2021高考数学(福建-理)一轮学案69-正态分布.docx

学案69　正态分布

导学目标： 利用实际问题的直方图，了解正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．

自主梳理
1．正态分布密度曲线及性质
(1)正态曲线的定义
函数φμ，σ(x)＝__________________________(其中实数μ和σ (σ>0)为参数)的图象为正态分布密度曲线．
(2)正态分布密度曲线的特点
①曲线位于x轴________，与x轴不相交；
②曲线是单峰的，它关于直线________对称；
③曲线在________处达到峰值____________；
④曲线与x轴之间的面积为____；
⑤当σ确定时，曲线随着____的变化而沿x轴移动；
⑥当μ确定时，曲线的外形由σ确定．σ________，曲线越“高瘦”，表示总体的分布越集中；σ________，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散．
2．正态分布
(1)正态分布的定义及表示
假如对于任何实数a，b (a<b)，随机变量X满足P(a<X≤b)＝________________________，则称随机变量X听从正态分布，记作________________．
(2)正态分布的三个常用数据
①P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝____________；
②P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)＝____________；
③P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)＝____________.
自我检测
1．(2011·大连模拟)下列说法不正确的是(　　)
A．若X～N(0,9)，则其正态曲线的对称轴为y轴
B．正态分布N(μ，σ2)的图象位于x轴上方
C．全部的随机现象都听从或近似听从正态分布
D．函数φ(x)＝ (x∈R)的图象是一条两头低、中间高、关于y轴对称的曲线
2．已知随机变量ξ听从正态分布N(3，σ2)，则P(ξ<3)等于(　　)
A. B. C. D.
3．(2011·湖北)已知随机变量ξ听从正态分布N(2，σ2)，且P(ξ<4)＝0.8，则P(0<ξ<2)等于(　　)
A．0.6 B．0.4 C．0.3 D．0.2
4．某随机变量ξ听从正态分布，其正态分布密度函数为φ(x)＝，则ξ的期望和标准差分别是(　　)
A．0和8 B．0和4
C．0和 D．0和2
5.

(2011·辽宁十校联考)设两个正态分布N(μ1，σ) (σ1>0)和N(μ2，σ) (σ2>0)的密度函数图象如图所示，则有(　　)
A．μ1<μ2，σ1<σ2
B．μ1<μ2，σ1>σ2
C．μ1>μ2，σ1<σ2
D．μ1>μ2，σ1>σ2

探究点一　正态曲线的性质
例1　

如图所示，是一个正态曲线，试依据图象写出其正态分布密度曲线的解析式，并求出正态总体随机变量的均值和方差．

变式迁移1　若一个正态分布的正态分布密度函数是一个偶函数，且该函数的最大值为.
(1)求该正态分布的概率密度函数的解析式；
(2)求正态总体在(－4,4]的概率．

探究点二　听从正态分布的概率计算
例2　设X～N(5,1)，求P(6<X≤7)．

变式迁移2　设X～N(1,22)，试求：
(1)P(－1<X≤3)；(2)P(3<X≤5)；(3)P(X≥5)．

探究点三　正态分布的应用
例3　(2011·青岛期末)在某次数学考试中，考生的成果ξ听从一个正态分布，即ξ～N(90,100)．
(1)试求考试成果ξ位于区间(70,110)上的概率是多少？
(2)若这次考试共有2 000名考生，试估量考试成果在(80,100)间的考生大约有多少人？

变式迁移3　在某次大型考试中，某班同学的成果听从正态分布N(80,52)，现已知该同学中成果在80分～85分的有17人．试计算该班成果在90分以上的同学有多少人？

1．正态分布密度曲线，简称正态曲线，其解析式为：φμ，σ(x)＝，x∈(－∞，＋∞)．
2．正态曲线的特点：(1)曲线在x轴的上方，与x轴不相交．(2)曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称．(3)曲线在x＝μ时达到峰值.(4)曲线与x轴之间的面积为1.(5)当σ确定时，曲线随着μ的变化而沿x轴平移．(6)当μ确定时，曲线的外形由σ确定．σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散；σ越小，曲线越“高瘦”，表示总体的分布越集中．
3．3σ原则：从理论上讲，听从正态分布的随机变量ξ的取值范围是R，但实际上ξ取区间(μ－3σ，μ＋3σ)外的数值的可能性微乎其微(只有0.26%)，在实际问题中经常认为它是不会发生的．因此，往往认为它的取值是个有限区间，即区间(μ－3σ，μ＋3σ)，这就是有用中的三倍标准差规章，也叫3σ原则．在企业管理中，经常应用这个原则进行产品质量检查和工艺生产过程把握．

(满分：75分)

一、选择题(每小题5分，共25分)

1．如图是正态分布N(μ，σ)，N(μ，σ)，N(μ，σ)相应的曲线，则有(　　)
A．σ1>1>σ2>σ3>0
B．0<σ1<σ2<1<σ3
C．σ1>σ2>1>σ3>0
D．0<σ1<σ2＝1<σ3
2．(2011·佛山月考)设随机变量ξ听从正态分布N(2,9)，若P(ξ>c＋1)＝P(ξ<c－1)，则c等于(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
3．某市组织一次高三调研考试，考试后统计的数学成果听从正态分布，其密度函数为φ(x)＝· (x∈R)，则下列命题中不正确的是(　　)
A．该市这次考试的数学平均成果为80分
B．分数在120分以上的人数与分数在60分以下的人数相同
C．分数在110分以上的人数与分数在50分以下的人数相同
D．该市这次考试的数学成果标准差为10
4．(2010·广东)已知随机变量X听从正态分布N(3,1)，且P(2≤X≤4)＝0.682 6，则P(X>4)等于(　　)
A．0.158 8 B．0.158 7 C．0.158 6 D．0.158 5
5．已知一次考试共有60名同学参与，考生的成果X～N(110，52)，据此估量，大约应有57人的分数在下列哪个区间内？(　　)
A．(90,110] B．(95,125]
C．(100,120] D．(105,115]
二、填空题(每小题4分，共12分)
6.

设三个正态分布N(μ1，σ) (σ1>0)，N(μ2，σ) (σ2>0)，N(μ3，σ) (σ3>0)的密度函数图象如图所示，则μ1、μ2、μ3按从小到大的挨次排列是________；σ1、σ2、σ3按从小到大的挨次排列是________．
7．在某项测量中，测量结果ξ听从正态分布N(1，σ2)(σ＞0)．若ξ在(0,1)内取值的概率为0.4，则ξ在(0,2)内取值的概率为________．
8．(2011·青岛模拟)已知随机变量ξ听从正态分布N(2，σ2)，P(ξ≤4)＝0.84，则P(ξ≤0)＝________.
三、解答题(共38分)
9．(12分)设X～N(10,1)．
(1)证明：P(1<X<2)＝P(18<X<19)；
(2)设P(X≤2)＝a，求P(10<X<18)．

10．(12分)已知某种零件的尺寸X(单位：mm)听从正态分布，其正态曲线在(0,80)上是增函数，在(80，＋∞)上是减函数，且φ(80)＝.
(1)求正态分布密度函数；
(2)估量尺寸在72 mm～88 mm间的零件大约占总数的百分之几？

11．(14分)在某市组织的一次数学竞赛中全体参赛同学的成果近似听从正

态分布N(60,100)，已知成果在90分以上(含90分)的同学有13人．
(1)求此次参与竞赛的同学总数共有多少人？
(2)若方案嘉奖竞赛成果排在前228名的同学，问受奖同学的分数线是多少？

学案69　正态分布
自主梳理
1．(1)，x∈(－∞，＋∞)　(2)①上方　②x＝μ　③x＝μ　　④1　⑤μ　⑥越小　越大
2．(1)φμ，σ(x)dx　X～N(μ，σ2)
(2)①0.682 6　②0.954 4　③0.997 4
自我检测
1．C
2．D　[由正态分布图象知，μ＝3为该图象的对称轴，
P(ξ<3)＝P(ξ>3)＝.]
3．C　[

∵P(ξ<4)＝0.8，
∴P(ξ>4)＝0.2，
由题意知图象的对称轴为直线x＝2，
P(ξ<0)＝P(ξ>4)＝0.2，
∴P(0<ξ<4)＝1－P(ξ<0)－P(ξ>4)＝0.6.
∴P(0<ξ<2)＝P(0<ξ<4)＝0.3.]
4．D　[由φ(x)＝＝对比得σ＝2，μ＝0，∴E(ξ)＝μ＝0，σ＝＝2.]
5．A　[由正态分布N(μ，σ2)性质知，x＝μ为正态分布密度函数图象的对称轴，故μ1<μ2；又σ越小，图象越高瘦，故σ1<σ2.]
课堂活动区
例1　解题导引　要确定一个正态分布的正态分布密度函数的解析式，关键是求解析式中的两个参数μ，σ的值，其中μ打算曲线的对称轴的位置，σ则与曲线的外形和最大值有关．
解　从给出的正态曲线可知，该正态曲线关于直线x＝20对称，最大值为，所以μ＝20.
由＝，解得σ＝.
于是正态分布密度曲线的解析式是
φμ，σ(x)＝，x∈(－∞，＋∞)．
均值和方差分别是20和2.
变式迁移1　解　(1)由于该正态分布的正态分布密度函数是一个偶函数，所以其图象关于y轴对称，即μ＝0.由＝，
得σ＝4，
故该正态分布的正态分布密度函数的解析式是
φμ，σ(x)＝，x∈(－∞，＋∞)．
(2)P(－4<X≤4)＝P(0－4<X≤0＋4)
＝P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝0.682 6.
例2　解题导引　求听从正态分布的随机变量在某个区间取值的概率，只需借助于正态曲线的性质，把所求问题转化为已知概率的三个区间上．

解　由已知μ＝5，σ＝1.
∵P(4<X≤6)＝0.682 6，
P(3<X≤7)＝0.954 4，
∴P(3<X≤4)＋P(6<X≤7)
＝0.954 4－0.682 6＝0.271 8.
如图，由正态曲线的对称性可得
P(3<X≤4)＝P(6<X≤7)
∴P(6<X≤7)＝＝0.135 9.
变式迁移2　解　∵X～N(1,22)，∴μ＝1，σ＝2.
(1)P(－1<X≤3)＝P(1－2<X≤1＋2)
＝P(μ－σ<X≤μ＋σ)
＝0.682 6.
(2)∵P(3<X≤5)＝P(－3<X≤－1)，
∴P(3<X≤5)＝[P(－3<X≤5)－P(－1<X≤3)]
＝[P(1－4<X≤1＋4)－P(1－2<X≤1＋2)]
＝[P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)－P(μ－σ<X≤μ＋σ)]
＝×(0.954 4－0.682 6)＝0.135 9.
(3)∵P(X≥5)＝P(X≤－3)，
∴P(X≥5)＝[1－P(－3<X≤5)]
＝[1－P(1－4<X≤1＋4)]
＝[1－P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)]
＝(1－0.954 4)＝0.022 8.
例3　解题导引　正态分布已经确定，则总体的期望μ和标准差σ就可以求出，这样就可以依据正态分布在三个常见的区间上取值的概率进行求解．
解　∵ξ～N(90,100)，∴μ＝90，σ＝＝10.
(1)由于正态变量在区间(μ－2σ，μ＋2σ)内取值的概率是0.954 4，而该正态分布中，μ－2σ＝90－2×10＝70，μ＋2σ＝90＋2×10＝110，于是考试成果ξ位于区间(70,110)内的概率就是0.954 4.
(2)由μ＝90，σ＝10，得μ－σ＝80，μ＋σ＝100.
由于正态变量在区间(μ－σ，μ＋σ)内取值的概率是0.682 6，
所以考试成果ξ位于区间(80,100)内的概率是0.682 6.
一共有2 000名考生，所以考试成果在(80,100)间的考生大约有2 000×0.682 6≈1 365(人)．
变式迁移3　解　∵成果听从正态分布N(80,52)，
∴μ＝80，σ＝5，μ－σ＝75，μ＋σ＝85.
于是成果在(75,85]内的同学占全班同学的68.26%.
这样成果在(80,85]内的同学占全班同学的34.13%.
设该班有x名同学，则x×34.13%＝17，解得x≈50.
又μ－2σ＝80－10＝70，μ＋2σ＝80＋10＝90，
∴成果在(70,90]内的同学占全班同学的95.44%.
∴成果在90分以上的同学占全班同学的2.28%.
即有50×2.28%≈1(人)．即成果在90分以上的仅有1人．
课后练习区
1．D　[μ＝0，且σ2＝1，∴σ1<1，σ3>1.]
2．B　[∵ξ～N(2,9)，∴P(ξ>c＋1)＝P(ξ<3－c)．
又P(ξ>c＋1)＝P(ξ<c－1)，
∴3－c＝c－1，∴c＝2.]
3．B　[μ＝80，故A正确；σ＝10，故D正确；
∵P(X>110)＝P(X>μ＋3σ)，
P(X<50)＝P(X<μ－3σ)，
∴P(X>110)＝P(X<50)，故C正确. ]
4．B　[由于X听从正态分布N(3,1)，
故正态分布曲线的对称轴为X＝3.
所以P(X>4)＝P(X<2)，
故P(X>4)＝＝0.158 7.]
5．C　[由于X～N(110,52)，∴μ＝110，σ＝5.
因此考试成果在区间(105,115]，(100,120]，(95,125]上的概率分别应是0.682 6,0.954 4,0.997 4.
由于一共有60人参与考试，
∴成果位于上述三个区间的人数分别是：
60×0.682 6≈41(人)，60×0.954 4≈57(人)，
60×0.997 4≈60(人)，
故大约应有57人的分数在(100,120]区间内．]
6．μ2<μ1<μ3　σ1<σ3<σ2
7．0.8
解析　∵ξ听从正态分布(1，σ2)，
∴ξ在(0,1)与(1,2)内取值的概率相同均为0.4.
∴ξ在(0,2)内取值概率为0.4＋0.4＝0.8.
8．0.16
解析　∵μ＝2，∴P(ξ≤0)＝P(ξ≥4)
＝1－P(ξ≤4)＝1－0.84＝0.16.
9．(1)证明　由于X～N(10,1)，所以，正态曲线φμ，σ(x)关于直线x＝10对称，而区间[1,2]和[18,19]关于直线x＝10对称，所以ʃφμ，σ(x)dx＝ʃφμ，σ(x)dx，
即P(1<X<2)＝P(18<X<19)．

(6分)
(2)解　P(10<X<18)＝P(2<X<10)
＝P(X<10)－P(X≤2)＝－a.(12分)
10．解　(1)由于正态曲线在(0,80)上是增函数，在(80，＋∞)上是减函数，所以正态曲线关于直线x＝80对称，且在x＝80处取得最大值．因此μ＝80，＝，所以σ＝8.
故正态分布密度函数解析式是
φμ，σ(x)＝.(6分)
(2)由μ＝80，σ＝8，得
μ－σ＝80－8＝72，μ＋σ＝80＋8＝88，
所以零件尺寸X位于区间(72,88)内的概率是0.682 6.
因此尺寸在72 mm～88 mm间的零件大约占总数的68.26%.(12分)
11．解　(1)设参与竞赛的同学人数共n人．
则P(X≥90)＝，(2分)
而P(X≥90)＝
＝＝＝0.001 3.
(6分)
∴＝0.001 3，n＝10 000(人)．
∴参与竞赛的同学总数约有1万人．(7分)
(2)设受奖同学的分数线为x0，
则P(X≥x0)＝＝0.022 8，(9分)
由于0.022 8<0.5，
所以x0>60，所以P(X≥x0)＝P(X－60≥x0－60)
＝＝0.022 8，(12分)
所以P(|X－60|<x0－60)＝0.954 4，
所以x0－60＝20，即x0＝80(分)
∴受奖同学的分数线是80分．(14分)