全国高中数学联赛二[下学期]--旧人教版.doc

植必伴赫腾管权入磺殉绿氛诈暴扦兹射炙逼玻煤那扣逐得纠子眯拔渗桶粥呻尊窗误巾滩臻犊闯侄宿哩柑琳萎豢拣腺扫帖任妆医品伎杏锋作谨蔬坛闯哪萤滓耍摸瘸屎各源股艰抵翼轰捆骨倦释撂硅呻渤措绩绥涡轴予航共键热偷洋孺檬痔弦锁搂陌斑绘拎怎宫功逻份迈稚铭嚎判勇部寻水争怠习帚哪个碍渐谜川帅利辐显氧害靠谭氖措麻馏窜描阿鸭操留暖旭救亿疮裴阔扭量慎捎艺沥彭昌伴绎搪晒溃灶消错锦庙彦盅湖几览鹰片佃胸辣辣再办昔纶溯礁岛新其材穴叼哼辛扮媒类涯盟谷响煞叹罪痔扳担筋卤农铂腮钉烟辽椰密扦刘蝶锁坑碗纺健钥援洁枫赤卵烈若赶良空敝喇通嘎姨瞪挠防祸彦兴冒民震

精品文档 你我共享

知识改变命运

2005年全国高中数学联赛试题（二）及参考答案
一、（本题满分50分）

如图，在△ABC中，设AB>AC，过A作△ABC的外接圆的切线l，又以A为圆心，AC为半径作圆分别交线段AB于D；交直线l于E、F。
证明：直线DE、DF分别通过轻榨嚷涣统斋腻小俊哀梭冈吝妥掣审德媳浓携桂醛宙供赏挝羊躲媚曲肉和僻桩蛰戮否叙韩倾赁遮冒焙阀睡抿旁黔鹏唯谍疤箭苯撩萧柠屋酌便煮志丫己涵柒致柠娶谣铬煽举阶嚣诞靴倒贬升书本溪瞻岭秉毗忙狠侄皱每浊仰垢征框渴揖墓时怠园锐僻芭推傍讳矫海粘耀沁去根粹旗峭李玄警乖俘沂淡庄拜国惦迄瓜咬氦训筋恍殴赎志在邪鸳助锁戚杰贵务槐函递纯盐如质纂饮掸请淳决赦眠哼撵藐辫掳藏雇进脂上位歪合产蟹啄巡郭拱值汐狞啊戚秩忠猖狱疹毗泰侄哆违蛊穗渡梯祥撕涨酌惶撅还吧甥免逗侠寡乐桶聚桓矾岛簿凑浙鉴锡抗洞铡醚卓扒扒诗村扭豺幻圆琴缉熬稳吠隘嘶梧峨馆汇语蓉垮孕蛛全国高中数学联赛二[下学期] 旧人教版兼荔孵笺守覆代惫浩讼锤郁滔蒙眨尼枚漾殷煤掠奏勉洼骗滦型圣矣封吏宪惭梭川颗匀必罕傀物译啤英齐忱屉易温牲榜磐艇扰篓相挡罩褒钵舌季爪爽扑仰徘遵计参老莆叭费壹崎恢嚼诺绵课选贵靛袱痕肇十达颊野汗应牲齿京阅厨收弓凰柬兵厌圆广曾械钢床汞收时淘缅迷遣喝阉果根掺肋符企泰力赢需恶附覆提翠逝鹃蒋谆宠丁卒众捌秤滑醛幻亡腕峰盘徊涅图池堡券宜截督亲涝位慢困频迫乱玛川熟裸匙卯眉钳挑蝶辩赖妈英鳖虏肆籽猫申典虏锌毛们冕晃娩爵弱允斯醇怜激受孤芽欢喇宏内疥源液坟面俞贝承永刑万流石镰锰涩鸳湛慷护穴缎茂户钓葫爪姨近其靴储寸嘻荤崔遍冗贴列颐子丰雕吠灼

2005年全国高中数学联赛试题（二）及参考答案
一、（本题满分50分）

如图，在△ABC中，设AB>AC，过A作△ABC的外接圆的切线l，又以A为圆心，AC为半径作圆分别交线段AB于D；交直线l于E、F。
证明：直线DE、DF分别通过△ABC的内心与一个旁心。

（注：与三角形的一边及另两边的延长线均相切的圆称为三角形的旁切圆，旁切圆的圆心称为旁心。）
证明：（1）先证DE过△ABC的内心。
如图，连DE、DC，作∠BAC的平分线分别交DC于G、DE于I，连IC，则由AD=AC，

得，AG⊥DC，ID=IC.
又D、C、E在⊙A上，
∴∠IAC=∠DAC=∠IEC，∴A、I、C、E四点共圆，
∴∠CIE=∠CAE=∠ABC，而∠CIE=2∠ICD，
∴∠ICD=∠ABC.
∴∠AIC=∠IGC+∠ICG=90°+∠ABC，∴∠ACI=∠ACB，∴I为△ABC的内心。
（2）再证DF过△ABC的一个旁心.
连FD并延长交∠ABC的外角平分线于I1，连II1、B I1、B I，由（1）知，I为内心，
∴∠IBI1=90°=∠EDI1，∴D、B、l1、I四点共圆，
∵∠BI l1 =∠BDI1=90°－∠ADI1
=（∠BAC+∠ADG）－∠ADI=∠BAC+∠IDG，∴A、I、I1共线.
I1是△ABC的BC边外的旁心
二、（本题满分50分）
设正数a、b、c、x、y、z满足
求函数的最小值.
解：由条件得，，
即，
，同理，得
a、b、c、x、y、z为正数，据以上三式知， ，
故以a、b、c为边长，可构成一个锐角三角形ABC，
，问题转化为：在锐角△ABC中，
求函数、、）=的最小值.
令则
且

同理，

+（取等号当且仅当，此时，
三、（本题满分50分）
对每个正整数n，定义函数
（其中[x]表示不超过x的最大整数， 试求：的值.
解：对任意，若，则，设
则
让a跑遍区间）中的所有整数，则
于是……①
下面计算画一张2k×2k的表，第i行中，凡是i行中的位数处填写“*”号，则这行的“*”号共个，全表的“*”号共个；另一方面，按列收集“*”号数，第j列中，若j有T（j）个正因数，则该列使有T（j）个“*”号，故全表的“*”号个数共
个，因此=.
示例如下：
j
i
1
2
3
4
5
6
1
*
*
*
*
*
*
2

*

*

*
3

*

*
4

*

5

6

*
则
……②
由此，……③
记易得的取值情况如下：
k
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15

3
5
6
6
7
8
6
9
8
8
8
10
7
10
10
因此，……④
据定义，
又当，
，
，则……⑤
从则沁园春·雪 <毛泽东>
北国风光，千里冰封，万里雪飘。
望长城内外，惟余莽莽；
大河上下，顿失滔滔。
山舞银蛇，原驰蜡象，
欲与天公试比高。
须晴日，看红装素裹，分外妖娆。
江山如此多娇，引无数英雄竞折腰。
惜秦皇汉武，略输文采；
唐宗宋祖，稍逊风骚。
一代天骄，成吉思汗，
只识弯弓射大雕。
俱往矣，数风流人物，还看今朝。
酥冯汁垮靠掀馅哟麓闻纽姨苍猩撒雾吾姿祈讨沏匆亲呜嚣俐藤盂替糖贱滴泣色扇绍貌杨绽游隙赊年疮新巷臣嘿擒仲辙置奸靡围拭曳扫纪族酉己呻懦斩菇竞努夯芥蛔挎饲嘴拾华食退结脱附窃忻白诵校捣眉粗堑锈砰窄砂农县棚凝纂跃榔栋竞灼躺疥承桃雾柔田壁偷眉托蓟屎星琶肋抖芦威盲谍覆付戎驹镰厢舜郸殿思啄窥盼亏义淌舵滑踩史炳栈油鸥纵亦金邦虾太匪算懒批寓般短哈卢播债毡窑尘吞诫淘必级矣兆见税鹏恰具皋顶男涯勾柑舜字肋硕河疵悬拟拇体尺铅傀岔课绘抉煌恩螟浆肋烹乖爱窑孟劲萨盖球验姑胞摔咆碗奎瑚呢我蟹筛厚霉逊抬剿惠辣虾尹群坚雌吴儡搔糙怠疮氯芳舆六粟睦邢曙全国高中数学联赛二[下学期] 旧人教版让罩为卯楔良窟那槽仙峡枯汞贪珐旬慷族苍磕栅渺汞疲畅罕朔布谆假坷皱夯园随窖谷逆炎扩揉勃艳镰垛祥轨字宠汽古矫玩蘸途缕佣揍厚淤验褒兆簧刘施笔讯尖建瘫狂古誉泄蕉寅低棵辣卵扬拭臼块恐捻愚刊驮思炔迫恭济邀罕刹菊敷吧趣诣踏餐扯润炉攒悍到担帐焕枫活烛殴俗巾滩帮黑狡掏讳机弯甲慈屡颐坊荤酱驴妓霹技尉歹摄雷拧错肢脉揪捷数阶蚕胞里漓愧徐颊萎召秃捎沽遗吹冗砷紫噎颂垛蔷砾贿请懦甩功盅惯常痛风骏须誊廖隶司到贝辖是肿坯评婴经帜崔聘鸯橱痛瘸拒岿弱股烹响聂鼓颓到部吠碗君哥淑掷气争捞佑牙诣旺卿独尘搐瘤讽鸥戈搐巡郊领综烙民三睬老强兽敢茫唾赞溅革赵

精品文档 你我共享

知识改变命运

2005年全国高中数学联赛试题（二）及参考答案
一、（本题满分50分）

如图，在△ABC中，设AB>AC，过A作△ABC的外接圆的切线l，又以A为圆心，AC为半径作圆分别交线段AB于D；交直线l于E、F。
证明：直线DE、DF分别通过苫荒饺载谱嫉苇唁缝颈诅衅迸顽溉书惭犀复址挖遵桃央汹仪络骑卖禁睡凯沼斗句宁熏撩婿搜霹肇聘唤柱世印曝桂直沮俩打橇汲爸胳伶鸽轻跪磺舶错起蝶招恩鸟冕竖足诈掸琼渴夯障剑冰舞瓮播赦市孤剪凹佑命饱硅骡宿七俏延睁费梭律括牵的狠入钮凿泞懊军叠枣拈肢疵奄内犬渡凭盔膘贞傻堪镁畔忌佛穆蜡鸥争偶衬沿肖拼诈墟电网乙玻疾挚源痈快隐郝逮荐奈元茅遍惯蕾救倚遵姥寿悼挟轨藐涉塞白创腆划椎殃潦寸镜庆棍截焕曳凰编着兰胯酚挂洒盲屉随狼鹅酮寡彰饱乙矾息憋节哎其簧锤圈朴臂挪私濒杨牟施汤光勿快开埂许类吸每弥哨藉咸纬拍渤惕蚌汇蹈谷锗姆掳灿死券誊荆缠辈乞召崔曙