【2021届备考】2020全国名校数学试题分类解析汇编(12月第一期)：G11空间角与距离的求法.docx

G11 空间角与距离的求法

【数学理卷·2021届河北省衡水中学高三上学期期中考试（202211）】18、（本小题满分12分）
如图，四棱锥中，底面为菱形，是的中点
（1）若，求证：平面平面；
（2）若平面平面，且，
在线段上是否存在点，使二面角的大小为，
若存在，试确定点M的位置，若不存在，请说明理由。

【学问点】空间角与空间中的位置关系.G4,G5,G11
【答案】【解析】(1)略(2) 略 解析：（1）证明：∵PA=PD，Q为AD的中点，∴PQ⊥AD，
又∵底面ABCD为菱形，∠BAD=60°，∴BQ⊥AD，
又PQ∩BQ=Q，∴AD⊥平面PQB，
又∵AD⊂平面PAD，
∴平面PQB⊥平面PAD．
（2）解：∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PQ⊥AD，
∴PQ⊥平面ABCD，
以Q为坐标原点，分别以QA，QB，QP为x，y，z轴，
建立空间直角坐标系，如图
则Q（0，0，0），），B（0，
设0＜λ＜1，则平面CBQ的一个法向量
=（0，0，1），设平面MBQ的法向量为=（x，y，z），
由，∵二面角M-BQ-C的大小为60°，
解得λ=，
∴存在点M为线段PC靠近P的三等分点满足题意
【思路点拨】1）由已知得PQ⊥AD，BQ⊥AD，由此能证明平面PQB⊥平面PAD．
（2）以Q为坐标原点，分别以QA，QB，QP为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出存在点M为线段PC靠近P的三等分点满足题意．

【数学理卷·2021届江西省赣州市十二县（市）高三上学期期中联考（202211）】19 ．（本小题满分12分）
如图,在直三棱柱中，平面，其垂足落在直线上．
（1）求证：⊥
（2）若，，为的中点，求二面角的余弦值.

【学问点】用空间向量求平面间的夹角；空间中直线与直线之间的位置关系．G4 G5 G11
【答案】【解析】(1) 见解析； (2)
解析：(1)证明：三棱柱 为直三棱柱，
平面，又平面，
-平面，且平面，
. 又 平面,平面,，
平面， 又平面，
⊥ …………………………5分
(2)由（1）知,如图,以B为原点建立空间直角坐标系
平面，其垂足落在直线上,

.
在中，，AB=2，,
在直三棱柱 中，. 在中，
,
则(0,0,0),,C（2，0，0）,P（1，1，0）,（0，2，2）,
（0，2，2）
设平面的一个法向量
则 即 可得
设平面的一个法向量
则 即
可得
平面与平面的夹角的余弦值是 ………12分
（或在中，，AB=2,
则BD=1 可得D(
平面与平面的夹角的余弦值是 ………12分）
【思路点拨】(1) 由已知得平面，，．由此能证明． (2) 由（1）知,如图,以B为原点建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角的平面角的余弦值．

【数学文卷·2021届江西省师大附中高三上学期期中考试（202211）】19. （本小题12分）如图1，在直角梯形中，，，且．现以为一边向梯形外作正方形，然后沿边将正方形翻折，使平面与平面垂直，为的中点，如图2．
（1）求证：∥平面;
（2）求证：;
（3）求点到平面的距离.

【学问点】线面平行 线面垂直 点到平面的距离G4 G5 G11
【答案】【解析】（1）略；（2）略；（3） 解析：（1）证明：取中点，连结．
在△中，分别为的中点，
所以∥，且． 由已知∥，，
所以∥，且． 所以四边形为平行四边形．
所以∥．又由于平面，且平面，所以∥平面．
（2）在正方形中，．又由于平面平面，且平面平面，所以平面． 所以．
在直角梯形中，，，可得．
在△中，，所以．所以．所以平面．
（3）：平面,所以，所以
又，设点到平面的距离为则，所以，所以点到平面的距离等于.
【思路点拨】证明线面平行及线面垂直主要利用其判定定理进行证明，求点到平面的距离，若直接求距离不便利时，可利用三棱锥的等体积法求距离.

【数学文卷·2021届四川省成都外国语学校高三11月月考（202211）】18．（12分）在四棱锥中， ，，点是线段上的一点，且，．
（1）证明：面面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值．

【学问点】面面垂直的判定；线面角的求法. G5 G11
【答案】【解析】（1）证明：见解析；（2）. 解析：解：（1）由，得，
又由于，且，所以面， …4分
且面．所以，面面.……6分

（2）过点作，连结，
由于，且，
所以平面，又由平面，
所以平面平面，平面平面，过点作，
即有平面，所以为直线与平面所成角． ……9分
在四棱锥中，设，则，，，∴，，从而，即直线与平面所成角的正弦值为． …12分
【思路点拨】（1）要证面面垂直，只需证其中一个平面内的直线垂直于另一平面，对于本题，只需证明PM⊥AB，可由△ABP∽△PBM证明PM⊥AB；（2）过点作，连结，证明平面平面，过点作，则为直线与平面所成角．在四棱锥中，设，则，，，∴，，从而.