高一数学下册暑假知识点梳理检测题13.doc

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第三十一讲　不等关系与不等式
一、选择题：(本大题共6小题，每小题6分，共36分，将正确答案的代号填在题后的括号内．)
1．若a>b>0，则下列不等式中一定成立的是(　　)
A．a＋>b＋　　　　　　 B．a－>b－
C.> D.>
解析：由已知a>b>0及不等式的基本性质易得a＋>b＋，故选A.
答案：A
2．下列命题中，真命题有(　　)
①若a>b>0，则<；
②若a>b，则c－2a<c－2b；
③若a>b，e>f，则f－ac<e－bc；
④若a>b，则<.
A．1个　　　　B．2个 C．3个　　　　D．4个
解析：①②为真命题，故选B.
答案：B
3．(2011·潍坊市模拟)已知0<x<y<a<1，则有(　　)
A．loga(xy)<0 B．0<loga(xy)<1
C．1<loga(xy)<2 D．loga(xy)>2
解析：由0<x<y<a<1，得xy<a2，
∴loga(xy)>logaa2＝2，故选D.
答案：D

4．已知a>b，则下列不等式一定成立的是(　　)
A．lga>lgb B．a2>b2
C. < D．2a>2b
解析：只有指数函数y＝2x在R上为增函数，所以D正确，而A、C显然不是对于一切实数都成立的，B的等价条件是|a|>|b|，显然也错误，故选D.
答案：D
5．(2011·德州市模拟)若1<a<3，－4<b<2，则a－|b|的取值范围是(　　)
A．(－1,3) B．(－3,6)
C．(－3,3) D．(1,4)
解析：∵－4<b<2，∴0≤|b|<4，
∴－4<－|b|≤0.
又∵1<a<3，∴－3<a－|b|<3.故选C.
答案：C
6．(2009·菏泽市模拟)已知三个不等式：①ab>0；②bc－ad>0；③－>0(其中a、b、c、d均为实数)，用其中两个不等式作为条件，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，可组成的正确命题的个数是(　　)
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：若①②成立，则(bc－ad)>0，
∴－>0，故③成立；
若①③成立，则ab>0，
∴bc－ad>0，故②成立；
若②③成立，即bc－ad>0，>0，
∴ab>0，故①成立．
故正确命题的个数为3，应选D.
答案：D
二、填空题：(本大题共4小题，每小题6分，共24分，把正确答案填在题后的横线上．)
7．以下四个不等式：①a<0<b；②b<a<0；③b<0<a；④0<b<a.其中使<成立的充分条件是________．
解析：在①中：a<0，b>0，则<；
在②中：b<a<0，则>；
在④中：0<b<a，则>；
在③中：当b＝－2，a＝1时，<不成立．
答案：①②④
8．设函数f(x)＝ax＋b(0≤x≤1)，则a＋2b>0是f(x)>0在[0,1]上恒成立的________条件．(充分但不必要，必要但不充分，充要，既不充分也不必要)
解析：⇒
∴a＋2b>0.
而仅有a＋2b>0，无法推出f(0)>0和f(1)>0同时成立．
答案：必要但不充分
9．若－1＜a＜b＜1，－2＜c＜3则(a－b)·c的取值范围是________．
解析：∵－1＜a＜b＜1，∴－2＜a－b＜0
∴2＞－(a－b)＞0
当－2＜c＜0时，2＞－c＞0，
∴4＞(－c)[－(a－b)]＞0，即4＞c·(a－b)＞0；
当c＝0时，(a－b)·c＝0
当0＜c＜3时，0＜c·[－(a－b)]＜6
∴－6＜(a－b)·c＜0
综上得：当－2＜c＜3时，－6＜(a－b)·c＜4.
答案：－6＜(a－b)·c＜4
10．(2010·青岛质检题)给出以下四个命题：
①a>b⇒an>bn(n∈N*)；
②a>|b|⇒an>bn(n∈N*)；
③a<b<0⇒>；
④a<b<0⇒>，其中真命题的序号是________．
解析：①中取a＝－1，b＝－2，n＝2，不成立；②a>|b|，得a>0，∴an>bn成立；③a<b<0，得>成立；④a<b<0，得a－b<0，且a－b>a，故<，④不成立．
答案：②③
三、解答题：(本大题共3小题，11、12题13分，13题14分，写出证明过程或推演步骤．)
11．设m∈R，x∈R，比较x2－x＋1与－2m2－2mx的大小．
解：解法一：(x2－x＋1)－(－2m2－2mx)＝x2＋(2m－1)x＋(2m2＋1)．
关于x的二次三项式x2＋(2m－1)x＋(2m2＋1)的判别式为Δ＝(2m－1)2－4(2m2＋1)＝－4m2－4m－3.
二次三项式－4m2－4m－3的判别式为Δ′＝(－4)2－4×(－4)×(－3)＝－32<0，
∴Δ<0恒成立．
∴(x2－x＋1)－(－2m2－2mx)>0，
即x2－x＋1>－2m2－2mx.
解法二：∵(x2－x＋1)－(－2m2－2mx)
＝x2＋(2m－1)x＋(2m2＋1)
＝x2＋(2m－1)x＋2＋2m2＋1－2
＝2＋m2＋m＋
＝2＋＋－2
＝2＋2＋≥>0，
∴x2－x＋1>－2m2－2mx.
12．已知a、b、c∈{正实数}，且a2＋b2＝c2，当n∈N且n>2时，比较cn与an＋bn的大小．
分析：考虑比较的是幂的形式，作差不可行，作商处理．
解：∵a、b、c∈{正实数}，∴an，bn，cn>0
而＝n＋n
∵a2＋b2＝c2，∴2＋2＝1
∴0<<1,0<<1
∵n∈N，n>2，∴n<2，n<2
∴＝n＋n<＝1
∴an＋bn<cn
评析：作商法比较大小，作商——变形——判断商与1的关系．
13．有三个实数m、a、b(a≠b)，如果在a2(m－b)＋m2b中，把a和b互换，所得的代数式的值比原式的值小，那么关系式a＜m＜b是否可能成立？请说明你的理由．
解：不妨设P＝a2(m－b)＋m2b，
Q＝b2(m－a)＋m2a.
由题意知Q＜P，即Q－P＜0.
∴b2(m－a)＋m2a－a2(m－b)－m2b＜0，
(a－b)m2＋(b2－a2)m＋ab(a－b)＜0.
∴(a－b)(m－a)(m－b)＜0.(*)
若a＜m＜b成立，则a＜b，
这时不等式(*)的解为m＞b或m＜a，矛盾．
故a＜m＜b不可能成立．

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