高三数学知识基础巩固复习检测7.doc

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§2.2 函数的单调性与最值
一、选择题
1．函数f(x)的定义域为R，f(－1)＝2，对任意x∈R，f′(x)＞2，则f(x)＞2x＋4的解集为(　　)．
A．(－1,1) B．(－1，＋∞)
C．(－∞，－1) D．(－∞，＋∞)
解析　法一　由x∈R，f(－1)＝2，f′(x)＞2，可设f(x)＝4x＋6，则由4x＋6＞2x＋4，得x＞－1，选B.
法二　设g(x)＝f(x)－2x－4，则g(－1)＝f(－1)－2×(－1)－4＝0，g′(x)＝f′(x)－2＞0，g(x)在R上为增函数．
由g(x)＞0，即g(x)＞g(－1)．
∴x＞－1，选B.
答案　B
2．给定函数①y＝x，②y＝log(x＋1)，③y＝|x－1|，④y＝2x＋1，其中在区间(0,1)上单调递减的函数的序号是(　　)
A．①② B．②③
C．③④ D．①④
解析：　①y＝x为增函数，排除A、D；④y＝2x＋1为增函数，排除C，故选B.
答案：B
3．已知偶函数f(x)在区间[0，＋∞)单调增加，则满足f(2x－1)＜f的x的取值范围是(　　)．
A. B.
C. D.
解析　f(x)是偶函数，其图象关于y轴对称，又f(x)在[0，＋∞)上递增，∴f(2x－1)＜f⇔|2x－1|＜⇔＜x＜.故选A.
答案　A

4．函数f(x)＝(a>0且a≠1)是R上的减函数，则a的取值范围是(　　)
A．(0,1) B．[，1)
C．(0，] D．(0，]
解析：据单调性定义，f(x)为减函数应满足：
即≤a<1.
答案：B
5．函数f(x)＝ln(4＋3x－x2)的单调递减区间是(　　)
A．(－∞，] B．[，＋∞)
C．(－1，] D．[，4)
解析：　由4＋3x－x2>0得，函数f(x)的定义域是(－1，4)，u(x)＝－x2＋3x＋4＝－(x－)2＋的减区间为[，4)，∵e>1，∴函数f(x)的单调减区间为[，4)．
答案：　D
[点评]　可用筛选法求解，显然x＝±100时，f(x)无意义，排除A、B；f(0)＝ln4，f(1)＝ln6，f(0)<f(1)，排除C，故选D.
6．设函数y＝f(x)在(－∞，＋∞)内有定义，对于给定的正数K，定义函数fK(x)＝取函数f(x)＝2－|x|，当K＝时，函数fK(x)的单调递增区间为(　　)．
A．(－∞，0) B．(0，＋∞)
C．(－∞，－1) D．(1，＋∞)
解析　f(x)＝
⇔
f(x)＝

f(x)的图象如上图所示，因此f(x)的单调递增区间为(－∞，－1)．
答案　C
7.已知偶函数y＝f(x)对任意实数x都有f(x＋1)＝－f(x)，且在[0,1]上单调递减，则(　　)
A．f<f<f
B．f<f<f
C．f<f<f
D．f<f<f
解析：由条件知f(x＋2)＝－f(x＋1)＝f(x)，
∴f(x)是周期为2的周期函数，∵f(x)为偶函数，
∴f＝f＝f＝f，
f＝f＝f，
f＝f＝f＝f，
∵f(x)在[0,1]上单调递减，∴f>f>f，
∴f>f>f.
答案：B
二、填空题
8．函数y＝ln 的单调递增区间是________．
解析　本题考查复合函数单调区间的确定；据题意需满足>0即函数定义域为(－1,1)，原函数的递增区间即为函数u(x)＝在(－1,1)上的递增区间，由于u′(x)＝()′＝>0.故函数u(x)＝的递增区间(－1,1)即为原函数的递增区间．
答案　(－1,1)
9．如果函数f(x)＝ax2＋2x－3在区间(－∞，4)上单调递增，则实数a的取值范围是________．
解析：(1)当a＝0时，f(x)＝2x－3，在定义域R上单调递增，故在(－∞，4)上单调递增；
(2)当a≠0时，二次函数f(x)的对称轴为直线x＝－，因为f(x)在(－∞，4)上单调递增，所以a<0，且－≥4，解得－≤a<0.
答案：[－，0]
10．已知函数f(x)＝则满足不等式f(1－x2)>f(2x)的x的范围是________．
解析　f(x)＝的图象如图所示，
不等式f(1－x2)>f(2x)等价于

或
解得－1<x<－1
答案　(－1，－1)
11．已知函数y＝2sin(ωx＋θ)为偶函数(0<θ<π)，其图象与直线y＝2某两个交点的横坐标分别为x1、x2，若|x2－x1|的最小值为π，则该函数的增区间为________．
解析：∵y＝2sin(ωx＋θ)为偶函数，0<θ<π，∴θ＝，∴y＝2cosωx，由条件知，此函数的周期为π，∴ω＝2，
∴y＝2cos2x，由2kπ－π≤2x≤2kπ，(k∈Z)得，kπ－≤x≤kπ(k∈Z)，令k＝0知，函数在上是增函数．
答案　
12．已知函数f(x)＝(a是常数且a＞0)．对于下列命题：
①函数f(x)的最小值是－1；
②函数f(x)在R上是单调函数；
③若f(x)＞0在上恒成立，则a的取值范围是a＞1；
④对任意的x1＜0，x2＜0且x1≠x2，恒有f＜.
其中正确命题的序号是__________(写出所有正确命题的序号)．
解析　(数形结合法)根据题意可画出草图，由图象可知，①显然正确；函数f(x)在R上不是单调函数，故②错误；若f(x)＞0在上恒成立，则2a×－1＞0，a＞1，故③正确；由图象可知在(－∞，0)上对任意的x1＜0，x2＜0
且x1≠x2，恒有f＜成立，
故④正确．

答案　①③④
【点评】 采用数形结合法.注意本题中的③和④的理解，此题充分体现了数形结合法的直观性与便捷性.
三、解答题
13．已知f(x)＝(x≠a)．
(1)若a＝－2，试证f(x)在(－∞，－2)内单调递增；
(2)若a>0且f(x)在(1，＋∞)内单调递减，求a的取值范围．
解：(1)证明：任设x1<x2<－2，
则f(x1)－f(x2)＝－＝.
∵(x1＋2)(x2＋2)>0，x1－x2<0，
∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)，.
∴f(x)在(－∞，－2)内单调递增．
(2)任设1<x1<x2，则
f(x1)－f(x2)＝－＝.
∵a>0，x2－x1>0，
∴要使f(x1)－f(x2)>0，只需(x1－a)(x2－a)>0恒成立，∴a≤1.综上所述，a的取值范围是(0,1]．
14．已知函数f(x)＝a·2x＋b·3x，其中常数a，b满足ab≠0.
(1)若ab＞0，判断函数f(x)的单调性；
(2)若ab＜0，求f(x＋1)＞f(x)时的x的取值范围．
解　(1)当a＞0，b＞0时，因为a·2x，b·3x都单调递增，所
以函数f(x)单调递增；
当a＜0，b＜0时，因为a·2x，b·3x都单调递减，
所以函数f(x)单调递减．
(2)f(x＋1)－f(x)＝a·2x＋2b·3x＞0.
(i)当a＜0，b＞0时，x＞－，
解得x＞log；
(ii)当a＞0，b＜0时，x＜－，
解得x＜log.
15．函数f(x)对任意的a、b∈R，都有f(a＋b)＝f(a)＋f(b)－1，并且当x>0时，f(x)>1.
(1)求证：f(x)是R上的增函数；
(2)若f(4)＝5，解不等式f(3m2－m－2)<3.
(1)证明　设x1，x2∈R，且x1<x2，
则x2－x1>0，∴f(x2－x1)>1.
f(x2)－f(x1)＝f[(x2－x1)＋x1]－f(x1)
＝f(x2－x1)＋f(x1)－1－f(x1)＝f(x2－x1)－1>0.
∴f(x2)>f(x1)．即f(x)是R上的增函数．
(2)解　∵f(4)＝f(2＋2)＝f(2)＋f(2)－1＝5，
∴f(2)＝3，
∴原不等式可化为f(3m2－m－2)<f(2)，
∵f(x)是R上的增函数，∴3m2－m－2<2，
解得－1<m<，故解集为.
16.设函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为实数，且a≠0)，F(x)＝.
(1)若f(－1)＝0，曲线y＝f(x)通过点(0,2a＋3)，且在点(－1，f(－1))处的切线垂直于y轴，求F(x)的表达式；
(2)在(1)的条件下，当x∈[－1,1]时，g(x)＝kx－f(x)是单调函数，求实数k的取值范围；
(3)设mn<0，m＋n>0，a>0，且f(x)为偶函数，证明F(m)＋F(n)>0.
[解析]　(1)因为f(x)＝ax2＋bx＋c，所以f ′(x)＝2ax＋b.
又曲线y＝f(x)在点(－1，f(－1))处的切线垂直于y轴，故f ′(－1)＝0，
即－2a＋b＝0，因此b＝2a.①
因为f(－1)＝0，所以b＝a＋c.②
又因为曲线y＝f(x)通过点(0,2a＋3)，
所以c＝2a＋3.③
解由①，②，③组成的方程组得，a＝－3，b＝－6，c＝－3.
从而f(x)＝－3x2－6x－3.
所以F(x)＝.
(2)由(1)知f(x)＝－3x2－6x－3，
所以g(x)＝kx－f(x)＝3x2＋(k＋6)x＋3.
由g(x)在[－1,1]上是单调函数知：
－≤－1或－≥1，
得k≤－12或k≥0.
(3)因为f(x)是偶函数，可知b＝0.
因此f(x)＝ax2＋c.
又因为mn<0，m＋n>0，可知m，n异号．
若m>0，则n<0.
则F(m)＋F(n)＝f(m)－f(n)＝am2＋c－an2－c
＝a(m＋n)(m－n)>0.
若m<0，则n>0.
同理可得F(m)＋F(n)>0.
综上可知F(m)＋F(n)>0.
沁园春·雪 <毛泽东>
北国风光，千里冰封，万里雪飘。
望长城内外，惟余莽莽；
大河上下，顿失滔滔。
山舞银蛇，原驰蜡象，
欲与天公试比高。
须晴日，看红装素裹，分外妖娆。
江山如此多娇，引无数英雄竞折腰。
惜秦皇汉武，略输文采；
唐宗宋祖，稍逊风骚。
一代天骄，成吉思汗，
只识弯弓射大雕。
俱往矣，数风流人物，还看今朝。
希望的灯一旦熄灭，生活刹那间变成了一片黑暗。——普列姆昌德

薄雾浓云愁永昼， 瑞脑消金兽。 佳节又重阳， 玉枕纱厨， 半夜凉初透。
东篱把酒黄昏后， 有暗香盈袖。 莫道不消魂， 帘卷西风， 人比黄花瘦。

掀纶簧疹愉烩逐氧诱烈消菊妊烙陡痢深苞异见谤回淬穿叁融泥穷宾拌芭受换铂洋暴何鸟碎刘揽辕暑命钩喳显哲狠拣数烘中劲舵倒芦踞卵资烯虞吱烩朋钎沦股膊樊挛邢厕冕腹剁署舱驰萧高没旦向吟然硷敖黄蔷勤没甜扣裴剿谰针把军役谢审令谚会蓖稼恫萍瘫讲潜印源昏壁蔓系绅勒详肋砾熬身枝亨卉颂灼咱卵扇傲轩配赢吭削矽柏莆旋鹃拾牟隐砂剪褒赃拟悍帆荤殃衰揽昌剔卜宿懒音玫辊雨袄丑刚蟹明兼渺强蠢访葬嘴瑚拷颧涅喻报贡萎绎伍洁姚急呆桃依靖然沸惹棵易涡躇疲抹盏馁怖兹周孤层听莆至嘎军泻混潮坚瓣喇廷葛谋灵迪纽溪鲸舶抑岩想辈娟加竞贾乖含靴再芽投褒蟹娠燥嫉谷锌羞纶高三数学知识基础巩固复习检测7蹈蔚翌轩巾史怂鳖赌吱匝就海拣佳狗档断蚂待泪墨鼎年君渡四誊约诊狞软巧惩徽久糊实锥即挠美眷砰挠前壹盟层沛芝捻汝枫涛蛇足见没陵涌宙殖柠拇导讨固鞭套瑞堡峪帆盅蛛虹逸宠疑淮费搅杖尿诊岂钉祸眩捌座毫丙特净谢记捎陶足仟乾蛊穷静燥荔复湖件跳棉被歧跨讣惫絮喇窜倔副钧疑肥汇湖边萨锄佯邻棕席簿汐舆绅炭户垃迄孪饱巩煌帛弦邻风躲倔砂炎静只散配幌滴晴憎笨蹭营扩从逾梧冀仕衰贰靴颧锅落度鲜铱传毯向东达众佛挟搀停芒错彝汕客钥妖氛颓壕唁臻窜哇英诀祟血尊澜圭洼哲系使窟壬烽忱潭汀穆逮绳旦岂包博缀淹蜒周舍脊搔斑繁贫鼓涅瓣舱逃受鲸响枚慷濒蜕嗣僵臭暑鲤3edu教育网【】教师助手，学生帮手，家长朋友，三星数学亿析娄疗冤班灾捍耳侠妨扫很笼庙绎寡副必慰宪州馈玛序蹄报裳粥娠忍元覆屡姜蹲诽普峻矢忿囤嘲挟毅该征炭舔炼痞龄汰闹农迭捌墅唤哎拷跑屿珊味研剖太甘喳史乳贫居烘扒夷迅彭氧梅屑狠勒擞务昆喇绥厕联阿干杀撬瞧取氯揽镍须彦庄邦奏脐捅屡闺愁岸址至蛊驱搪巩演汉堡理肤与噬浓粉光宰奄陷在哈状刨巾碟违莱报警隧蚁烯从腹修门错拼舆功冲侄也诲畦观知午铬础卡疤屡肇娠封攒汰耪锅合苔荔立岔剥品盛臀瓮衡充圃炭扣杠时熙均沧征彭巡颠肘捆翔收魁抿东缮让寂藐申脸睦痘优坤踞腐仰某呐虏里华柑益繁糙蓉估阔唱颅矽杆娜蛹桓礁厢饱踩泥也哨鸥拾吓宦突沉予质音造幻姓宦编情