初三数学圆的难题教学提纲.doc

此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除

1 如图，将△AOB置于平面直角坐标系中，其中点O为坐标原点，点A的坐标为（3，0），∠ABO=60°.
（1）若△AOB的外接圆与y轴交于点D，求D点坐标.
（2）若点C的坐标为（-1，0），试猜想过D、C的直线与△AOB的外接圆的位置关系，并加以说明.
（3）二次函数的图象经过点O和A且顶点在圆上，求此函数的解析式.

B1
B2
B3
A1
A2
A3
O
C3
C2
C1
图4
S2
S1
S3
2 如图（4），正方形的边长为1，以为圆心、为半径作扇形与相交于点，设正方形与扇形之间的阴影部分的面积为；然后以为对角线作正方形，又以为圆心，、为半径作扇形，与相交于点，设正方形与扇形之间的阴影部分面积为；按此规律继续作下去，设正方形与扇形之间的阴影部分面积为．
（1）求；
（2）写出；
（3）试猜想（用含的代数式表示，为正整数）．

3 (10分)如图，点I是△ABC的内心，线段AI的延长线交△ ABC的外接圆于点D，交BC边于点E．
（1）求证：ID=BD；
（2）设△ABC的外接圆的半径为5，ID=6，，，当点A在优弧上运动时，求与的函数关系式，并指出自变量的取值范围．

4 如图，点A，B，C，D是直径为AB的⊙O上四个点，C是劣弧的中点，AC交BD于点E， AE＝2， EC＝1．
(第4题图)
（1）求证：∽；　　 （3分）
（2）试探究四边形ABCD是否是梯形？若是，请你给予
证明并求出它的面积；若不是，请说明理由． （4分）
（3）延长AB到H，使BH ＝OB．　
求证：CH是⊙O的切线． 　 （3分）

5 如图10，半圆O为△ABC的外接半圆，AC为直径，D为上的一动点．
（1）问添加一个什么条件后，能使得？请说明理由；
（2）若AB∥OD，点D所在的位置应满足什么条件？请说明理由；
（3）如图11，在 （1）和（2）的条件下，四边形AODB是什么特殊的四边形？证明你的结论．
D
B
A
O
C
E
·
图10
D
B
A
O
C
E
图11

6 如图1，已知正方形ABCD的边长为，点M是AD的中点，P是线段MD上的一动点（P不与M，D重合），以AB为直径作⊙O，过点P作⊙O的切线交BC于点F，切点为E．
（1）除正方形ABCD的四边和⊙O中的半径外，图中还有哪些相等的线段（不能添加字母和辅助线）？
（2）求四边形CDPF的周长；
·
P
D
O
G
E
M
F
B
A
C
图2
（3）延长CD，FP相交于点G，如图2所示． 是否存在点P，使BF*FG=CF*OF？如果存在，试求此时AP的长；如果不存在，请说明理由．
·
M
·
A
F
C
O
P
E
D

图1

7 如图，在平面直角坐标系中，是轴正半轴上一点，与轴的正半轴交于两点，在的左侧，且的长是方程的两根，是的切线，为切点，在第四象限．
（1）求的直径．
（2）求直线的解析式．
（3）在轴上是否存在一点，使是等腰三角形，若存在请在图2中标出点所在位置，并画出（要求尺规作图，保留作图痕迹，不写作法，不证明，不求的坐标）若不存在，请说明理由．

图1

图2

1 解：（1）连结AD.
M
E
F
N
∵∠ABO=60°,
∴∠ADO=60°…..1分
由点A的坐标为（3，0）得OA=3.
∵在Rt△ADO中有
cot∠ADO=,…………….2分
∴OD=OA·cot∠ADO=3·cot60°=3×=.
∴点D的坐标为（0，）……………3分
（2）DC与△AOB的外接圆相切于点D，理由如下:
由（1）得OD= ,OA=3.
∴.
又∵C点坐标是（-1，0）,
∴OC=1.
∴………………4分
∵AC=OA+OC=3+1=4,
∴CD2+AD2=22+(2)2=42=AC2…………………5分
∴∠ADC=90°,即AD⊥DC.
由∠AOD=90°得AD为圆的直径.
∴DC与△AOB的外接圆相切于点D……………6分
（说明：也可用解直角三角形或相似三角形等知识求解.）
（3）由二次函数图象过点O（0，0）和A（3，0）,
可设它的解析式为 y=ax(x-3)（a≠0）.
如图，作线段OA的中垂线交△AOB的外接圆于E、F两点，交AD于M点，交OA于N点.
由抛物线的对称性及它的顶点在圆上可知，抛物线的顶点就是点E或F.
∵EF垂直平分OA，
∴EF是圆的直径.
又∵AD是圆的直径,
∴EF与AD的交点M是圆的圆心………….7分
由（1）、（2）得OA=3，AD=2.
∴AN=OA=，AM=FM=EM=AD=.
∴.
∴FN=FM-MN=-=,EN=EM+MN=+=.
∴点E的坐标是( , )，点F的坐标是( , -)……..8分
当点E为抛物线顶点时，
有(-3)a=,
a=.
∴y=x(x-3).
即y=x2+2x…………………………9分
当点F为抛物线顶点时，
有(-3)a=-,
a=.
∴y=x(x-3).
即y=x2x.
故二次函数的解析式为y=x2+2x或y=x2x ….10分

2 （1）； 2分
； 4分
； 6分
（2）； 8分
（3）（为正整数）． 10分

3
(1) 证明： 如图，
∵ 点I是△ABC的内心，
∴ ∠BAD=∠CAD，∠ABI=∠CBI． ………………2分
∵ ∠CBD=∠CAD，
∴ ∠BAD=∠CBD． ……………………………3分
∴ ∠BID=∠ABI+∠BAD =∠CBI+∠CBD=∠IBD．
∴ ID=BD． ………………………5分
(2)解：如图，
∵∠BAD=∠CBD=∠EBD， ∠D=∠D，
∴ △ABD∽△BED． …………………………7分
∴ ． ∴ ． …………………8分
∵ ID=6，AD=x，DE=y，∴ xy=36． ………………9分
又∵ x=AD>ID=6， AD不大于圆的直径10，
∴ 6<x≤10．
∴ 与的函数关系式是．（） …………………………10分
说明：只要求对xy=36与6<x≤10，不写最后一步，不扣分．

4 （1）证明：∵C是劣弧的中点，　
∴．　 1分
而公共，　　
∴∽．　 3分
（2）证明：连结，由⑴得，
∵，
∴　．
∴　． 4分
由已知，∵是⊙O的直径，
∴　，　
∴．　
∴， ∴，　∴四边形OBCD是菱形．
∴，　∴四边形ABCD是梯形． 5分
法一：
过C作CF垂直AB于F，连结OC，则
∴． 6分
∴，，
∴． 7分
法二：（接上证得四边形ABCD是梯形）
又　∴，连结OC，则，和的边长均为的等边三角形 6分
∴，
∴ 7分
（3）证明：连结OC交BD于G由（2）得四边形OBCD是菱形，
∴且． 8分
又已知OB＝BH　，　　∴． 9分
∴　，　∴CH是⊙O的切线． 10分

5 解： （1）添加 AB=BD 2分
∵AB=BD ∴= ∴∠BDE =∠BCD 3分
又∵∠DBE =∠DBC ∴△BDE∽△BCD
∴ 4分
（2）若AB∥DO，点D所在的位置是的中点 5分
∵AB∥DO ∴∠ADO =∠BAD 6分
∵∠ADO =∠OAD ∴∠OAD =∠BAD ∴= 7分
（3）在（1）和（2）的条件下，．
∵== ∴∠BDA =∠DAC ∴ BD∥OA
又∵AB∥DO ∴四边形AODB是平行四边形 9分
∵OA=OD 　 ∴平行四边形AODB是菱形 10分

6 解：（1）FB＝FE ，PE＝PA 2分
（2）四边形CDPF的周长为
FC＋CD＋DP＋PE＋EF＝FC＋CD＋DP＋PA＋BF 3分
＝BF＋FC＋CD＋DP＋PA 4分
＝BC＋CD＋DA 5分
＝×3＝ 6分
（3）存在． 7分

若,则
∵ cos∠OFB＝ ，cos∠GFC＝
∴ ∠OFB＝∠GFC
又 ∵ ∠OFB＝∠OFE
∴ ∠OFE＝∠OFB＝∠GFC= 8分
∴ 在中 FE＝FB＝＝1
∴ 在中
CG＝
∴
∴ 9分
∴ 10分

7 解：（1）解方程，得，
在的左侧
，　
的直径为 1分
（2）过作，垂足为，
连结，则

又

C
M
y
x
B
N
图1
O
M
y
x
B
N
A

图2

在中

的坐标为
设直线的解析式为

直线的解析式为 4分
（3）如图2，，，，为所求作的点，，，，为所求等腰三角形．（每作出一种图形给一分） 8分

30．（深圳）如图1，以点M（－1,0）为圆心的圆与y轴、x轴分别交于点A、B、C、D，直线y＝－ x－ 与⊙M相切于点H，交x轴于点E，交y轴于点F．
（1）请直接写出OE、⊙M的半径r、CH的长；
（2）如图2，弦HQ交x轴于点P，且DP:PH＝3:2，求cos∠QHC的值；
（3）如图3，点K为线段EC上一动点（不与E、C重合），连接BK交⊙M于点T，弦AT交x轴于点N．是否存在一个常数a，始终满足MN·MK＝a，如果存在，请求出a的值；如果不存在，请说明理由．
x
D
A
B
H
C
E
M
O
F
图1
x
y

D
A
B
H
C
E
M
O

图2
P
Q
x
y
D
A
B
H
C
E
M
O
F
图3
N

K
y

30．（1）、如图4，OE=5，，CH=2
（2）、如图5，连接QC、QD，则，，易知，故，
，，由于，；
（3）、如图6，连接AK，AM，延长AM，
与圆交于点G，连接TG，则，
由于，故，；而，故
在和中，；故；;
图5
F
F
图6
1
F
图4
即：故存在常数，始终满足，常数

只供学习与交流