结构化学北大版势箱省公共课一等奖全国赛课获奖课件.pptx

文档仅供参考，如有不当之处，请联系改正。一维势箱中Schrodinger方程 nSchrodinger方程：n一维Schrodinger方程：n当X0或X时，=0n当 0 x 时，V=0,一维势箱Schrodinger方程为：第1页文档仅供参考，如有不当之处，请联系改正。Schrodinger方程求解：这实际上是解二阶微分方程问题。n写出体系位能（吸引能、排斥能）表示式，写出薜定格方程；n写出微分方程通解；n依据边界条件和初始条件（定态体系无初始条件）求特解；n用归一化条件确定特解。第2页文档仅供参考，如有不当之处，请联系改正。一维势箱Schrodinger方程求解n一维势箱Schrodinger方程:n这是常系数二阶线性齐次微分方程，通解为：n在边界处，（0）=0，（）=0 n所以 n即 （0）=Acos0+Bsin0=0 n因为 sin0=0，所以 Acos0=0因为 cos0=1 所以 A=0n故一维势箱薛定格方程为:第3页文档仅供参考，如有不当之处，请联系改正。对因为 （）=0所以 因为 B 0 若B=0，则（X）=0）所以 所以（n为常数）所以（一个n值表示粒子在一个定态）把E表示式代入(x)通式，得：第4页文档仅供参考，如有不当之处，请联系改正。对 确定B值 因为箱内粒子不能越过势箱，则粒子在箱内各处出现几率总和应满足依据归一化条件：2d=1对一维势箱有：所以 依据积分公式：求得：所以 所以，一维势箱解为：(n=1,2,3,)第5页文档仅供参考，如有不当之处，请联系改正。一维势箱结果讨论n依据一维势箱解n一维势箱粒子可能存在状态和能量：n n 第6页文档仅供参考，如有不当之处，请联系改正。1.能量量子化 n在金属内部，自由电子可有没有穷多个定态n，每一定态含有一个特征能量En，En可能值由n来约束，因为n为量子数，故E n值勤是不连续，也就是能量量子化。当n增大时，En也增大。n两个状态间能级差:n当势箱很大（很大）或粒子很重（m很大）时，能级间隔就很小，则能量就可看成是连续。所以，宏观物体能量量子化特征就显示不出来了。第7页文档仅供参考，如有不当之处，请联系改正。2.离域效应因为粒子活动范围增大而产生能量降低效应称为离域效应。由能量公式可知,当电子活动范围增大(增大)时,能量值减小,比如,丁二烯中电子活动范围比乙烯大,能量降低,所以丁二烯中电子比乙烯更稳定。第8页文档仅供参考，如有不当之处，请联系改正。3.零点能效应当n=1 时，体系能量最低因为:ETV 而箱内:V0所以，动能T永远大于零。最低零点能效应：体系最低能量不为零现象。第9页文档仅供参考，如有不当之处，请联系改正。4.粒子没有经典运动轨道，只有几率密度分布。按量子力学模型，箱中各处粒子几率密度是不均匀，展现波性。0 0 0 000 n=1 n=1 n=2 n=2 n=3 n=3 E1 E2 E32132*21*13*3第10页文档仅供参考，如有不当之处，请联系改正。5.状态能量高低与波函数节点数之间关系-节点数（n 1）越多，能量越高。节点：除边界外，=0点。量子数 波函数 节点数 能量 n=1 1(x)0 n=2 2(x)1 n=3 3(x)2 n=n n(x)n 1 能量升高n越大节点数（n 1）越多，能量越高。第11页文档仅供参考，如有不当之处，请联系改正。量子效应 n粒子能够存在各种运动状态，可由1、2、，n等描述；n能量量子化 n离域效应 n存在零点能效应n没有经典运动轨道，只有几率密度分布 n节点数（n 1）越多，能量越高。第12页文档仅供参考，如有不当之处，请联系改正。一维势箱应用n粒子在箱中平均位置 n粒子动量x轴分量PX n粒子动量平方PX2n共轭体系中电子运动 n箱中粒子出现几率 第13页文档仅供参考，如有不当之处，请联系改正。1粒子在箱中平均位置粒子在箱中平均位置 所以无本征值，只能求平均值。因为第14页文档仅供参考，如有不当之处，请联系改正。第15页文档仅供参考，如有不当之处，请联系改正。粒子动量平均值-以动量x轴分量PX为例n所以只能求平均值。第16页文档仅供参考，如有不当之处，请联系改正。=0因为动量是矢量，故表示粒子正向运动和逆向运动几率相等。第17页文档仅供参考，如有不当之处，请联系改正。粒子动量平方PX2 n解法一：第18页文档仅供参考，如有不当之处，请联系改正。解法二：因为势箱中位能 V=0所以 所以 第19页文档仅供参考，如有不当之处，请联系改正。共轭体系中电子运动n例1丁二烯离域效应n假定有两种情况：（a）4个电子形成两个定域键；（b）4个电子形成44离域键，每两个碳原子间距离为。分析其能量。第20页文档仅供参考，如有不当之处，请联系改正。解：（a）每个定域键看成一个势箱，4个电子中每两个电子处于一个势箱，其基态能量为：Ea=2E1+2E1=4E1=4h2/8ml2(b)4个电子均处于同一势箱中，箱长3l。基态能量：Eb=2E1+2E2 所以 Eb Ea离域使粒长活动范围增大，能量降低。第21页文档仅供参考，如有不当之处，请联系改正。例2求花青染料：从（r+2）轨道跃迁到（r+3）轨道波长。解：电子数：2r+4 个，占据 r+2 个能级轨道势箱长度：ar+b=248r+565a 为（CH=CH）平均长度=248Pmb 为两端延伸长度：565Pmn=1 n=1 n=2 n=2 n=r+2 n=r+2n=r+3n=r+3n=r+4n=r+4 基态 激发态第22页文档仅供参考，如有不当之处，请联系改正。因为 E=h，第23页文档仅供参考，如有不当之处，请联系改正。第24页文档仅供参考，如有不当之处，请联系改正。三维势箱（长、宽、高分别为a，b，c）三维势箱Schrodinger 方程为：需用变数分离法将方程分离为三个一维势箱Schrodinger 方程，然后分别求解，得到X（x），Y（y），Z（z），将其相乘，即得到三维势箱解为：(nx,ny,nz=1，2，3，)第25页文档仅供参考，如有不当之处，请联系改正。简并态、简并能级和简并度简并态、简并能级和简并度 当 a=b=c 时，三维势箱称为立方箱。当nx=ny=nz时，立方箱能级最低。接着是nx,ny,nz取2，1，1，三个数组合状态：nx ny nz E2 1 1 211 1 2 1 121 1 1 2 112 E211=E121=E112，同同一一个个能能级级对对应应三三个个不不一一样样状状态态，即即211 121 112，称称此此能能级级为为简简并并能能级级，对对应应状状态态为为简简并并态态，简简并并态态数数目目称称为为简简并并度度。体体系系这这种种性性质质称称为为简并性简并性。第26页