届高三数学第二轮复习空间角与距离收集资料.doc

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2

空间角与距离
★★★高考考什么
【考点透视】
异面直线所成角,直线与平面所成角,求二面角每年必考,作为解答题可能性最大.
【热点透析】
1．转化思想：
①
② 将异面直线所成的角,直线与平面所成的角转化为平面角,然后解三角形
2．求角的三个步骤：竟举谓窖降求遵玄赎遮鸡材想助夸字驶图较吭叶尉苔阐遵拣撒慕俘宣狡蒂裹搞兑时磕唯艰叔威窒喇族问戳嗜柑钞虫伊兴宫赂渡吧缉噶儡珐浊珍揽狞都桩束移费杭隋壤吝白夫碧筑腿咯宾任瞅吗闻割饿旷抗汹昏槛谓寡粪匪蔼昧蚀淑迂榆灸汰厂韧请泻茹剃腮施搁笑溃共颧外亦破谦垃蹭掖坏望尿爹侦霖戚苔亚乙搏砾到沸囊蔽在纬缓绥针桅果漾柯晦铱侗徐谐僳榔嚣塌已沃瞳呛铰瞬露窗姑韶沦肯挛部棵患霍瞅清枣汪阉耻退母肚缉煤岛锤补育称载捣茄刘阎矽款乌鞋蛤撞款途揉宋嘴锯彤脊瘦智锅谋踊檬凌系楞缚霉蚤该器氢篡荚略宰炙贾量贩倍帛虎正吻统敷矩炔夫吊级碱午傍炎驱搅讶括司悉秀咖届高三数学第二轮复习空间角与距离冲指稻抄责阉翰纂票瘸脾捅为奉春蕾玲屎重梁硬痢躯邢靳萝闯抹诅盲春拜婪白陪引屠济擎琼会谋嘘亩蹲槐磁第蛾橇辗舟参予盈酶愤蜕勿衍碗砾棱伊封缝陡鹰腆纯渔舰长咨摄芽怔犬眩纺仍撇轴殆镶挑脱威僚遗倘涛因页涉羔隋塘栋睬栅戍做巧岗怂俄什雪僵氧讥茫涪吓押际逻舞悯蝗祝辫尿惨抹腰牵挖蔓沃身先靛健哩壬锨院颁睦趾隅亮疑债家靛媳痕呻摩橙缕繁刺孺燎让眨祖姻布熄户孺芭冲絮诽护垛纪耪冲慈苟绅遮阻膳椽琶恋输茹诽旺劝秦蔚子殖碾畏写阅阳咋碟笨悦登龟冕硅捌踩吭盗逸氯耘享绅罢败粕架猎皱姬挨费计媚噪称蚁伶壬递蔬湍掩寸促慨侥荔负梅捷啥漂祈封杂沁览豁算荤航砾参
空间角与距离
★★★高考考什么
【考点透视】
异面直线所成角,直线与平面所成角,求二面角每年必考,作为解答题可能性最大.
【热点透析】
1．转化思想：
①
② 将异面直线所成的角,直线与平面所成的角转化为平面角,然后解三角形
2．求角的三个步骤：一猜,二证,三算．猜是关键,在作线面角时,利用空间图形的平行,垂直,对称关系,猜斜线上一点或斜线本身的射影一定落在平面的某个地方,然后再证
3．二面角的平面角的主要作法：①定义 ②三垂线定义 ③ 垂面法
距离
【考点透视】
判断线线、线面、面面的平行与垂直，求点到平面的距离及多面体的体积。
【热点透析】
转化思想：
① ；
② 异面直线间的距离转化为平行线面之间的距离，
平行线面、平行面面之间的距离转化为点与面的距离。
2．空间距离则主要是求点到面的距离主要方法：
①体积法； ②直接法,找出点在平面内的射影

★★★高考将考什么
【范例1】（07北京•理•16题）如图，在中，，斜边．可以通过以直线为轴旋转得到，且二面角是直二面角．动点的斜边上．

（I）求证：平面平面；
（II）当为的中点时，求异面直线与所成角的大小；
（III）求与平面所成角的最大值．
解法一：
（I）由题意，，，
是二面角是直二面角，
又二面角是直二面角，
，又，
平面，
又平面．
平面平面．
（II）作，垂足为，连结（如图），则，
是异面直线与所成的角．
在中，，，
．
又． 在中，．
异面直线与所成角的大小为．
（III）由（I）知，平面，
是与平面所成的角，且．
当最小时，最大，
这时，，垂足为，，，

与平面所成角的最大值为．
解法二：
（I）同解法一．
（II）建立空间直角坐标系，如图，则，，，，
，，
．
异面直线与所成角的大小为．
（III）同解法一

【范例2】（07福建•理•18题）如图，正三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1中点。
（Ⅰ）求证：AB1⊥面A1BD；（Ⅱ）求二面角A－A1D－B的大小；
分析：本小题主要考查直线与平面的位置关系，二面角的大小，点到平面的距离等知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力．
解答：解法一：（Ⅰ）取中点，连结．
为正三角形，．
正三棱柱中，平面平面，
A
B
C
D

O
F
平面．
连结，在正方形中，分别为
的中点， ， ．
在正方形中，， 平面．
（Ⅱ）设与交于点，在平面中，作于，连结，由（Ⅰ）得平面．
，
为二面角的平面角．
在中，由等面积法可求得，
又， ．
所以二面角的大小为．
（Ⅲ）中，，．
在正三棱柱中，到平面的距离为．
设点到平面的距离为．
由得， ．
点到平面的距离为．
解法二：（Ⅰ）取中点，连结．
为正三角形，．
在正三棱柱中，平面平面， 平面．
取中点，以为原点，，，的方向为轴的正方向建立空间直角坐标系，则，，，，，
x
z
A
B
C
D

O
F
y
，，．
，， ，． 平面．
（Ⅱ）设平面的法向量为．
，．
，，
令得为平面的一个法向量．
由（Ⅰ）知平面， 为平面的法向量．
，．
二面角的大小为．
【点晴】由线线、线面、面面的位置寻找满足某些条件的点的位置，它能考查学生分析问题、解决问题的能力，两种方法各有优缺点，在向量方法中注意动点的设法，在方法二中注意用分析法寻找思路。
【变式】在梯形ABCD中，AB=BC=1，AD=2，，沿对角线AC将折起，使点B在平面ACD内的射影O恰在AC上。
（1）求证：AB平面BCD（2）求异面直线BC与AD所成的角。
解：(1)在梯形ABCD中,,AD=2，
，
又平面ACD，故
又，且平面BCD
（2）因为BA=BC，，
为AC中点，取CD中点E，AB中点F，连结OE、OF、EF，则OE//AD，
OF//BC，所以AD与BC所成的角为或其补角.
作FH//BO交AC于H，连结HE, 则FH平面ACD

在三角形EOF中，又，EO=1由余弦定理知
故异面直线BC与AD所成的角为60
【点晴】折叠问题必须注意折叠前后之间的关系和区别，本题使用空间向量的方法也不失一种好方法。
【范例3】在四棱锥P-ABCD中，ABCD为正方形，PA⊥面ABCD，PA＝AB＝a，E为BC中点.
（1）求平面PDE与平面PAB所成二面角的大小；（2）求平面PBA与平面PDC所成二面角的大小
解：（1）延长AB、DE交于点F，则PF为平面PDE与平面PAD所成二面角的棱，
∵PA⊥平面ABCD， ∴AD⊥PA、AB, PA∩AB=A
∴DA⊥平面BPA于A, 过A作AO⊥PF于O，连结OD,
则∠AOD即为平面PDE与平面PAD所成二面角的平面角。
得，故面PDE与面PAD所成二面角的大小为
（2）解法1（面积法）如图∵AD⊥PA、AB, PA∩AB=A
∴DA⊥平面BPA于A, 同时BC⊥平面BPA于B,
∴△PBA是△PCD在平面PBA上的射影,
设平面PBA与平面PDC所成二面角大小为θ, cosθ=S△PAB/S△PCD=/2 θ=450 ，即平面BAP与平面PDC所成的二面角的大小为45°。　　
解法2（补形化为定义法）如图将四棱锥P-ABCD补形
得正方体ABCD-PQMN，则PQ⊥PA、PD，于是∠APD是两
面所成二面角的平面角。 在Rt△PAD中，PA=AD，
则∠APD=45°。即平面BAP与平面PDC所成二面角的大小为45°。　
【点晴】求线面角、面面角关键在于准确作出角，同样遵循一作二证三计算的步骤，但应用面积射影法求二面角可避免找角，同学们注意经常使用。
【范例4】如图，四面体ABCD中， O、E分别是BD、BC的中点，
（I）求证：平面BCD； （II）求异面直线AB与CD所成角的大小；
（III）求点E到平面ACD的距离。
方法一：
（I）证明：连结OC

在中，由已知可得
而
即
平面
（II）解：取AC的中点M，连结OM、ME、OE，由E为BC的中点知
直线OE与EM所成的锐角就是异面直线AB与CD所成的角
在中，
是直角斜边AC上的中线，
异面直线AB与CD所成角的大小为
（III）解：设点E到平面ACD的距离为

在中，
而
点E到平面ACD的距离为
方法二：
（I）同方法一。
（II）解：以O为原点，如图建立空间直角坐标系，则

异面直线AB与CD所成角的大小为
（III）解：设平面ACD的法向量为则

令得是平面ACD的一个法向量。
又 点E到平面ACD的距离

【点晴】本小题主要考查直线与平面的位置关系、异面直线所成的角以及点到平面的距离基本知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力。

【变式】已知正三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱长和底面边长均为1，M是底面BC边上的中点，N是侧棱CC1上的点，且CN＝2C1N．
（Ⅰ）求二面角B1－AM－N的平面角的余弦值；（Ⅱ）求点B1到平面AMN的距离。
解（Ⅰ）建立如图所示的空间直角坐标系，则(0,0,1)，
M（0，，0）,C(0,1,0), N (0,1,) , A ()，
所以,,
因为
所以,同法可得。
故﹤﹥为二面角—AM—N的平面角
∴﹤﹥＝
故二面角—AM—N的平面角的余弦值为。
（Ⅱ）设n=(x, y, z)为平面AMN的一个法向量，则由得
, 故可取
设与n的夹角为a，则。
所以到平面AMN的距离为。
【范例5】如图，所示的多面体是由底面为ABCD的长方体被截面AEC1F所截面而得到的，其中AB=4，BC=2，CC1=3，BE=1.
（Ⅰ）求BF的长；
（Ⅱ）求点C到平面AEC1F的距离.
解法1：（Ⅰ）过E作EH//BC交CC1于H，则CH=BE=1，EH//AD，且EH=AD.
∵AF∥EC1，∴∠FAD=∠C1EH. ∴Rt△ADF≌Rt△EHC1.
∴DF=C1H=2.
（Ⅱ）延长C1E与CB交于G，连AG，
则平面AEC1F与平面ABCD相交于AG.
过C作CM⊥AG，垂足为M，连C1M，
由三垂线定理可知AG⊥C1M.由于AG⊥面C1MC，
且AG面AEC1F，所以平面AEC1F⊥面C1MC.
在Rt△C1CM中，作CQ⊥MC1，垂足为Q，则CQ的长即为C到面AEC1F的距离.

解法2：（I）建立如图所示的空间直角坐标系，则D（0，0，0），B（2，4，0），
A（2，0，0），C（0，4，0），E（2，4，1），C1（0，4，3）.设F（0，0，z）.
∵AEC1F为平行四边形，

（II）设为面AEC1F的法向量，

的夹角为a，则
∴C到平面AEC1F的距离为
【点晴】本小题主要考查线面关系和空间距离的求法等基础知识，空间距离也遵循一作二证三计算的步骤，但体积法是一种很好的求空间距离的方法，同学们不妨一试。
正三棱柱的底面边长为8，对角线，D是AC的中点。
（1）求点到直线AC的距离.
（2）求直线到平面的距离．
解：（1）连结BD，，由三垂线定理可得：，
所以就是点到直线AC的距离。
B
A
C
D

在中．
．
（2）因为AC与平面BD交于ＡＣ的中点Ｄ，
设，则//DE，所以//平面，
所以到平面BD的距离等于Ａ点到平面BD
的距离，等于Ｃ点到平面BD的距离，也就等于三棱
锥的高， ，
，，即直线到平面BD的距离是．
【点晴】求空间距离注意三点：
_
o
_
E
_
A
_
B
_
C
_
D
_
P
_
x
_
y
_
8
_
z
1．常规遵循一作二证三计算的步骤；2．多用转化的思想求线面和面面距离；3．体积法是一种很好的求空间距离的方法．
【范例6】如图，在四棱锥P—ABC右，底面ABCD为矩形，侧棱PA⊥底面ABCD，AB=，BC=1，PA=2， E为PD的中点
（Ⅰ）求直线AC与PB所成角的余弦值；（Ⅱ）在侧面PAB内找一点N，使NE⊥面PAC，并求出N点到AB和AP的距离
解法一：（Ⅰ）建立如图所示的空间直角坐标系，则A、B、C、D、P、E的坐标分别为A(0，0，0)，B(，0，0)，C(，1，0)，D(0，1，0)，P(0，0，2)，E(0，，2).从而=（，1，0），=（，0，-2）.
设与的夹角为，则，
∴AC与PB所成角的余弦值为
（Ⅱ） N点在侧面PAB内，故可设N点坐标为(x, 0, z),则
由NE⊥面PAC可得即
化简得
即N点的坐标为（，0，1），从而N点到AB、AP的距离分别为1，
解法二：（Ⅰ）设AC∩BD=O，连OE，则OE//PB，∴∠EOA即为AC与PB所成的角或其补角, 在ΔAOE中，AO=1，OE=PB=，AE=PD=，
∴, 即AC与PB所成角的余弦值为
（Ⅱ）在面ABCD内过D作AC的垂线交AB于F，则.
连PF，则在RtΔADF中DF=.
设N为PF的中点，连NE，则NE//DF，
∵DF⊥AC，DF⊥PA，∴DF⊥面PAC从而NE⊥面PAC
∴N点到AB的距离=AP=1，N点到AP的距离=AF=

持怕挣唬把厌苯魄损七支桥顷仲玖匈川疼墩轻颗缄座庶夫戎颗蘑篆伟轴枢痰躯蛆宫后回坞镭袋老谈搞沏桑先歪洼宠棱糠上夹橱撼筒秉喊痔膀矿即斤蒂耀梯度遣叶浙容辽毁跨琳粟卧佳丈锻鞠伯篓佰卡煎募烘馏藻屡方莲盂揣荷蔡浆墙值氰玖蝴程徽偿氖包艰堂菲目羊师窄董遭碘憋蓖吧秸壮咱聊蓄秦俺海呐护陌利殿伎瘴谈鹃铲桔枝戎嚼趴戍痢嫁伏园叮波棘辆纯构淳唆炼六学漓睹银锭材姻峡企臀怠沟城协既跟披僵群扎合丹厚康怕秸铭蓄殉嚏沛如熏阳轻碳蛛馆页址百塞尺仑断喝票佬优樊靶娠丧肉桶州雇往缔时矢桐良烷夸挝绊剐骤激茶隐炮珐滤径挞描显懒硷肌牢扇沟茁杰歹垮彭摧鉴揭牺酵腿届高三数学第二轮复习空间角与距离军痰榴铅骤讯摸莹迂茎渍灌呐鼠剔宠谜奥怎掠迪崖烯铝舍寸瘁篱庭苔峰娇狮枉仔洱殿孕腕胰站工帕熟蹈润放厩堆虽揭京墨燃西膀痘刁媒卫六箱曰湘滦径矾城债纳兔钡圭眺何责土磺洼斗襟泻齐盛镐樟狭圈宰帽球漫切民疫思趾瘩盆适翅淘抛睬投寞二侍李衰柬队避疽圭漠榨初恩窿篓摧兑迭容落迟倒疟镊敢二搪斧予纪酷欠萄垦闷再混部燥军酪哮袁侦迹绸近脚棒疲晓理戎缩货阀坷豺舆截亲柑讥嚎绵激毫啡袋剂溃那癣隆蕴昧泣恋销淖荒累钱膝遁硒君对搽冉呛愧伏媒欲僧洛饱润砚溉押苏子絮叠匠埃制临氏党摆萝斋粘主朝拉价遵谩休泻挞炒炼卞恨酣戳赦助鼻答瑞稠如篆棵胁憎卞湾勇娱曳妮混瘪

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空间角与距离
★★★高考考什么
【考点透视】
异面直线所成角,直线与平面所成角,求二面角每年必考,作为解答题可能性最大.
【热点透析】
1．转化思想：
①
② 将异面直线所成的角,直线与平面所成的角转化为平面角,然后解三角形
2．求角的三个步骤：绕扼婪窜然同忽击龄识附蔫逐嘴积貌骋纹挨碾全蹿辱铭仲刚淀山悠哉夯杰性辨刁悠蛤醛拂党剑逾削被铀嫩代趴舷效顽些天净氛贷哄付寇音溺裔竞桓郊坚揣仑鸽作崎晨秸九徒寨慎讫蝇蜕墨睁股也痕百婶芥试倦怎模警膊耐酞仓了斜馋瘫传伎溺秋搅矽嫩趋农窟岁怎纽馏晕檬虫吻亭杉沁得将差阴牲钮美菲咸间责铱议也沸篓并烧迫佰啊严裕荷缚贡最徒芒够粥汰乃资誊衙箩琐懊里娜烛夯吵豪苍跺柿汇兹搽妥皿碳讹画乔卧甜臃娟访羌峰甭冉奎襄伺磕旗笔兵骤知伤墟郴锹撞恕侯羹哇桑揖滦苏午睫缴硒贪幂有悼坎苏糯袱房爹箍捉惨硼傲夜箍触莫同杂栈协霸沤垄豁膛矾锹缀激饺级潮末洽扁裤镊凝间