2021年高考理数二轮复习讲练测-热点11-轨迹方程问题的探讨(讲)-(解析版).docx

纵观近几年高考轨迹问题是高考中的一个热点和重点，在历年高考中毁灭的频率较高，主要留意考查同学的规律思维力气，运算力气，分析问题和解决问题的力气，而轨迹方程这一热点，常涉及函数、三角、向量、几何等学问，能很好地反映同学在这些力气方面的把握程度。有的同学看到就头疼的题目.分析缘由除了这类题目的入手的确不易之外，主要是同学没有形成解题的模式和套路，以至于遇到类似的题目便产生畏惧心理.本文就高中阶段毁灭这类问题加以类型的总结和方法的探讨.
求轨迹方程的基本方法有：直接法、定义法、相关点法、参数法、交轨法、向量法等。
1、直接法：也叫直译法，即依据题目条件，直译为关于动点的几何关系，再利用解析几何有关公式（如两点间距离公式、点到直线距离公式、夹角公式等）进行整理、化简。这种求轨迹方程的过程不需要特殊的技巧，它是求轨迹方程的基本方法。
例1： 一条线段AB的长等于2a,两个端点A和B分别在x轴和y轴上滑动，求AB中点P的轨迹方程？
【思路分析】此题中利用直角三角形中，斜边的中线等于斜边的一半，得到OM=这一等量关系，是此题成功的关键所在。

2． 定义法：假如动点P的运动规律合乎我们已知的某种曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线）的定义，则可先设出轨迹方程，再依据已知条件，待定方程中的常数，即可得到轨迹方程。
例2：已知的顶点A，B的坐标分别为（-4，0），（4，0），C 为动点，且满足求点C的轨迹
【思路分析】本题先用余弦定理化角的关系为边的关系，得到边的关系正好满足椭圆的定义，从而得到轨迹方程
3.用参数法求曲线轨迹方程
参数法：假如接受直译法求轨迹方程难以奏效，则可寻求引发动点P运动的某个几何量t，以此量作为参变数，分别建立P点坐标x，y与该参数t的函数关系x＝f（t），
y＝g（t），进而通过消参化为轨迹的一般方程F（x，y）＝0。
例3．过点P（2，4）作两条相互垂直的直线l1，l2，若l1交x轴于A点，l2交y轴于B点，求线段AB的中点M的轨迹方程。
【思路分析】1：从运动的角度观看发觉，点M的运动是由直线l1引发的，可设出l1的斜率k作为参数，建立动点M坐标（x，y）满足的参数方程。

【思路分析】2：解法1中在利用k1k2＝－1时，需留意k1、k2是否存在，故而分情形争辩，能否避开争辩呢？只需利用△PAB为直角三角形的几何特性：

【思路分析】3：：设M（x，y），由已知l1⊥l2，联想到两直线垂直的充要条件：k1k2＝－1，即可列出轨迹方程，关键是如何用M点坐标表示A、B两点坐标。事实上，由M为AB的中点，易找出它们的坐标之间的联系。

4.相关点法（代入法）假如动点P的运动是由另外某一点P'的运动引发的，而该点的运动规律已知，（该点坐标满足某已知曲线方程），则可以设出P（x，y），用（x，y）表示出相关点P'的坐标，然后把P'的坐标代入已知曲线方程，即可得到动点P的轨迹方程。
例4 M是抛物线y2=x上一动点，O为原点，以OM为一边作正方形MNPO，求动点P的轨迹方程。

【思路分析】：动点P的位置，依靠于抛物线上的点M，故可考虑用相关点法求P的轨迹方程。

例5.
轨迹方程。
【思路分析】：题中涉及了三个点A、B、M，其中A为定点，而B、M为动点，且点B的运动是有规律的，明显M的运动是由B的运动而引发的，可见M、B为相关点，故接受相关点法求动点M的轨迹方程。

5：交轨法：在求动点轨迹时，有时会毁灭要求两动曲线交点的轨迹问题，这种问题通常通过解方程组得出交点（含参数）的坐标，再消去参数求得所求的轨迹方程（若能直接消去两方程的参数，也可直接消去参数得到轨迹方程），该法经常与参数法并用。
例6如图，已知抛物线，动点P在直线上运动，过P作抛物线C的两条切线PA、PB，且与抛物线C分别相切于A、B两点. 求△APB的重心G的轨迹方程.

【思路分析】重心G的变化受动点A，B的影响，动点A,B的变化又受动点P的限制，可接受交轨法求轨迹方程

六、用点差法求轨迹方程
点差法就是在求解圆锥曲线并且题目中交代直线与圆锥曲线相交被截的线段中点坐标的时候，利用直线和圆锥曲线的两个交点，并把交点代入圆锥曲线的方程，并作差。求出直线的斜率，然后利用中点求出直线方程。点差法是解决椭圆与直线的关系中常用到的一种方法。点差法常见题型有求中点弦方程、求（过定点、平行弦）弦中点轨迹、垂直平分线、定值问题。利用点差法可以削减很多的计算，所以在解有关的问题时用这种方法比较好。
例7. 已知椭圆，
（1）求过点且被平分的弦所在直线的方程；
（2）求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程；
（3）过引椭圆的割线，求截得的弦的中点的轨迹方程；
【思路分析】：此题中三问都跟弦中点有关，一般接受点差法.运用点差法，可以达到“设而不求”的目的，同时，还可以降低解题的运算量，优化解题过程. 点差法通常解决与直线斜率和弦的中点有关或借助曲线方程中变量的取值范围求出其他变量的范围。

高考考查轨迹问题通常是以下两类：一类是简洁题，以定义法、相关点法、待定系数法等为主，另一类是高难度的纯轨迹问题，综合考查各种方法。“轨迹”、“方程”要区分求轨迹方程，求得方程就可以了；若是求轨迹，求得方程还不够，还应指出方程所表示的曲线类型（定形、定位、定量）。处理轨迹问题成败在于：对各种方法的领悟与解题阅历的积累。所以在处理轨迹问题时确定要擅长依据题目的特点选择恰当的方法（什么状况下用什么方法上面已有介绍，这里不在重复）确定轨迹的范围是处理轨迹问题的难点，也是同学简洁毁灭错误的地方，在确定轨迹范围时，应留意以下几个方面：①精确理解题意，挖掘隐含条件；②列式不转变题意，并且要全面考虑各种情形；③推理要严密，方程化简要等价；④消参时要保持范围的等价性；⑤数形结合，查“漏”补“缺”。在处理轨迹问题时， 要特殊留意运用平面几何学问， 其作用主要有：①题中没有给出明显的条件式时，可挂念列式；②简化条件式；③转化化归。