2015-2016学年高一数学上册同步精练31.doc

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第三章　3.1　3.1.2　

一、选择题
1．化简cos(x＋y)siny－sin(x＋y)cosy的结果为(　　)
A．sin(x＋2y) B．－sin(x＋2y)
C．sinx D．－sinx
[答案]　D
[解析]　原式＝sin[y－(x＋y)]＝sin(－x)＝－sinx.
2．若cosαcosβ＝1，则sin(α＋β)等于(　　)
A．－1 B．0
C．1 D．±1
[答案]　B
[解析]　∵cosαcosβ＝1，
∴cosα＝1，cosβ＝1或cosα＝－1，cosβ＝－1，
∴sinα＝0，sinβ＝0，
∴sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ＝0.
3．cosα－sinα化简的结果可以是(　　)
A．2sin(－α) B．sin(－α)
C．cos(－α) D．2cos(－α)
[答案]　A
[解析]　cosα－sinα＝2(cosα－sinα)
＝2(sincosα－cossinα)
＝2sin(－α)．
4．对等式sin(α＋β)＝sinα＋sinβ的认识正确的是(　　)
A．对于任意的角α、β都成立
B．只对α、β取几个特殊值时成立
C．对于任意的角α、β都不成立
D．有无限个α、β的值使等式成立
[答案]　D
[解析]　当α＝2kπ或β＝2kπ，有sin(α＋β)＝sinα＋sinβ成立，因此有无限个α、β的值能使等式成立．
5．sin(65°－x)cos(x－20°)＋cos(65°－x)cos(110°－x)的值为(　　)
A． B．
C． D．
[答案]　B
[解析]　sin(65°－x)cos(x－20°)＋cos(65°－x)·cos(110°－x)＝sin(65°－x)cos(x－20°)＋cos(65°－x)·sin[90°－(110°－x)]＝sin(65°－x)cos(x－20°)＋cos(65°－x)sin(x－20°)＝sin(65°－x＋x－20°)＝sin45°＝.
6．(2015·四川理，4)下列函数中，最小正周期为π且图象关于原点对称的函数是(　　)
A．y＝cos B．y＝sin
C．y＝sin 2x＋cos 2x D．y＝sin x＋cos x
[答案]　A
[解析]　对于选项A，因为y＝－sin 2x，T＝＝π，且图象关于原点对称，故选A．
二、填空题
7．化简的结果是________．
[答案]　
[解析]　原式＝
＝＝.
8．化简＝________.
[答案]　1
[解析]　原式＝
＝
＝＝tan45°＝1.
三、解答题
9．(2015·荆门市高一期末测试)已知向量a＝(，1)、b＝(1，)、c＝(－1－cosα，sinα)，α为锐角．
(1)求向量a、b的夹角；
(2)若b⊥c，求角α的值．
[解析]　(1)设向量a与b的夹角为θ，
则cosθ＝＝
＝＝.
∵0≤θ≤π，∴θ＝.
(2)∵b⊥c，∴－1－cosα＋sinα＝0，
∴2sin(α－)＝1，∴sin(α－)＝.
∵α为锐角，∴α＝.
10.(2014·广东理，16)已知函数f(x)＝Asin(x＋)，x∈R，且f()＝.
(1)求A的值；
(2)若f(θ)＋f(－θ)＝，θ∈(0，)，求f(－θ)．
[解析]　(1)f()＝Asin(＋)＝，
∴A×＝，
∴A＝.
(2)f(θ)＋f(－θ)＝sin(θ＋)＋sin(－θ＋)＝，
∴[(sinθ＋cosθ)＋(－sinθ＋cosθ)]＝.
∴cosθ＝，∴cosθ＝，
又∵θ∈(0，)，∴sinθ＝＝，
∴f(－θ)＝sin(π－θ)＝sinθ＝.

一、选择题
1．设a＝sin14°＋cos14°，b＝sin16°＋cos16°，c＝，则a、b、c的大小关系是(　　)
A．a<b<c B．a<c<b
C．b<a<c D．b<c<a
[答案]　B
[解析]　a＝sin(14°＋45°)＝sin59°，
b＝sin(16°＋45°)＝sin61°，
c＝·＝sin60°，
由y＝sinx的单调性知：a<c<b.
2．已知cosx－sinx＝－，则sin(－x)＝(　　)
A． B．－
C． D．－
[答案]　D
[解析]　∵cosx－sinx＝2(sincosx－cossinx)＝2sin(－x)＝－，∴sin(－x)＝－.
3．已知向量a＝(sinα，cosα)，b＝(cosβ，sinβ)，α、β为锐角且a∥b，则α＋β等于(　　)
A．0° B．90°
C．135° D．180°
[答案]　B
[解析]　a∥b，∴sinαsinβ－cosαcosβ＝0，∴－cos(α＋β)＝0，
∴α＋β＝90°.
4．(2015·广东中山纪念中学高一期末测试)函数y＝sin(2x－)－sin2x的一个单调递增区间是(　　)
A．[－，] B．[，]
C．[，] D．[，]
[答案]　D
[解析]　y＝sin(2x－)－sin2x
＝sin2xcos－cos2xsin－sin2x
＝－cos2x－sin2x
＝－sin(2x＋)
令2kπ＋≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，
得kπ＋≤x≤kπ＋，k∈Z.
取k＝0，得≤x≤，故选D．
二、填空题
5．(2015·随州市高一期末测试)已知cosα＝，cos(α－β)＝，且0<α<β<，则sinβ＝________.
[答案]　
[解析]　∵cosα＝，0<α<，∴sinα＝.
又∵0<α<β<，∴－<α－β<0，
∴sin(α－β)＝－.
∴sinβ＝sin[α－(α－β)]
＝sinαcos(α－β)－cosαsin(α－β)
＝×－×(－)＝.
6．当函数y＝sinx－cosx(0≤x≤2π)取得最大值时，x＝________.
[答案]　
[解析]　y＝sinx－cosx＝2sin(x－)，∵x∈[0,2π]，∴x－∈[－，]，∴当x－＝，即x＝时，函数取最大值2.
三、解答题
7．已知sinα＝，cosβ＝－，α∈(，π)，β∈(，π)，求sin(α＋β)，sin(α－β)的值．
[解析]　∵sinα＝，α∈(，π)，
∴cosα＝－＝－.
∵cosβ＝－，β∈(，π)，∴sinβ＝＝，
∴sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ＝×(－)＋(－)×＝－＝－，
sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ
＝×(－)－(－)×＝.
8．求值：
(1)(tan10°－)·；
(2)[2sin50°＋sin10°(1＋tan10°)]·.
[解析]　(1)(tan10°－)·
＝(tan10°－tan60°)·
＝·
＝·
＝·＝－2.
(2)[2sin50°＋sin10°(1＋tan10°)]·
＝·
＝·cos10°
＝2(sin50°cos10°＋sin10°·cos50°)
＝2sin60°＝.
9. (2014·重庆理，17)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0，－≤φ<)的图象关于直线x＝对称，且图象上相邻两个最高点的距离为π.
(1)求ω和φ的值；
(2)若f()＝(<α<)，求cos(α＋)的值．
[解析]　(1)因为f(x)的图象上相邻两个最高点的距离为π，所以f(x)的最小正周期T＝π，从而ω＝＝2，
又因为f(x)的图象关于直线x＝对称，所以2×＋φ＝kπ＋，k＝0，±1，±2，…，因－≤φ<得k＝0，
所以φ＝－＝－.

(2)由(1)得f()＝sin(2·－)＝.
所以sin(α－)＝.
由<α<得0<α－<.
所以cos(α－)＝＝＝.
因此cos(α＋)＝sinα
＝sin[(α－)＋]
＝sin(α－)cos＋cos(α－)sin
＝×＋×
＝.

薄雾浓云愁永昼， 瑞脑消金兽。 佳节又重阳， 玉枕纱厨， 半夜凉初透。
东篱把酒黄昏后， 有暗香盈袖。 莫道不消魂， 帘卷西风， 人比黄花瘦。

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