安徽省阜阳市界首中学艺术班2016届高三数学上册第一次月考试卷.doc

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2015-2016学年安徽省阜阳市界首中学艺术班高三（上）第一次月考数学试卷

一．选择题：
1．设集合P={1，2，3，4}，Q={x|﹣2≤x≤2，x∈R}则P∩Q等于( )
A．{﹣2，﹣1，0，1，2}
B．{3，4}
C．{1}
D．{1，2}

2．双曲线的焦距为( )
A．
B．
C．
D．

3．设z=1+i（i是虚数单位），则+z2=( )
A．﹣1﹣i
B．1+i
C．1﹣i
D．﹣1+i

4．△ABC中，a=，b=3，c=2，则∠A=( )
A．30°
B．45°
C．60°
D．90°

5．在等比数列{an}中，若an＞0且a3a7=64，a5的值为( )
A．2
B．4
C．6
D．8

6．已知等差数列{an}的公差d≠0，且a1，a5，a17依次成等比，则这个等比数列的公比是( )
A．
B．2
C．
D．3

7．已知流程图如图所示，该程序运行后，为使输出的b值为16，则循环体的判断框内①处应填( )

A．a＞3？
B．a≥3？
C．a≤3？
D．a＜3？

8．设向量、，下列结论中，正确的是( )
A．
B．
C．
D．

9．圆心在（1，﹣2），半径为2的圆在x轴上截得的弦长等于( )
A．4
B．6
C．6
D．8

10．已知函数f（x）=，且f（x0）=1，则x0=( )
A．0
B．4
C．0或4
D．1或3

11．过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于A（x1，y1）B（x2，y2）两点，如果x1+x2=6，那么|AB|=( )
A．6
B．8
C．9
D．10

12．已知函数f（x）=sin（ωx+）（ω＞0）的最小正周期为π，则该函数的图象( )
A．关于点（，0）对称
B．关于直线x=对称
C．关于点（，0）对称
D．关于直线x=对称

二．填空题：
13．若sin（+α）=，则cos2α=__________．

14．在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c．已知bcosC+ccosB=2b，则=__________．

15．已知点P（x，y）的坐标满足条件点O为坐标原点，那么|OP|的最大值等于__________．

16．已知函数f（x）=ax+1﹣ex（a∈R，e为自然对数的底数），若函数f（x）在点（1，f（1））处的切线平行于x轴，则a=__________．

三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知a=2，c=，cosA=﹣．
（1）求sinC和b的值；
（2）求cos（2A+）的值．

18．已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=2an﹣2（n∈N*），数列{bn}满足b1=1，且点P（bn，bn+1）（n∈N*）在直线y=x+2上．
（Ⅰ）求数列{an}、{bn}的通项公式；
（Ⅱ）求数列{an•bn}的前n项和Dn．

19．某工厂甲、乙两个车间包装同一种产品，在自动包装传送带上每隔1小时抽一包产品，称其重量（单位：克）是否合格，分别记录抽查数据，获得重量数据的茎叶图如图．
（1）根据样品数据，计算甲、乙两个车间产品重量的均值与方差，并说明哪个车间的产品的重量相对较稳定；
（2）若从乙车间6件样品中随机抽取两件，求所抽取的两件样品的重量之差不超过2克的概率．

20．设函数f（x）=+sin（+x）cos（﹣x），x∈R，求函数f（x）的单调递增区间，并求f（x）在区间[﹣]上的最小值．

21．已知椭圆的两焦点为F1（﹣，0），F2（，0），离心率e=．
（1）求此椭圆的方程；
（2）设直线l：y=x+m，若l与此椭圆相交于P，Q两点，且|PQ|等于椭圆的短轴长，求m的值．

2015-2016学年安徽省阜阳市界首中学艺术班高三（上）第一次月考数学试卷

一．选择题：
1．设集合P={1，2，3，4}，Q={x|﹣2≤x≤2，x∈R}则P∩Q等于( )
A．{﹣2，﹣1，0，1，2}
B．{3，4}
C．{1}
D．{1，2}
考点：交集及其运算．
专题：计算题．
分析：根据题意，由交集的定义，分析集合P、Q的公共元素，即可得答案．
解答： 解：根据题意，P={1，2，3，4}，Q={x|﹣2≤x≤2，x∈R}，
P、Q的公共元素为1、2，
P∩Q={1，2}，
故选D．
点评：本题考查集合交集的运算，关键是理解集合交集的含义．

2．双曲线的焦距为( )
A．
B．
C．
D．
考点：双曲线的简单性质．
专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：由双曲线，易知c2=3+2=5，求出c，即可求出双曲线的焦距．
解答： 解：由双曲线，易知c2=3+2=5，
∴c=，
∴双曲线的焦距为2．
故选：C．
点评：本题考查双曲线的标准方程，双曲线标准方程中的参数a，b，c的关系：c2=a2+b2，双曲线焦距的概念．

3．设z=1+i（i是虚数单位），则+z2=( )
A．﹣1﹣i
B．1+i
C．1﹣i
D．﹣1+i
考点：复数代数形式的混合运算．
专题：数系的扩充和复数．
分析：将复数z代入+z2，然后进行化简计算即可．
解答： 解：由复数z=1+i得；
故选：B．
点评：本题考查了复数的代数形式的混合运算；注意掌握运算法则，属于基础题．

4．△ABC中，a=，b=3，c=2，则∠A=( )
A．30°
B．45°
C．60°
D．90°
考点：余弦定理．
专题：解三角形．
分析：由余弦定理cosA=，代入数据，再由特殊角的三角函数值，计算即可得到A．
解答： 解：由余弦定理直接得，
且A∈（0°，180°），得A=60°，
故选C．
点评：本题考查余弦定理的运用，考查运算能力，属于基础题．

5．在等比数列{an}中，若an＞0且a3a7=64，a5的值为( )
A．2
B．4
C．6
D．8
考点：等差数列的通项公式．
分析：在等比数列中，第五项是第三项和第七项的等比中项，又有数列是正项数列，所以可直接求得结果．
解答： 解：a3a7=a52=64，又an＞0，所以a5的值为8，
故选D
点评：对等比中项的考查是数列题目中最常出现的，在解题过程中易出错，在题目没有特殊限制的情况下等比中项有两个值，同学们容易忽略．

6．已知等差数列{an}的公差d≠0，且a1，a5，a17依次成等比，则这个等比数列的公比是( )
A．
B．2
C．
D．3
考点：等比数列的性质；等比数列的通项公式．
专题：等差数列与等比数列．
分析：因为等差数列的第1、5、17项顺次成等比数列，得到a52=a1•a17，然后根据等差数列的通项公式分别求出这三项，解得a1=2d，求出第5项与第一项的比值得到公比q．
解答： 解：由于等差数列{an}的公差d≠0，
它的第1、5、17项顺次成等比数列，即a52=a1•a17，
也就是（a1+4d）2=a1（a1+16d）⇒a1=2d，
于是a5=a1+4d=6d，
所以q===3．
故选：D．
点评：考查学生掌握等差数列通项公式，利用等比数列的性质来解决数学问题．

7．已知流程图如图所示，该程序运行后，为使输出的b值为16，则循环体的判断框内①处应填( )

A．a＞3？
B．a≥3？
C．a≤3？
D．a＜3？
考点：程序框图．
专题：图表型；算法和程序框图．
分析：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算变量b的值，并输出，模拟程序的运行，对程序运行过程中各变量的值进行分析，不难得到输出结果．
解答： 解：a=1时进入循环，此时b=21=2，a=2时，
再进入循环此时b=22=4，a=3，
再进入循环此时b=24=16，
∴a=4时应跳出循环，
∴循环满足的条件为a≤3？
∴故选：C．
点评：算法是新课程中的新增加的内容，也必然是新高考中的一个热点，应高度重视．程序填空也是重要的考试题型，这种题考试的重点有：①分支的条件②循环的条件③变量的赋值④变量的输出．其中前两点考试的概率更大．此种题型的易忽略点是：不能准确理解流程图的含义而导致错误．

8．设向量、，下列结论中，正确的是( )
A．
B．
C．
D．
考点：平面向量的坐标运算．
专题：计算题．
分析：利用向量共线的充要条件是：坐标交叉相乘相等；向量垂直的充要条件是：数量积为0判断出选项．
解答： 解：∵﹣1×3≠2×1∴不成立
∵
∴不成立
∵，
又∵﹣1×（﹣1）≠2×（﹣2），
∴不成立
∵﹣1×（﹣2）+2×（﹣1）=0，
∴
故选D
点评：本题考查向量共线的充要条件、考查向量垂直的充要条件．

9．圆心在（1，﹣2），半径为2的圆在x轴上截得的弦长等于( )
A．4
B．6
C．6
D．8
考点：直线与圆相交的性质．
专题：直线与圆．
分析：利用垂径定理，结合勾股定理，可求圆心为 （1，﹣2），半径为2 的圆在x轴上截得的弦长．
解答： 解：圆心为 （1，﹣2）到x轴的距离为2．
∵圆的半径为2，
∴圆心为 （1，﹣2），半径为2的圆在x轴上截得的弦长是2=8．
故选：D．
点评：本题考查垂径定理的运用，考查学生的计算能力，属于基础题

10．已知函数f（x）=，且f（x0）=1，则x0=( )
A．0
B．4
C．0或4
D．1或3
考点：导数的运算．
专题：导数的概念及应用．
分析：由f（x0）=1，得到x0的两个方程解之即可．
解答： 解：当x≤1时，由得x0=0；
当x＞1时，由f（x0）=log3（x0﹣1）=1得x0﹣1=3，
则x0=4，且两者都成立；
故选：C．
点评：本题考查了已知分段函数的函数值求自变量；考查了讨论的思想；注意分段函数的一个函数值可能对应多个自变量．

11．过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于A（x1，y1）B（x2，y2）两点，如果x1+x2=6，那么|AB|=( )
A．6
B．8
C．9
D．10
考点：抛物线的简单性质．
专题：综合题；转化思想；综合法．
分析：抛物线 y2=4x 的焦点作直线交抛物线于A（x1，y1）B（x2，y2）两点，故|AB|=x1+x2+2，由此易得弦长值．
解答： 解：由题意，p=2，故抛物线的准线方程是x=﹣1，
∵抛物线 y2=4x 的焦点作直线交抛物线于A（x1，y1）B（x2，y2）两点
∴|AB|=x1+x2+2，
又x1+x2=6
∴∴|AB|=x1+x2+2=8
故选B．
点评：本题考查抛物线的简单性质，解题的关键是理解到焦点的距离与到准线的距离相等，由此关系将求弦长的问题转化为求点到线的距离问题，大大降低了解题难度．

12．已知函数f（x）=sin（ωx+）（ω＞0）的最小正周期为π，则该函数的图象( )
A．关于点（，0）对称
B．关于直线x=对称
C．关于点（，0）对称
D．关于直线x=对称
考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．
专题：计算题．
分析：先根据最小正周期的值求出w的值确定函数的解析式，然后令2x+=kπ求出x的值，得到原函数的对称点，然后对选项进行验证即可．
解答： 解：由函数f（x）=sin（ωx+）（ω＞0）的最小正周期为π得ω=2，
由2x+=kπ得x=，对称点为（，0）（k∈z），当k=1时为（，0），
故选A
点评：本题主要考查正弦函数的最小正周期的求法和对称性．

二．填空题：
13．若sin（+α）=，则cos2α=﹣．

考点：二倍角的余弦；运用诱导公式化简求值．
专题：三角函数的求值．
分析：利用诱导公式化简求出cosα，然后利用二倍角公式求解即可．
解答： 解：sin（+α）=，
可得cosα=，
cos2α=2cos2α﹣1=2×﹣1=﹣．
故答案为：﹣．
点评：本题考查二倍角公式以及诱导公式的应用，考查计算能力．

14．在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c．已知bcosC+ccosB=2b，则=2．

考点：正弦定理．
专题：解三角形．
分析：已知等式利用正弦定理化简，再利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式化简，再利用正弦定理变形即可得到结果．
解答： 解：将bcosC+ccosB=2b，利用正弦定理化简得：sinBcosC+sinCcosB=2sinB，
即sin（B+C）=2sinB，
∵sin（B+C）=sinA，
∴sinA=2sinB，
利用正弦定理化简得：a=2b，
则=2．
故答案为：2
点评：此题考查了正弦定理，以及两角和与差的正弦函数公式，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．

15．已知点P（x，y）的坐标满足条件点O为坐标原点，那么|OP|的最大值等于．

考点：简单线性规划．
专题：不等式的解法及应用．
分析：作出不等式组对应的平面区域，利两点间的距离公式进行求解即可．
解答： 解：作出不等式组对应的平面区域如右图所示，
则OB的距离最大，
由，即，即B（1，3），
则．
故答案为：．

点评：本题主要考查线性规划的应用，利用两点间的距离公式是解决本题的关键．

16．已知函数f（x）=ax+1﹣ex（a∈R，e为自然对数的底数），若函数f（x）在点（1，f（1））处的切线平行于x轴，则a=e．

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．
专题：导数的概念及应用．
分析：先求出函数的导数，得到f′（1）=a﹣e=0，解出即可．
解答： 解：直线平行于x轴时斜率为0，
由f′（x）=a﹣ex，
得k=f′（1）=a﹣e=0，得出a=e，
故答案为：e．
点评：本题考查了导数的应用，考查曲线的切线问题，是一道基础题．

三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知a=2，c=，cosA=﹣．
（1）求sinC和b的值；
（2）求cos（2A+）的值．

考点：解三角形；三角函数中的恒等变换应用．
专题：解三角形．
分析：（1）△ABC中，利用同角三角函数的基本关系求出sinA，再由正弦定理求出sinC，再由余弦定理求得b=1．
（2）利用二倍角公式求得cos2A的值，由此求得sin2A，再由两角和的余弦公式求出cos（2A+）=cos2Acos﹣sin2Asin 的值．
解答： 解：（1）△ABC中，由cosA=﹣ 可得sinA=．
再由 = 以及a=2、c=，可得sinC=．
由a2=b2+c2﹣2bc•cosA 可得b2+b﹣2=0，解得b=1．
（2）由cosA=﹣、sinA= 可得 cos2A=2cos2A﹣1=﹣，sin2A=2sinAcosA=﹣．
故cos（2A+）=cos2Acos﹣sin2Asin=．
点评：本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，二倍角公式以及两角和的余弦公式，同角三角函数的基本关系的应用，属于中档题．

18．已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=2an﹣2（n∈N*），数列{bn}满足b1=1，且点P（bn，bn+1）（n∈N*）在直线y=x+2上．
（Ⅰ）求数列{an}、{bn}的通项公式；
（Ⅱ）求数列{an•bn}的前n项和Dn．

考点：数列递推式；数列的函数特性；数列的求和．
专题：等差数列与等比数列．
分析：（1）利用“当n=1，a1=2；当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1”和等比数列的通项公式即可得出an；利用等差数列的定义和通项公式即可得出bn．
（2）利用 “错位相减法”和等比数列的前n项和公式即可得出．
解答： 解：（1）①当n=1，a1=2．
当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=2an﹣2﹣（2an﹣1﹣2）=2an﹣2an﹣1，
∴an=2an﹣1（n≥2），
∴{an}是等比数列，公比为2，首项a1=2．
∴．
②点在直线y=x+2上，
∴bn+1=bn+2，
∴{bn}是等差数列，公差为2，首项b1=1，
∴bn=2n﹣1
（2）由（1）可得：，
∴①
②
①﹣②得=．
∴．
点评：本题考查了等差数列与等比数列的定义和通项公式及前n项和公式、“错位相减法”，考查了推理能力和计算能力，属于难题．

19．某工厂甲、乙两个车间包装同一种产品，在自动包装传送带上每隔1小时抽一包产品，称其重量（单位：克）是否合格，分别记录抽查数据，获得重量数据的茎叶图如图．
（1）根据样品数据，计算甲、乙两个车间产品重量的均值与方差，并说明哪个车间的产品的重量相对较稳定；
（2）若从乙车间6件样品中随机抽取两件，求所抽取的两件样品的重量之差不超过2克的概率．

考点：极差、方差与标准差；茎叶图；古典概型及其概率计算公式．
专题：计算题．
分析：（1）根据茎叶图所给的两组数据，分别做出这两组数据的平均数，再作出这两组数据的方差，得到甲车间的产品的重量相对较稳定．
（2）由题意知本题是一个古典概型的概率，试验发生包含的事件数，可以通过列举得到共有15种结果，而满足条件的事件数也通过列举得到，两个做比值得到概率．
解答： 解：（1），
=21，

=，
∵=，S甲2＜S乙2，
∴甲车间的产品的重量相对较稳定．
（2）从乙车间6件样品中随机抽取两件，共有15种不同的取法：（108，109），
（108，110），（108，112），（108，115），（108，124），（109，110），
（109，112），（109，115），（109，124），（110，112），（110，115），
（110，124），（112，115），（112，124），（115，124）．
设A表示随机事件“所抽取的两件样品的重量之差不超过2克”，
则A的基本事件有4种：（108，109），（108，110），（109，110），（110，112）．
故所求概率为．
点评：本题考查茎叶图，考查两组数据的平均数与方差，考查判定两组数据的稳定性，考查古典概型概率公式，考查利用列举法得到事件数，本题是一个综合题目．

20．设函数f（x）=+sin（+x）cos（﹣x），x∈R，求函数f（x）的单调递增区间，并求f（x）在区间[﹣]上的最小值．

考点：三角函数中的恒等变换应用；函数单调性的判断与证明．
专题：三角函数的求值；三角函数的图像与性质．
分析：由三角函数中的恒等变换应用化简函数解析式可得：f（x）=sin（2x﹣）+，由2k≤2x﹣≤2kπ+，k∈Z可解函数f（x）的单调递增区间．由x∈[﹣]，得2x﹣∈[﹣，]，从而解得f（x）∈[﹣，1]，即可求得f（x）在区间[﹣]上的最小值．
解答： 解：∵f（x）=+sin（+x）cos（﹣x）
=sin2x+cosxsinx
=+sin2x﹣cos2x
=sin（2x﹣）+，
∴由2k≤2x﹣≤2kπ+，k∈Z可解得：kπ≤x≤kπ+，k∈Z，
故函数f（x）的单调递增区间是：[kπ，kπ+]，k∈Z，
∵x∈[﹣]，
∴2x﹣∈[﹣，]，
∴sin（2x﹣）∈[﹣1，]，f（x）=sin（2x﹣）+∈[﹣，1]
∴f（x）在区间[﹣]上的最小值是：﹣．
点评：本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，考查了三角函数的图象与性质，解题时注意讨论角的范围，属于基本知识的考查．

21．已知椭圆的两焦点为F1（﹣，0），F2（，0），离心率e=．
（1）求此椭圆的方程；
（2）设直线l：y=x+m，若l与此椭圆相交于P，Q两点，且|PQ|等于椭圆的短轴长，求m的值．

考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．
专题：综合题．
分析：（1）先设椭圆方程为，有c=，求得a，b，最后写出椭圆方程；
（2）由，将直线的方程代入抛物线的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合根系数的关系利用弦长公式即可求得m值，从而解决问题．
解答： 解：（1）设椭圆方程为，则c=，，
∴a=2，b=1，所求椭圆方程．
（2）由，消去y，得5x2+8mx+4（m2﹣1）=0，
则△＞0得m2＜5（*）
设P（x1，y1），Q（x2，y2），则x1+x2=﹣，x1x2=y1﹣y2=x1﹣x2，
|PQ|=
解得m=，满足（*）
∴m=．
点评：本题主要考查椭圆的标准方程和几何性质，直线方程，曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法和综合解题能力．解答的关键是利用方程思想利用设而不求的方法求出m值．

薄雾浓云愁永昼， 瑞脑消金兽。 佳节又重阳， 玉枕纱厨， 半夜凉初透。
东篱把酒黄昏后， 有暗香盈袖。 莫道不消魂， 帘卷西风， 人比黄花瘦。

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