值.
　　探究二:【解析】(1)f(θ)=(-sinθ)cosθ(-cosθ)(-cosθ)sinθ
=-cos θ.
(2)∵sin(3π2-θ)=-cos θ=15,
∴f(θ)=-cos θ=15.
【小结】熟记诱导公式,并留意总结规律,有助于理解和记忆,如涉及2kπ±α,-α,π±α的三角函数值,其三角函数的名不变,若涉及π2±α,则正弦变余弦、余弦变正弦,另外,要留意符号的变化.
　　探究三:【解析】原式=sin[nπ-(π4+α)]+cos[nπ+(π4-α)]
=sin(π4+α)-cos(π4-α)
=sin[π2-(π4-α)]-cos(π4-α)
=cos(π4-α)-cos(π4-α)=0.
[问题]以上化简过程正确吗?
[结论]不正确,在化简过程中未对n加以争辩而导致错误.
于是,正确解答如下:
原式=sin[nπ-(π4+α)]+cos[nπ+(π4-α)].
①当n=2k+1(k∈Z)时,
原式=sin[2kπ+π-(π4+α)]+cos[2kπ+π+(π4-α)]
=sin(π4+α)-cos(π4-α)
=cos(π4-α)-cos(π4-α)=0.
②当n=2k(k∈Z)时,
原式=sin[2kπ-(π4+α)]+cos[2kπ+(π4-α)]
=-sin(π4+α)+cos(π4-α)=0.
综上可得,原式=0.
【小结】在对sin(α+kπ),cos(α+kπ)进行化简时,一般要分两种状况争辩:当k为偶数时,sin(α+kπ)=sin α,cos(α+kπ)=cos α;当k为奇数时,sin(α+kπ)=-sin α,cos(α+kπ)=-cos α.
思维拓展应用
应用一:原式=-sin(6π+2π3)cos(6π+76π)+cos(4π+53π)·sin(4π+116π)=-sin(π-π3)cos(π+π6)+cos(2π-π3)sin(2π-π6)=sinπ3cosπ6-cosπ3sinπ6=32·32-12·12=12.
　　应用二:∵f(x)=sinxcosxsinx·sinx-cosx=-sin x,
∴f(-31π3)=-sin(-31π3)=sin31π3=sin(10π+π3)
=sinπ3=32.
　　应用三:∵cos(π+α)=-12,∴-cos α=-12,cos α=12,
∴sin[α+(2n+1)π]+sin[α-(2n+1)π]sin(α+2nπ)cos(α-2nπ)
=sin(2nπ+π+α)+sin(-2nπ-π+α)sin(2nπ+α)cos(-2nπ+α)
=sin(π+α)+sin(-π+α)sinαcosα
=-sinα-sin(π-α)sinαcosα=-2sinαsinαcosα
=-2cosα=-4.
基础智能检测
1.C　∵sin(-196π)=sin(-4π+56π)=sin 56π=sin(π-π6)=sinπ6=12,故选C.
2.D　cos(π4+α)=sin[π2-(π4+α)]=-sin(α-π4)=-13.
3.0　5sin 90°+2cos 0°-3sin 270°+10cos 180°=5×1+2×1-3×(-1)+10×(-1)=0.
4.解:原式=-sinα·(-cosα)·sin(-4π+π+α)-sinα·sinα·sin[-(α+π2)]
=-sinαcosαsinαsinαsinαcosα=-1.
全新视角拓展
A　sin 585°=sin(360°+225°)=sin 225°=sin(180°+45°)=-22.
思维导图构建
sin α　-cos α 　-cos α 　cos α　-sin α