江苏省扬州中学2020-2021学年高三下学期开学考试-数学-Word版含答案.docx

江苏省扬州中学2022～2021学年其次学期开学检测
高三数学卷

留意事项：全部试题的答案均填写在答题纸上，答案写在试卷上的无效

一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上）
1．已知集合，，则 ▲ ．
2．复数（是虚数单位）是纯虚数，则实数的值为 ▲ ．
（第3题图）
结束

开头
输出S
Y

N

3．右图是一个算法的流程图，则最终输出的 ▲ ．
4．从1,3,5,7这4个数中一次随机地取2个数,则所取2个数的和小
于9的概率是 ▲ ．
5．已知样本的平均数是5,则此样本的方差为 ▲ ．
6．已知函数的最小正周期为π，则f(x)
在上的单调递增区间为，，则实数 ▲ ．
7．已知体积相等的正方体和球的表面积分别为，，则的值是 ▲ ．
8. 抛物线的准线与双曲线的两条渐近线所围成的三角形的面积等
于 ▲ ．
9．已知，则的最小值为 ▲ ．
10．在平面直角坐标系中，若曲线(为常数)在点
处的切线与直线垂直，则的值为 ▲ ．
11．设等差数列的前项和为，且满足（）则=___▲___．
12．已知函数是定义在R上的偶函数，且当时，．若关于的方程恰有10个不同实数解，则的取值范围为 ___▲ ．
13．在直角中，，斜边上有异于端点两点的两点
，且，则的取值范围是 ▲ ．
14．已知三个正数满足，，则的最小值
是 ▲ ．
二、解答题（本大题共6小题，共90分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15（本小题满分14分）
设平面对量＝，，，．
（1）若，求的值；
（2）若，求函数的最大值，并求出相应的值．

16（本小题满分14分）
如图，在三棱柱中，为棱的中点，，.
求证：(1) 平面；
(2)∥平面.

17（本小题满分14分）
如图，椭圆和圆，已知椭圆过点，焦距为2.
(1) 求椭圆的方程；
(2) 椭圆的下顶点为，过坐标原点且与坐标轴不重合的任意直线与圆相交于点，直线与椭圆的另一个交点分别是点.设的斜率为，直线斜率为，求的值.

18（本小题满分16分）
在距A城市45千米的B地发觉金属矿，过A有始终线铁路AD．欲运物资于A，B之间，拟在铁路线AD间的某一点C处筑一大路到B． 现测得千米，（如图）．已知大路运费是铁路运费的2倍，设铁路运费为每千米1个单位，总运费为．为了求总运费的最小值，现供应两种方案：方案一：设千米；方案二设．
（1）试将分别表示为、的函数关系式、；
（2）请选择一种方案，求出总运费的最小值，并指出C点的位置．

19（本小题满分16分）
已知数列、满足，，其中，则称为的“生成数列”．
（1）若数列的“生成数列”是，求；
（2）若为偶数，且的“生成数列”是，证明：的“生成数列”是；
（3）若为奇数，且的“生成数列”是，的“生成数列”是，…，依次将数列，，，…的第项取出，构成数列．
探究：数列是否为等比数列，并说明理由．

20（本小题满分16分）
已知函数，．
（1）记,求在的最大值；
（2）记，令，，当时，若函数的3个极值点为，
（ⅰ）求证：；
（ⅱ）争辩函数的单调区间（用表示单调区间）．

高三其次学期期初联考数学附加题
(考试时间：30分钟 总分：40分)
21.（［选做题］请考生在A、B、C、D四小题中任选两题作答，假如多做，则按所做的前两题记分．
A．（本小题满分10分，几何证明选讲）
如图，P是⊙O外一点，PA是切线，A为切点，割线PBC与⊙O相交于点B，C，PC＝2PA，D为PC的中点，AD的延长线交⊙O于点E. 证明： AD·DE＝2PB2.

B．（本小题满分10分，矩阵与变换）
设矩阵，，若，求矩阵M的特征值．

C．（本小题满分10分，坐标系与参数方程选讲）
在平面直角坐标系xOy中，已知直线的参数方程为： (t为参数)．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ＝2cosθ．直线与圆相交于A，B两点，求线段AB的长．

D．（本小题满分10分，不等式选讲）
已知实数满足，求的最小值.

［必做题］第22题，第23题，每题10分，共计20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
22.（本小题满分10分)
如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，AP＝1，AD＝，E为线段PD上一点，记． 当时，二面角的平面角的余弦值为．
（1）求AB的长；
（2）当时，求直线BP与直线CE所成角的余弦值．

23.（本小题满分10分)
已知数列通项公式为，其中为常数，且，．等式，其中为实常数．
（1）若，求的值；
（2）若，且，求实数的值．

高三其次学期期初联考数学参考答案
一、填空题
1．； 2．4； 3．9； 4．； 5．2；
6．； 7．； 8．； 9．； 10．；
11．3； 12．； 13．； 14．．
二、解答题
15．解：（1）若，则， ………2分
即 ………4分
所以. ………6分
（2）若则
………10分

………12分
所以. ………14分

16．证明：（1）由于，
所以，所以； ………3分
又由于，得，所以.
………6分
又，所以平面； ………8分
（2）连接交与点，连接，在中，分别为的中点，所以，又，所以∥平面．
………14分

17．解：（1）解法一：将点代入椭圆方程，解方程组，求得，所以椭圆的方程为． ………4分
解法二：由椭圆的定义求得，所以椭圆的方程为．
………4分
说明：计算错全错.
（2）由题意知直线的斜率存在且不为0，，
不妨设直线的斜率为，则，
由得或
. ………6分
用去代，得， ………8分
则 ………10分
由得或
. ………12分
则，所以． ………14分
评讲建议：此题还可以求证直线恒过定点，求面积的最大值.
18.解：(1)在中，由余弦定理解得AD=63 ………2分
方案一：在中，
………5分
方案二：在中，
，，
………9分
(2)若用方案一，则
………11分
由得
………14分
，这时，C距A地千米
………16分
若用方案二，则 ………11分
在，在
………14分
这时，C距A地千米 ………16分

19．（1）解：，
同理，. ………4分
（写对一个得1分，总分4分）
（2）证明：
………7分
∵为偶数，将上述个等式中第2，4，6，…，这个式子两边取倒数，再将这个式子相乘得：
∴ ………9分
由于，
所以依据“生成数列”的定义，数列是数列的“生成数列”. ………10分
（3）证明：由于 ，
所以.
所以欲证成等差数列，只需证明成等差数列即可. ………12分
对于数列及其“生成数列”

∵为奇数，将上述个等式中第2，4，6，…，这个式子两边取倒数，再将这个式子相乘得：
∴
由于，
数列的“生成数列”为，由于
所以成对比数列.
同理可证，也成等比数列. 即 是等比数列.
所以 成等差数列. ………16分

20.解：（1）（）
………2分
令，得，
………3分
列表如下：

－
0
＋

递减
微小值
递增

易知
而
所以当时，
当时， ………5分
（2）（ⅰ），
令，
又在上单调减，在上单调增，所以
由于函数有3个极值点，所以所以 ………7分
所以当时，，
从而函数的3个极值点中，有一个为，有一个小于，有一个大于1………9分
又，所以，，
即，，故 ………11分
（ⅱ）当时，，，则，故函数单调减；
当时，，，则，故函数单调增；
当时，，，则，故函数单调减；
当时，，，则，故函数单调减；
当时，，，则，故函数单调增；
综上，函数的单调递增区间是，单调递减区间是。
………16分
（列表说明也可）

留意：各题如有其他不同的解法，请对比以上答案相应给分．

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高三其次学期期初联考数学附加题参考答案
21. ［选做题］
A．（本小题满分10分，几何证明选讲）
证明：由切割线定理得PA2＝PB·PC. 由于 PC＝2PA，D为PC的中点，所以DC＝2PB，BD＝PB. ………5分
由相交弦定理得AD·DE＝BD·DC，
所以AD·DE＝2PB2. ………10分

B．（本小题满分10分，矩阵与变换）
解：； ………5分
矩阵M的特征值为或5. ………10分

C．（本小题满分10分，坐标系与参数方程选讲）
解：直线的一般方程为：； ………2分
圆C的一般方程为：； ………4分
圆心C到直线的距离为：； ………7分
所以AB=. ………10分
D．（本小题满分10分，不等式选讲）
解：由柯西不等式，，
………4分
所以，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最小值为． ………10分
［必做题］
22.（本小题满分10分)
解：(1)由于PA⊥平面ABCD，ABCD为矩形，所以AB，AD，AP两两垂直．
如图，以A为坐标原点，AB，AD，AP的方向为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系A­xyz，则D(0，2，0)，E，.
设B(m，0，0)(m>0)，则C(m，2，0)，＝(m，2，0)．
设n1＝(x，y，z)为平面ACE的法向量，
则即可取n1＝． ………3分
又n2＝(1，0，0)为平面DAE的法向量， ………4分
由题设易知|cos〈n1，n2〉|＝，即，解得m＝1.
即AB=1. ………6分
（2）易得
，所以直线BP与直线CE所成角的余弦值为.………10分

23.（本小题满分10分)
23．（1）
比较可知； ………2分
而时, ………3分
所以，
设，也可以写成，相加得即，所以． ………5分

（2）当时，，结合（2）中结论可知②
=，即③， ………8分
由于②为关于的递增的式子，所以关于的方程最多只有一解，而观看③可知，有一解，综上可知：． ………10分