高中数学(北师大版)必修四教案：3.2-两角和与差的余弦函数-参考教案.docx

两角和与差的余弦函数
（一）教学目标：
1、学问目标：（1）利用向量的数量积去发觉两角差的余弦公式；2）机敏正反运用两角差的余弦。
2、力量目标：（1）通过求两个向量的夹角，发觉两角差的余弦，培育同学融会贯穿的力量。（2）培育同学留意学问的形成过程。
3、情感目标：通过公式的推导，更进一步发觉“向量”的强大作用。
（二）教学重点、难点
重点： （1）两角差的余弦；（2）机敏应用两角差的公式解决问题
难点： （1）两角差的余弦的推导；（2）两角差的余弦的机敏应用
（三）教学方法：
本节主要是接受数形结合的思路，由代数的精密推导和几何的直观性，推导出两角差的余弦，使同学养成数形结合的习惯；另外，整体上是由特殊到一般，再由一般回归特殊应用的辩证唯物思想的方法。这样同学易接受。
（四）教学过程
教学环节
教学内容
师生互动
设计意图
复习引入
复习向量的数量积以及它的主要作用：求两个向量夹角的余弦值。
正板书：
例1：已知向量
，
，求<>的余弦
解：=1
=1
=
=
==

即：cos15o=
=
同学回答，老师写副板书；写出向量的数量积以及它的变形（求夹角的余弦值）
师：求向量夹角的余弦值，应具备哪些条件？
生：应当求出两个向量的数量积以及它们各自的模
师：回答很好。我们先来求这两个向量的模以及它们的数量积。
生：上黑板板书。

师：下面我们来看看这道题的几何解释。
由上面的代数解法可知，它们的模都是1，这说明它们都在单位圆上。（给出幻灯片或边说边画）
假如，，则∠AOB=<>=15o；通过图形可知，实际上我们求的就是cos15o

以旧带新，留意创设问题的情境，为引出新课程打基础。
通过这道题一来巩固向量积，二来为引出两角差的余弦做好预备。
先通过代数方法来求；

从几何图形上直观的反应这道题。
加深同学们从几何图形上进一步理解两个向量夹角的余弦
练习1：向量与向量夹角的余弦值

解：cos<>=
师：思考题：请同学们依据上述想法来看这道题

师：提示同学从几何图形方面想问题。并找同学回答。
生：在坐标系的单位圆中画出向量，由图形可知，这两个向量的夹角是60o，所以它们夹角的余弦值是

让同学深刻理解和把握通过图形可以解决两个向量夹角的余弦

利用向量积公式动身来求，遇到的困难是“求不出向量积”；逼着同学从几何角度想问题。
公式的推导以及理解
公式cos（α—β）的推导，以及公式的结构。
练习2：设∠XOA=α，∠XOB=β，那么向量，夹角的余弦值是多少？
解：点A，点B，
那么，

所以cos∠AOB=cos（α－β）=cos<>
==

总结：
cos(α－β)=cosαcosβ+sinαsinβ.
师：假如上述图形中∠XOA=α，∠XOB=β，那么向量，夹角的余弦值是多少？
生：点A，点B，那么，
所以cos∠AOB=cos（α-β）=cos<>
==
师：格外好。我们留意到在推导过程中，角α，β没有任何限制。所以cos（α-β）=
由特殊到一般。推导出两角差的余弦。
公式的应用
例2：已知cosα=（），求cos（）
解：由于cosα=，且
所以sin==
因此cos（）=coscosα+sinsinα=
师：请看这道题

生：由α的余弦求出α的正弦，而是特殊值，由两角差的余弦公式可以求出
强化公式的应用
归纳小结
本节主要是从向量的数量积以及利用向量在单位圆中的图形两种思路探讨了两角差的余弦公式的推导。
依靠板书，与同学共同总结本节课的内容。
使同学对本课的学问点有一个完成得清楚的生疏，体现了由特殊到一般，以及数形结合的训练思想。
布置作业
略
课后思考：两角和的余弦公式
巩固本节课所学的学问。留意公式的形成过程。
五、教后反思：