2021高考数学(人教通用-理科)二轮专题整合：突破练3.docx

1．设函数f(x)＝sin (ωx＋)＋2sin2(ω＞0)，已知函数f(x)的图象的相邻对称轴的距离为π.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)若△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c(其中b＜c)且f(A)＝，△ABC的面积为S＝6，a＝2，求b，c的值．
解　(1)f(x)＝sin ωx＋cos ωx＋1－cos ωx＝
sin ωx－cos ωx＋1＝sin (ωx－)＋1.
∵函数f(x)的图象的相邻两对称轴间的距离为π.
∴函数f(x)的周期为2π.∴ω＝1.
∴函数f(x)的解析式为f(x)＝sin (x－)＋1.
(2)由f(A)＝，得sin (A－)＝.
又∵A∈(0，π)，∴A＝.∵S＝bcsin A＝6.
∴bcsin ＝6，bc＝24.
由余弦定理，得a2＝(2)2＝b2＋c2－2bccos ＝b2＋c2－24.
∴b2＋c2＝52.又∵b＜c，解得b＝4，c＝6.
2．为了了解某校今年高三男生的身体状况，随机抽查了部分男生，将测得的他们的体重(单位：千克)数据整理后，画出了频率分布直方图(如图)．已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1∶2∶3，其中第2小组的频数为12.

(1)求该校随机抽查的部分男生的总人数；
(2)以这所学校的样本数据来估量全市的总体数据，若从全市高三男生中任选3人，设X表示体重超过55千克的同学人数，求X的数学期望．
解　(1)设该校随机抽查的部分男生的总人数为n，前3个小组的频率分别为P1、P2、P3，则

解得
由于P2＝0.25＝，所以n＝48.
(2)由(1)可得，一个男生体重超过55千克的概率为
P＝P3＋(0.037 5＋0.012 5)×5＝.所以X～B(3，)，
所以P(X＝k)＝C()k()3－k，k＝0,1,2,3.
随机变量X的分布列为(可不写)：
X
0
1
2
3
P

则E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.
(或：E(X)＝3×＝)
3．已知数列{an}的各项均为正数，前n项和为Sn，且Sn＝(n∈N*)
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝，Tn＝b1＋b2＋…＋bn，求Tn.
解　(1)∵Sn＝，n∈N*，当n＝1时，S1＝，∴a1＝1.
由得，2an＝2(Sn－Sn－1)＝a－a＋an－an－1，
∴(an＋an－1)(an－an－1－1)＝0，∵an＋an－1＞0，
∴an－an－1＝1(n≥2)，∴数列{an}是等差数列，
∴an＝n.
(2)由(1)知Sn＝，
∴bn＝＝，
∴Tn＝＋＋…＋＋，
－2Tn＝1＋＋…＋＋，
两式相减，
得－3Tn＝1＋＋＋…＋－
＝－＝－，
∴Tn＝－＋n.
4．已知斜三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BCA＝90°，AA1＝AC＝BC＝2，A1在底面ABC上的射影恰为AC的中点D.
(1)求证：BA1⊥AC1；
(2)求二面角A－A1B－C的余弦值．

(1)证明　取AB的中点E，连接DE，则DE∥BC.
∵BC⊥AC，∴DE⊥AC.
∵A1在底面ABC上的射影恰为AC的中点D，

∴A1D⊥平面ABC.
∴分别以DE，DC，DA1所在直线为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系D－xyz.
则A(0，－1,0)，C(0,1,0)，B(2,1,0)，A1(0,0，)，C1(0,2，)，
∴＝(0,3，)，＝(－2，－1，)．
∴·＝0，BA1⊥AC1.
(2)解　设平面A1AB的法向量为n＝(x1，y1，z1)．
＝(0,1，)，＝(2,2,0)，
由得，令z1＝1，
得x1＝，y1＝－，∴n＝(，－，1)．
设平面A1BC的法向量为m＝(x2，y2，z2)．
＝(0，－1，)，＝(2,0,0)，
由得
令z2＝1，得y2＝，∴m＝(0，，1)．
故cos 〈m，n〉＝＝－.
易知二面角A－A1B－C为锐二面角，
∴二面角A－A1B－C的余弦值为.
5．已知点P(1，－)在椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)上，过椭圆C的右焦点F2(1,0)的直线l与椭圆C交于M，N两点．
(1)求椭圆C的方程；
(2)若AB是椭圆C经过原点O的弦，且MN∥AB，W＝.试推断W是否为定值？若W为定值，恳求出这个定值；若W不是定值，请说明理由．
解　(1)椭圆C的右焦点坐标为(1,0)，∴c＝1，椭圆C的左焦点坐标为(－1,0)，可得2a＝＋＝＋＝4，解得a＝2，
∴b2＝a2－c2＝4－1＝3，
∴椭圆C的标准方程为＋＝1.
(2)①当直线斜率不存在时，|AB|2＝(2b)2＝4b2，
|MN|＝，∴W＝＝＝2a＝4.
②当直线斜率存在时，设直线l的方程为y＝k(x－1)(k≠0)，且M(x1，y1)，N(x2，y2)．
由得，(3＋4k2)x2－8k2x＋4k2－12＝0，
x1＋x2＝，x1x2＝，
|MN|＝|x1－x2|＝
＝
＝.
设直线AB的方程为y＝kx(k≠0)，
由消去y，并整理得：x2＝，
设A(x3，y3)，B(x4，y4)，则
|AB|＝|x3－x4|＝4，
∴W＝＝＝4.由①②可得，W为定值4.
综上所述，W为定值1.
6．已知函数f(x)＝ax－bxln x，其图象经过点(1,1)，且在(e，f(e))处的切线斜率为3(e为自然对数的底数)．
(1)求实数a、b的值；
(2)若k∈Z，且k＜对任意x＞1恒成立，求k的最大值；
(3)证明：2ln 2＋3ln 3＋…＋nln n＞(n－1)2(n∈N*，n＞1)．
(1)解　由于f(1)＝1，所以a＝1，
此时f(x)＝x－bxln x，f′(x)＝1－b(1＋ln x)，
依题意，f′(e)＝1－b(1＋ln e)＝3，所以b＝－1.
(2)解　由(1)知：f(x)＝x＋xln x，
当x＞1时，设g(x)＝＝，则g′(x)＝.
设h(x)＝x－2－ln x，则h′(x)＝1－＞0，h(x)在(1，＋∞)上是增函数．
由于h(3)＝1－ln 3＜0，h(4)＝2－ln 4＞0，
所以，存在x0∈(3,4)，使h(x0)＝0.
当x∈(1，x0)时，h(x)＜0，g′(x)＜0，即g(x)在(1，x0)上为减函数；同理g(x)在(x0，＋∞)上为增函数，从而g(x)的最小值为g(x0)＝＝x0，
由于x0∈(3,4)，所以k的最大值为3.
(3)证明　由(2)知，当x＞1时，＞3，
所以f(x)＞3x－3，即x＋xln x＞3x－3，xln x＞2x－3，
所以2ln 2＋3ln 3＋…＋nln n＞(2×2－3)＋(2×3－3)＋…＋(2n－3)
＝2(2＋3＋…＋n)－3(n－1)＝2×－3n＋3＝n2－2n＋1
＝(n－1)2(n∈N*，n＞1).