2022届数学一轮(理科)浙江专用-阶段回扣练10-第十章-计数原理、概率.docx

阶段回扣练10　计数原理、概率　
(时间：120分钟　满分：150分)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
一、选择题
1．某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品，在正常生产状况下，消灭乙级品和丙级品的概率分别是5%和3%，则抽验一只是正品(甲级)的概率为
(　　)
A．0.95 B．0.97 C．0.92 D．0.08
解析　记抽验的产品是甲级品为大事A，是乙级品为大事B，是丙级品为大事C，这三个大事彼此互斥，因而抽验的产品是正品(甲级)的概率为P(A)＝1－P(B)－P(C)＝1－5%－3%＝92%＝0.92，故选C.
答案　C
2．方案展出10幅不同的画，其中1幅水彩画、4幅油画、5幅国画，排成一列，要求同一品种的画必需连在一起，并且水彩画不放在两端，那么不同的排列方式的种数有
(　　)
A．AA B．AAA
C．CAA D．AAA
解析　先把3种品种的画看成整体，而水彩画受限制应优先考虑，不能放在头尾，故只能放在中间，又油画与国画有A种放法，再考虑国画与油画本身又可以全排列，故排列的方法有AAA种．
答案　D
3．如图所示，使电路接通，开关不同的开闭方式有
(　　)

A．11种 B．20种 C．21种 D．12种
解析　当第一组开关有一个接通时，电路接通有C(C＋C＋C)＝14(种)方式；
当第一组开关有两个接通时，电路接通有C(C＋C＋C)＝7(种)方式．
所以共有14＋7＝21(种)方式，故选C.
答案　C
4．(2022·湖北七市(州)联考)从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个大事是
(　　)
A．“至少有一个黑球”与“都是黑球”
B．“至少有一个黑球”与“都是红球”
C．“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”
D．“恰有一个黑球”与“恰有两个黑球”
解析　留意到大事“恰有一个黑球”与“恰有两个黑球”在一次试验中不行能同时发生，且在一次试验中，取出的两个球也可能都是红球，因此这两个大事是互斥而不对立的大事，故选D.
答案　D
5．(2021·武汉调研)同时掷两个骰子，则向上的点数之差的确定值为4的概率是
(　　)
A. B. C. D.
解析　同时掷两个骰子共有36个结果，其中点数之差的确定值为4的结果有(1,5)，(5,1)，(2,6)，(6,2)，共4个，所求概率为＝，故选C.
答案　C
6．将一骰子向上抛掷两次，所得点数分别为m和n，则函数y＝mx3－nx＋1在[1，＋∞)上为增函数的概率是
(　　)
A. B. C. D.
解析　全部大事有6×6＝36(种)，若满足条件，
则y′＝2mx2－n≥0对x≥1恒成立，
又m>0，即(2mx2－n)min＝2m－n，即2m≥n，
而2m<n有(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,5)，(2,6)，共6种，则2m≥n共30种．
∴P＝＝.
答案　D
7．一个盒子内有三行两列的六个小格子，现有橘子、苹果和香蕉各两个，将这六个水果随机地放入这六个格子里，每个格子放一个，放好之后每行、每列的水果种类各不相同的概率是
(　　)
A. B. C. D.
解析　依题意知，将这六种水果随机放入六个小格中有A＝720种放法．
其中满足每行、每列不同的放法为：
第一步，确定第一行两个格子中水果的放法，有CCCA＝24种；
其次步，确定其次行两个格子中水果的放法，有CC＝4种，
剩余的两个水果放入第三行，有1种放法，
所以共有96种放法，故所求概率为＝.
答案　A
8．(2021·湖南卷改编)某人在如图所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点(指纵、横直线的交叉点以及三角形的顶点)处都种了一株相同品种的作物．则从三角形地块的内部和边界上各分别随机选取一株作物，它们恰好“相近”(注：这里，两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过1米．)
(　　)

A. B. C. D.
解析　所种作物总株数N＝1＋2＋3＋4＋5＝15，其中三角形地块内部的作物株数为3，边界上的作物株数为12，从三角形地块的内部和边界上各分别随机选取一株的不同结果有CC＝36种．选取的两株作物恰好“相近”的不同结果有3＋3＋2＝8种．
故从三角形地块的内部和边界上各分别随机选取一株作物，它们恰好“相近”的概率为＝.
答案　B
二、填空题(本大题共7小题，每小题4分，共28分)
9．(x－y)10的开放式中，x7y3的系数与x3y7的系数之和等于________．
解析　∵Tk＋1＝(－1)kCx10－kyk，
∴－C＋(－C)＝－2C＝－240.
答案　－240
10．在(1＋x)3＋(1＋)3＋(1＋)3的开放式中，x的系数为________(用数字作答)．
解析　由条件易知(1＋x)3、(1＋)3、(1＋)3开放式中x的系数分别是C、C、C，
即所求系数是3＋3＋1＝7.
答案　7
11．若(－x)10＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10，则(a0＋a2＋…＋a10)2－(a1＋a3＋…＋a9)2的值为________．
解析　设f(x)＝(－x)10，则
(a0＋a2＋…＋a10)2－(a1＋a3＋…＋a9)2
＝(a0＋a1＋…＋a10)(a0－a1＋a2－…－a9＋a10)
＝f(1)f(－1)＝(－1)10(＋1)10＝1.
答案　1
12．(2021·扬州中学模拟)将一枚骰子抛掷两次，若先后消灭的点数分别为b，c，则方程x2＋bx＋c＝0有实根的概率为________．
解析　将一枚骰子抛掷两次共有36种结果：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(4,6)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)，方程x2＋bx＋c＝0有实根，则Δ＝b2－4c≥0，即b≥2，则A包含的结果有：(2,1)，(3,1)，(4,1)，(5,1)，(6,1)，(3,2)，(4,2)，(5,2)，(6,2)，(4,3)，(5,3)，(6,3)，(4,4)，(5,4)，(6,4)，(5,5)，(6,5)，(5,6)，(6,6)，共19种，由古典概率的计算公式可得P(A)＝.
答案　
13．甲、乙、丙、丁四名义工到三个不同的社区参与公益活动，若每个社区至少有一名义工，则甲、乙两人被安排到不同社区的概率为________．
解析　由于甲、乙两人被分到同一个社区的状况有A＝3×2＝6种，而将四名义工安排到三个不同的社区，每个社区至少分到一名义工的状况有C·A＝36种，故甲、乙两人被安排到不同社区的状况共有36－6＝30种，故所求概率为＝.
答案　
14．从(＋)20的开放式中任取一项，则取到有理项的概率为________．
解析　(＋)20的开放式通项为
Tk＋1＝C()20－k()k＝Cx5－k，其中k＝0,1,2，…，20.
而当k＝0,4,8,12,16,20时，5－k为整数，对应的项为有理项，
所以从(＋)20的开放式中任取一项，
则取到有理项的概率为P＝＝.
答案　
15．(2022·新课标全国Ⅱ卷)甲、乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服中选择1种，则他们选择相同颜色运动服的概率为________．
解析　甲、乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服中选择1种的全部可能状况为(红，白)，(白，红)，(红，蓝)，(蓝，红)，(白，蓝)，(蓝，白)，(红，红)，(白，白)，(蓝，蓝)，共9种，他们选择相同颜色运动服的全部可能状况为(红，红)，(白，白)，(蓝，蓝)，共3种．故所求概率为P＝＝.
答案　
三、解答题
16．在一次“学问竞赛”活动中，有A1，A2，B，C四道题，其中A1，A2犯难度相同的简洁题，B为中档题，C为较难题．现甲、乙两位同学均需从四道题目中随机抽取一题作答．
(1)求甲、乙两位同学所选的题目难度相同的概率；
(2)求甲所选题目的难度大于乙所选题目的难度的概率．
解　由题意可知，甲、乙两位同学分别从四道题中随机抽取一题，全部可能的结果有16个，它们是：(A1，A1)，(A1，A2)，(A1，B)，(A1，C)，(A2，A1)，(A2，A2)，(A2，B)，(A2，C)，(B，A1)，(B，A2)，(B，B)，(B，C)，(C，A1)，(C，A2)，(C，B)，(C，C)．
(1)用M表示大事“甲、乙两位同学所选的题目难度相同”，则M包含的基本大事有：(A1，A1)，(A1，A2)，(A2，A1)，(A2，A2)，(B，B)，(C，C)，共6个，所以P(M)＝＝.
(2)用N表示大事“甲所选题目的难度大于乙所选题目的难度”，则N包含的基本大事有：(B，A1)，(B，A2)，(C，A1)，(C，A2)，(C，B)，共5个，所以P(N)＝.
17．(2022·南昌高三其次次模拟)某公司生产产品A，产品质量按测试指标分为：大于或等于90为一等品，大于或等于80小于90为二等品，小于80为三等品，生产一件一等品可盈利50元，生产一件二等品可盈利30元，生产一件三等品亏损10元．现随机抽查娴熟工人甲和新工人乙生产的这种产品各100件进行检测，检测结果统计如下表：
测试指标
[70,75)
[75,80)
[80,85)
[85,90)
[90,95)
[95,100)
甲
3
7
20
40
20
10
乙
5
15
35
35
7
3
依据上表统计结果得到甲、乙两人生产产品A为一等品、二等品、三等品的频率，用频率去估量他们生产产品A为一等品、二等品、三等品的频率．
(1)计算甲生产一件产品A，给工厂带来盈利不小于30元的概率；
(2)若甲一天能生产20件产品A，乙一天能生产15件产品A，估量甲、乙两人一天生产的35件产品A中三等品的件数．
解　(1)甲生产一件产品A，给工厂带来盈利不小于30元的概率P＝1－＝.
(2)估量甲一天生产的20件产品A中有20×＝2件三等品，
估量乙一天生产的15件产品A中有15×＝3件三等品，
所以估量甲、乙两人一天生产的35件产品A中共有5件三等品．
18．(2021·济南模拟)一个袋中装有5个外形大小完全相同的球，其中有2个红球，3个白球．
(1)从袋中随机取两个球，求取出的两个球颜色不同的概率；
(2)从袋中随机取一个球，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，求两次取出的球中至少有一个红球的概率．
解　(1)2个红球记为a1，a2,3个白球记为b1，b2，b3，从袋中随机取两个球，其一切可能的结果组成的基本大事有：
(a1，a2)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a1，b3)，(a2，b1)，(a2，b2)，
(a2，b3)，(b1，b2)，(b1，b3)，(b2，b3)，共10个．
设大事A＝“取出的两个球颜色不同”，A中的基本大事有：
(a1，b1)，(a1，b2)，(a1，b3)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a2，b3)，共6个．
所以P(A)＝＝，即取出的两个球颜色不同的概率为.
(2)从袋中随机取一个球，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，其一切可能的结果组成的基本大事有：
(a1，a1)，(a1，a2)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a1，b3)，(a2，a1)，
(a2，a2)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a2，b3)，(b1，a1)，(b1，a2)，
(b1，b1)，(b1，b2)，(b1，b3)，(b2，a1)，(b2，a2)，(b2，b1)，
(b2，b2)，(b2，b3)，(b3，a1)，(b3，a2)，(b3，b1)，(b3，b2)，
(b3，b3)，共25个．
设大事B＝“两次取出的球中至少有一个红球”，B中的基本大事有：
(a1，a1)，(a1，a2)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a1，b3)，(a2，a1)，
(a2，a2)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a2，b3)，(b1，a1)，(b1，a2)，
(b2，a1)，(b2，a2)，(b3，a1)，(b3，a2)，共16个．
所以P(B)＝，即两次取出的球中至少有一个红球的概率为.
19．(2021·江西卷)小波以玩耍方式打算是去打球、唱歌还是去下棋．玩耍规章为：以O为起点，再从A1，A2，A3，A4，A5，A6(如图所示)这6个点中任取两点分别为终点得到两个向量，记这两个向量的数量积为X.若X>0就去打球，若X＝0就去唱歌，若X<0就去下棋．

(1)写出数量积X的全部可能取值；
(2)分别求小波去下棋的概率和不去唱歌的概率．
解　(1)X的全部可能取值为－2，－1,0,1.
(2)数量积为－2的有·共1种，
数量积为－1的有·，·，·，·，·，·共6种．
数量积为0的有·，·，·，·共4种情形．
数量积为1的有·，·，·，·4种情形．
故全部可能的状况共有15种．
所以小波去下棋的概率为p1＝；
由于去唱歌的概率为p2＝，
所以小波不去唱歌的概率p＝1－p2＝1－＝.
20．在一次口试中，要从20道题中随机抽出6道题进行回答，答对其中的5道就获得优秀，答对其中的4道题就获得及格．某考生会回答20道题中的8道题，试求：
(1)他获得优秀的概率是多少？
(2)他获得及格与及格以上的概率有多大？
解　只需求出答对5道题及以上的可能种数．由于选了6道题，而他会8道题，故可把他答对5道题及以上分成两类，一类是选的6道题全在他会的8道题里，有C种选法；另一类是选的6道题中有5道题是从会的8道题中去选的，另一题是从剩下的12个不会的题中选的，有CC种选法，故共有C＋CC＝700(种)．
从20道题中任取6道题的结果数，即是从20个元素中任取6个元素的组合数C.
由于是随机抽取，故这些结果消灭的可能性都相等．
(1)记“他答对5道题及以上”为大事A1，他答对5道题及以上的结果有700种，故大事A1的概率为
P(A1)＝＝.
(2)记“他至少答对4道题”为大事A2，由分析知他至少答对4道题的可能结果为C＋CC＋CC＝5 320(种．)
故大事A2的概率为P(A2)＝＝.