高等数学第章五节省公共课一等奖全国赛课获奖课件.pptx

第五节第五节定积分在几何上应用定积分在几何上应用一、元素法一、元素法二、平面图形面积二、平面图形面积三、旋转体体积三、旋转体体积四、四、平行截面面积为已知立体体积平行截面面积为已知立体体积五、平面曲线弧长五、平面曲线弧长六、旋转体侧面积六、旋转体侧面积七、小结七、小结思索题思索题第1页回顾回顾 曲边梯形求面积问题曲边梯形求面积问题一、元素法一、元素法ab xyo第2页面积表示为定积分步骤以下面积表示为定积分步骤以下（3）求和，得求和，得A近似值近似值第3页ab xyo（4）求极限，得求极限，得A准确值准确值提醒提醒面积元素面积元素第4页第5页元素法普通步骤：元素法普通步骤：第6页这个方法通常叫做这个方法通常叫做元素法元素法应用方向：应用方向：平面图形面积；体积；平面曲线弧长；功；平面图形面积；体积；平面曲线弧长；功；水压力；引力和平均值等水压力；引力和平均值等第7页曲边梯形面积曲边梯形面积曲边梯形面积曲边梯形面积二、平面图形面积二、平面图形面积1、直角坐标系情形、直角坐标系情形第8页解解两曲线交点两曲线交点面积元素面积元素选选为积分变量为积分变量第9页解解两曲线交点两曲线交点选选为积分变量为积分变量第10页于是所求面积于是所求面积说明：注意各积分区间上被积函数形式说明：注意各积分区间上被积函数形式问题：问题：积分变量只能选积分变量只能选吗吗？第11页解解两曲线交点两曲线交点选选为积分变量为积分变量第12页假如曲边梯形曲边为参数方程假如曲边梯形曲边为参数方程曲边梯形面积曲边梯形面积第13页解解椭圆参数方程椭圆参数方程由对称性知总面积等于由对称性知总面积等于4倍第一象限部分面积倍第一象限部分面积第14页面积元素面积元素曲边扇形面积曲边扇形面积2、极坐标系情形、极坐标系情形第15页解解由对称性知总面积由对称性知总面积=4倍第倍第一象限部分面积一象限部分面积第16页解解利用对称性知利用对称性知第17页 旋转体旋转体就是由一个平面图形饶这平面内就是由一个平面图形饶这平面内一条直线旋转一周而成立体这直线叫做一条直线旋转一周而成立体这直线叫做旋旋转轴转轴圆柱圆柱圆锥圆锥圆台圆台三、旋转体体积三、旋转体体积第18页xyo旋转体体积为旋转体体积为第19页解解直线直线方程为方程为第20页第21页解解第22页第23页解解第24页第25页补充补充利用这个公式，可知上例中利用这个公式，可知上例中第26页解解体积元素为体积元素为第27页四、平行截面面积为已知立体体积四、平行截面面积为已知立体体积假如一个立体不是旋转体，但却知道该立假如一个立体不是旋转体，但却知道该立体上垂直于一定轴各个截面面积，那么，这个体上垂直于一定轴各个截面面积，那么，这个立体体积也可用定积分来计算立体体积也可用定积分来计算.立体体积立体体积第28页解解取坐标系如图取坐标系如图底圆方程为底圆方程为截面面积截面面积立体体积立体体积第29页解解取坐标系如图取坐标系如图底圆方程为底圆方程为截面面积截面面积立体体积立体体积第30页五、平面曲线弧长五、平面曲线弧长第31页弧长元素弧长元素弧长弧长1、直角坐标情形、直角坐标情形第32页解解所求弧长为所求弧长为第33页解解第34页曲线弧为曲线弧为弧长弧长2、参数方程情形、参数方程情形第35页解解 星形线参数方程为星形线参数方程为依据对称性依据对称性第一象限部分弧长第一象限部分弧长第一象限部分弧长第一象限部分弧长第36页证证第37页依据椭圆对称性知依据椭圆对称性知故原结论成立故原结论成立.第38页曲线弧为曲线弧为弧长弧长3、极坐标情形、极坐标情形第39页解解第40页解解第41页设一旋转体侧面由一段曲线设一旋转体侧面由一段曲线绕绕x轴轴旋旋转转一一周周而而得得.为为求求其其面面积积A,在在a,b上上取取经经典典小小区区间间x,x+dx,对对应应于于此此区区间间上上窄窄带带形形侧侧面面可可近近似似地看成弧微分地看成弧微分ds绕绕x轴旋转一周而成轴旋转一周而成.六、旋转体侧面积六、旋转体侧面积第42页于是这一窄带形侧面能够用一个半径为于是这一窄带形侧面能够用一个半径为|f(x)|、高为、高为ds圆柱面来近似代替圆柱面来近似代替,从而得侧面积微分元素从而得侧面积微分元素所以所以此处假设此处假设f(x)在在a,b上可导上可导第43页例例19求半径为求半径为R球表面积球表面积解解以以球球心心为为原原点点建建立立一一平平面面直直角角坐坐标标系系,则则该该球球是是平平面面上上半半圆圆盘盘绕绕x轴轴旋旋转转一一周周而而成成旋旋转转体体,其表面积为其表面积为第44页求在直角坐标系下、参数方程形式求在直角坐标系下、参数方程形式下、极坐标系下平面图形面积下、极坐标系下平面图形面积.（注意恰当（注意恰当选择积分变量选择积分变量有利于简化积有利于简化积分运算）分运算）七、小结七、小结第45页旋转体体积旋转体体积平行截面面积为已知立体体积平行截面面积为已知立体体积绕绕轴旋转一周轴旋转一周绕绕轴旋转一周轴旋转一周绕非轴直线旋转一周绕非轴直线旋转一周第46页平面曲线弧长概念平面曲线弧长概念直角坐标系下直角坐标系下参数方程情形下参数方程情形下极坐标系下极坐标系下弧微分概念弧微分概念求弧长公式求弧长公式第47页思索题思索题第48页思索题解答思索题解答交点交点立体体积立体体积第49页练练习习题题1第50页第51页第52页练习题练习题1答案答案第53页练练习习题题2第54页第55页第56页练习题练习题2答案答案第57页练练习习题题3第58页第59页练习题练习题3答案答案第60页