2021高中数学-2.1.3分层抽样总结-新人教A版必修3-.docx

2．1.3　分层抽样（结）

分层抽样的概念
[例1]　某学校有在编人员160人，其中行政人员16人，老师112人，后勤人员32人．训练部门为了解学校机构改革意见，要从中抽取一个容量为20的样本．试确定用何种方法抽取，并写出抽样过程．
[自主解答]　因机构改革关系到各层人员的利益，故用分层抽样法为妥．由于＝8，所以可在各层人员中按8∶1的比例抽取．
又由于＝2，＝14，＝4，所以，行政人员、老师、后勤人员分别应抽取2人、14人、4人．
因行政和后勤人员人数较少，可分别按01～16号和01～32号编号，然后用抽签法分别抽取2人和4人．而老师较多，所以对老师112人接受000,001，…，111编号，用随机数法抽取14人．这样就得到了符合要求的容量为20的样本．
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1．推断抽样方法是分层抽样，主要是依据分层抽样的特点：
(1)适用于总体由差异明显的几部分组成的状况．
(2)能更充分地反映了总体的状况．
(3)等可能抽样，每个个体被抽到的可能性都相等．
2．分层抽样又称为“按比例抽样”，这里所说的“按比例”是指
(1)＝；
(2)＝.
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1．某社区有700户家庭，其中高收入家庭225户，中等收入家庭400户，低收入家庭75户，为了调查社会购买力的某项指标，要从中抽取一个容量为100户的样本，记作①；某中学高二班级有12名足球运动员，要从中选出3人调查学习负担状况，记作②；从某厂生产的802辆轿车中抽取8辆测试某项性能，记作③.则完成上述3项应接受的抽样方法是(　　)
A．①用简洁随机抽样，②用系统抽样，③用分层抽样
B．①用分层抽样，②用简洁随机抽样，③用系统抽样
C．①用简洁随机抽样，②用分层抽样，③用系统抽样
D．①用分层抽样，②用系统抽样，③用简洁随机抽样
解析：对于①，总体由高收入家庭、中等收入家庭和低收入家庭差异明显的三部分组成，而所调查的指标与收入状况亲热相关，所以应接受分层抽样．
对于②，总体中的个体数较少，而且所调查内容对12名调查对象是公正的，应用简洁随机抽样．
对于③，总体中的个体数较多，应用系统抽样．
答案：B

分层抽样的应用
[例2]　一个单位有职工500人，其中不到35岁的有125人，35岁至49岁的有280人，50岁及50岁以上的有95人，为了了解这个单位职工与身体状态有关的某项指标，要从中抽取100名职工作为样本，职工年龄与这项指标有关，应当怎样抽取？
[自主解答]　用分层抽样来抽取样本，步骤是：
(1)分层．按年龄将职工分成三层：不到35岁的职工；35岁至49岁的职工；50岁及50岁以上的职工．
(2)确定每层抽取个体的个数．抽样比为＝，则在不到35岁的职工中抽125×＝25(人)；
在35岁至49岁的职工中抽280×＝56(人)；
在50岁及50岁以上的职工中抽95×＝19(人)．
(3)在各层分别按抽签法或随机数表法抽取样本．
(4)综合每层抽样，组成样本．
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(3)按各层的个体数占总体的比确定各层应抽取的样本容量；
(4)在每一层进行抽样(可用简洁随机抽样或系统抽样)；
(5)最终将每一层抽取的样本汇总合成样本．
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2．某政府机关有在编人员100人，其中副处级以上干部10人，一般干部70人，职员20人．上级机关为了了解政府机构改革的意见，要从中抽取一个容量为20的样本，试确定用何种方法抽取，请具体实施操作．
解：因机构改革关系到各人的不同利益，故接受分层抽样方法．
抽取比例为：＝，
故：10×＝2；70×＝14；20×＝4.
∴从副处级以上干部中抽取2人，从一般干部中抽取14人，从职员中抽取4人．
因副处级以上干部与职员人数都较少，他们分别按1～10编号与1～20编号，然后接受抽签法分别抽取2人和4人；对一般干部70人接受00,01，…，69编号，然后用随机数法抽取14人.

某校共有老师302名，其中老年老师30名，中年老师150名，青年老师122名．为调查他们对新课程改革的看法，从中抽取一个60人的样本．请写出抽样过程．
[错解]　把302名老师编号为：1,2,3，…，302，然后用随机数表法剔除2个个体，再对剩余的300名老师重新编号为：1,2,3，…，300.由于＝5.故可将这300名老师分成60段，每段5名老师，先从1～5号老师中随机抽取1名老师，然后从这名老师的编号开头，每隔5名抽取一名．如：从1～5号中抽取的是3号，则抽取的这60名老师的编号依次为：3,8,13,18,23，…，298.
[错因]　3个层次的老师对新课程改革的看法是有较大差别的，因此应接受分层抽样，又由于老师总人数和青年老师人数均不能被60整除，此时就需先从青年老师中剔除2个个体，再进行抽样．
[正解]　(1)把122名青年老师编号，利用随机数表法剔除2个个体．
(2)由于＝，30×＝6,150×＝30,120×＝24，所以可将老年老师30名，中年老师150名，青年老师120名编号后，运用随机数表法，分别从中抽取6,30,24个个体，合在一起即为要抽取的60人样本．

1．分层抽样适合的总体是(　　)
A．总体容量较多　　　　　 　B．样本容量较多
C．总体中个体有差异 D．任何总体
答案： C
2．一批灯泡400只，其中20 W、40 W、60 W的数目之比是4∶3∶1，现用分层抽样的方法产生一个容量为40的样本，三种灯泡依次抽取的个数为(　　)
A．20,15,5 B．4,3,1
C．16,12, 4 D．8,6,2
解析：三种灯泡依次抽取的个数为40×＝20,40×＝15,40×＝5.
答案：A
3．简洁随机抽样、系统抽样、分层抽样三者的共同特点是(　　)
A．将总体分成几部分，按预先设定的规章在各部分抽取
B．抽样过程中每个个体被抽到的机会均等
C．将总体分成几层，然后分层依据比例抽取
D．没有共同点
答案：B
4．(2022·江苏高考)某学校高一、高二、高三班级的同学人数之比是3∶3∶4，现用分层抽样的方法从该校高中三个班级的同学中抽取容量为50的样本，则应从高二班级抽取________名同学．
解析：由题意得高二班级的同学人数占该学校高中人数的，利用分层抽样的有关学问得应从高二班级抽取50×＝15名同学．
答案：15
5．某工厂生产A、B、C三种不同型号的产品，产品数量之比依次为2∶3∶4，现用分层抽样方法抽出一个容量为n的样本，样本中A种型号产品有16件．那么此样本的容量n＝________.
解析：＝.
n＝72.
答案：72
6．某运输队有货车1 200辆，客车800辆．从中抽取调查车辆的使用和保养状况．请给出抽样过程．
解：利用分层抽样．
第一步：确定货车和客车各应抽取多少辆，
货车1 200×＝120(辆)，客车800×＝80(辆)．
其次步：用系统抽样法分别抽取货车120辆，客车80辆．
第三步：把抽取的货车和客车组成样本．