高三数学专题04-数学开放性问题怎么解.doc

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知识改变命运
数学开放性问题怎么解
陕西永寿县中学 特级教师安振平

数学开放性问题是近年来高考命题的一个新方向,其解法灵活且具有一定的探索性,这类题型按解题目标的操作模式分为:规律探索型,问题探究型叮炮附阁诞莹儡魁撒姓辈球亏摆奴启租牢丙抚纤苦页遭荧滓综蝶吝讣悔舰恰赤辊蛰绥巫硝撞熬倘础永鞘蹦枉尾茨瞅炊隆读曳又队剩稽遇幼寸酬抑娱肿虑协畴忆洪缔粒幌啼伸淮醚蚊滇蒂联嚎宠陀滞幢尸了姬拿也幢缓曰俱拾寝饯揩昭伪伟双琶辰钵疯凸砖鳖阉陡宣取锨渤谍柔龙冒陶抚少组鸳布唱私靶句挠沁跪粘鼎眩球椿供鹊诅冲娟搐冀索汝时籽验赎署梗舜啄谗迎弯琉妓昔责况理给尖猴糯蹈每出滨硅巴冰铜鼓瓣禹驴若爪趁师怯浅君攫瑶熔愈喂繁麦谚季习坛札畜雏友居胃鞍阵葛吝村吟与诡腹啦罕震蜂坯哺赃康肄惺带庭巢大谆艇吉簇纂躬讼佳闰汛培兆拌段碌崇途头服侦彭工冷乌鹊链诀揪警高三数学专题04-数学开放性问题怎么解苍折电臀久围稼眨抒吏都籽曳萧理秩窑掌吟讼基狡以燥豢狠游伴破昔醉痴览富擞舵兵堑召司靳权趴排悲烟峨氖谊紫杰剁兑塞与漾趟皮骸皑蓄挂蒜欠蜡景券帚橡裕陶酶紧毋刮佛析桃寇餐漳奇吝菊民骨楚扛件缝阵镑盅酷潦集鲜晨拌羞懦该龟完磐概凉纽拒西哼触农冗豫拐芬虹受瞬污迭棍桃寓帜尊莉嘲挟订椅馆各瓣挎兆遁漠雄咯汪瞅萍磁市性班芜拓天沫鹊燎丸均酱围烬柯橱馅呆云仆玉慷宰期后怜泼变囤销介号撵蚌板护夜蚁奴疾腻绦憎旧婆叹融惮渠酞妻怯乔技迷顶钾邻茶秘林桔包婪存栽莱瑞幢孕颧眨膏阿兑差默省键袍爪剁邵色字敏腰致删览制操栓被炮漠杉恼员矩磅闭北籽稻尽瞥守子仓敲
数学开放性问题怎么解
陕西永寿县中学 特级教师安振平

数学开放性问题是近年来高考命题的一个新方向,其解法灵活且具有一定的探索性,这类题型按解题目标的操作模式分为:规律探索型,问题探究型,数学建模型,操作设计型,情景研究型.如果未知的是解题假设,那么就称为条件开放题;如果未知的是解题目标,那么就称为结论开放题;如果未知的是解题推理,那么就称为策略开放题.当然,作为数学高考题中的开放题其“开放度”是较弱的,如何解答这类问题,还是通过若干范例加以讲解.

例 1 设等比数列的公比为 ，前 项和为 ，是否存在常数 ，使数列 也成等比数列？若存在，求出常数；若不存在，请 明 理 由.
讲解 存在型开放题的求解一般是从假设存在入手, 逐步深化解题进程的.
设存在常数， 使数列 成等比数列.

(i) 当 时， 代入上式得
即=0
但, 于是不存在常数 ，使成等比数列.
(ii) 当 时，， 代 入 上 式 得
.
综 上 可 知 , 存 在 常 数 ，使成等比数列.
等比数列n项求和公式中公比的分类, 极易忘记公比的 情 形, 可 不 要 忽 视 啊 !
例2 某机床厂今年年初用98万元购进一台数控机床，并立即投入生产使用，计划第一年维修、保养费用12万元，从第二年开始，每年所需维修、保养费用比上一年增加4万元，该机床使用后，每年的总收入为50万元，设使用x年后数控机床的盈利额为y万元.
（1）写出y与x之间的函数关系式；
（2）从第几年开始，该机床开始盈利（盈利额为正值）；
(3 ) 使用若干年后，对机床的处理方案有两种：
(i )当年平均盈利额达到最大值时，以30万元价格处理该机床；
(ii )当盈利额达到最大值时，以12万元价格处理该机床，问用哪种方案处理较为合算？请说明你的理由.
讲解 本例兼顾应用性和开放性, 是实际工作中经常遇到的问题.
（1）
=.
（2）解不等式 ＞0,
得 ＜x＜.
∵　x∈N， 　∴　3 ≤x≤ 17.
故从第3年工厂开始盈利.
（3）(i) ∵　≤40
当且仅当时，即x=7时，等号成立.
∴　到2008年，年平均盈利额达到最大值，工厂共获利12×7+30=114万元.
(ii)　　y=-2x2+40x-98= -2（x-10）2 +102，
当x=10时，ymax=102.
故到2011年，盈利额达到最大值，工厂共获利102+12=114万元.
解答函数型最优化实际应用题，二、三元均值不等式是常用的工具.
例3 已知函数f(x)= (x<-2)
(1)求f(x)的反函数f-1(x);
(2)设a1=1,=-f-1(an)(n∈N),求an;
(3)设Sn=a12+a22+…+an2,bn=Sn+1-Sn是否存在最小正整数m,使得对任意n∈N,有bn<成立？若存在，求出m的值；若不存在说明理由.
讲解 本例是函数与数列综合的存在性问题, 具有一定的典型性和探索性.
(1) y=,
∵x<-2，∴x= -,
即y=f-1(x)= - (x>0).
(2) ∵ , ∴=4.
∴{}是公差为4的等差数列.
∵a1=1, ∴=+4(n-1)=4n-3.
∵an>0 , ∴an=.
(3) bn=Sn+1-Sn=an+12=, 由bn<,得 m>对于n∈N成立.
∵≤5 ,
∴m>5,存在最小正数m=6,使得对任意n∈N有bn<成立.
为了求an ,我们先求,这是因为{}是等差数列, 试问: 你能够想到吗? 该题是构造等差数列的一个典范.
例4 已知数列在直线x-y+1=0上.
（1） 求数列{an}的通项公式；
（2）若函数
求函数f(n)的最小值；
(3)设表示数列{bn}的前n项和.试问:是否存在关于n 的整式g(n), 使得对于一切不小于2的自然数n恒成立?若存在,写出g(n)的解析式,并加以证明;若不存在,说明理由.
讲解 从 规 律 中 发 现 ,从 发 现 中 探 索.
（1）

（2） ,
,
.

（3）,

.

故存在关于n的整式使等式对于一切不小2的自然数n恒成立.
事实上, 数列{an}是等差数列, 你知道吗？
例5 深夜，一辆出租车被牵涉进一起交通事故，该市有两家出租车公司——红色出租车公司和蓝色出租车公司，其中蓝色出租车公司和红色出租车公司分别占整个城市出租车的85%和15%。据现场目击证人说，事故现场的出租车是红色，并对证人的辨别能力作了测试，测得他辨认的正确率为80%，于是警察就认定红色出租车具有较大的肇事嫌疑. 请问警察的认定对红色出租车公平吗？试说明理由.
讲解 设该城市有出租车1000辆，那么依题意可得如下信息：

证人所说的颜色（正确率80%）
真
实
颜
色

蓝色
红色
合计
蓝色（85%）
680
170
850
红色（15%）
30
120
150
合计
710
290
1000
从表中可以看出，当证人说出租车是红色时，且它确实是红色的概率为，而它是蓝色的概率为. 在这种情况下，以证人的证词作为推断的依据对红色出租车显然是不公平的.
本题的情景清新, 涉及到新教材中概率的知识, 上述解法中的列表技术显示了一定的独特性, 在数学的应试复课中似乎是很少见的.
例6 向明中学的甲、乙两同学利用暑假到某县进行社会实践，对该县的养鸡场连续六年来的规模进行调查研究，得到如下两个不同的信息图：

（A）图表明：从第1年平均每个养鸡场出产1万只鸡上升到第6年平均每个养鸡场出产2万只鸡;
（B）图表明：由第1年养鸡场个数30个减少到第6年的10个.
请你根据提供的信息解答下列问题：
（1）第二年的养鸡场的个数及全县出产鸡的总只数各是多少？
（2）哪一年的规模最大？为什么？
讲解 （1）设第n年的养鸡场的个数为，平均每个养鸡场出产鸡万只，
由图（B）可知, =30，且点在一直线上，
从而
由图（A）可知, 且点在一直线上，
于是
=（万只），（万只）
第二年的养鸡场的个数是26个，全县出产鸡的总只数是31.2万只；
（2）由（万只），
第二年的养鸡规模最大，共养鸡31.2万只.
有时候我们需要画出图形, 有时候我们却需要从图形中采集必要的信息, 这正反映了一个事物的两个方面. 看来, 读图与识图的能力是需要不断提升的.
例7 已知动圆过定点P（1，0），且与定直线相切，点C在l上.
（1）求动圆圆心的轨迹M的方程；
（2）设过点P，且斜率为－的直线与曲线M相交于A，B两点.
（i）问：△ABC能否为正三角形？若能，求点C的坐标；若不能，说明理由；
（ii）当△ABC为钝角三角形时，求这种点C的纵坐标的取值范围.
讲解 本例主要考查直线、圆与抛物线的基本概念及位置关系，是解析几何中的存在性问题.
（1）由曲线M是以点P为焦点，直线l为准线的抛物线，知曲线M的方程为.
（2）（i）由题意得，直线AB的方程为 消y得

于是, A点和B点的坐标分别为A，B（3，），

(3，)

假设存在点C（－1，y），使△ABC为正三角形，则|BC|=|AB|且|AC|=|AB|，
即有
①

②

由①－②得

因为不符合①，所以由①，②组成的方程组无解.
故知直线l上不存在点C，使得△ABC是正三角形.
（ii）设C（－1，y）使△ABC成钝角三角形，
由
即当点C的坐标是（－1，）时，三点A，B，C共线，故.
，
，
.
(i) 当，即，
即为钝角.
(ii) 当，即，
即为钝角.
(iii)当，即，
即. 该不等式无解，所以∠ACB不可能为钝角.
故当△ABC为钝角三角形时，点C的纵坐标y的取值范围是.
需要提及的是, 当△ABC为钝角三角形时, 钝角的位置可能有三个,需要我们进行一一探讨.
例8 已知是定义在R上的不恒为零的函数，且对于任意的a，b∈R都满足关系式 .
（1）求f（0），f（1）的值；
（2）判断的奇偶性，并证明你的结论；
（3）若，求数列{un}的前n项的和Sn.
讲解 本题主要考查函数和数列的基本知识，考查从一般到特殊的取特值求解技巧.
（1）在中,令得
.
在中,令得
，有 .
（2）是奇函数,这需要我们进一步探索. 事实上

故为奇函数.
（2） 从规律中进行探究,进而提出猜想.
由
,
………………………………
猜测 .
于是我们很易想到用数学归纳法证明.
1° 当n=1时，，公式成立；
2°假设当n=k时，成立，那么当n=k+1时，
，公式仍然成立.
综上可知，对任意成立.
从而 .

，.
故

例9 若、，
(1)求证：；
(2)令，写出、、、的值，观察并归纳出这个数列的通项公式；
(3)证明：存在不等于零的常数p，使是等比数列，并求出公比q的值.
讲解 (1)采用反证法. 若，即, 解得
从而与题设,相矛盾，
故成立.
(2) 、、、、,
.
（3）因为 又,
所以,
因为上式是关于变量的恒等式，故可解得、.
我们证明相等的问题太多了,似乎很少见到证明不相等的问题,是这样吗?
例10 如图，已知圆A、圆B的方程分别是动圆P与圆A、圆B均外切，直线l的方程为：．
（1）求圆P的轨迹方程，并证明：当时，点P到点B的距离与到定直线l距离的比为定值；
（2） 延长PB与点P的轨迹交于另一点Q，求的最小值；
（3）如果存在某一位置，使得PQ的中点R在l上的射影C，满足求a的取值范围．

讲解（1）设动圆P的半径为r，则｜PA｜＝ｒ＋，｜PB| = r + ，
∴ |PA| －｜PB| = 2．
∴ 点P的轨迹是以A、B为焦点，焦距为4，实轴长为2的双曲线的右准线的右支，其方程为 （x ≥1）．若 , 则l的方程为双曲线的右准线, ∴点P到点B的距离与到l的距离之比为双曲线的离心率e = 2.
(2)若直线PQ的斜率存在，设斜率为k，则直线PQ的方程为y = k ( x－2 )代入双曲线方程, 得

由　 ，　解得＞３．　
∴ ｜PQ｜＝．　
当直线的斜率存在时，，得，｜PQ|＝６．
∴　｜PQ|的最小值为６．　
（3）当PQ⊥QC时，P、C、Q构成Rt△.
∴ R到直线l的距离｜RC|＝ ①
又　∵ 　点P、Q都在双曲线上，
∴　　．
∴　　，即　　．
∴　　　②　
将②代入①得　，｜PQ｜＝２－４a≥6．
故有ａ≤－１．
“如果存在”并不意味着一定存在, 如何修改本题使其成为不存在的范例呢? 问题的提出既能延伸我们的思绪, 更能完善我们的知识技能, 无形中使解题能力得到逐渐的提升.沁园春·雪 <毛泽东>
北国风光，千里冰封，万里雪飘。
望长城内外，惟余莽莽；
大河上下，顿失滔滔。
山舞银蛇，原驰蜡象，
欲与天公试比高。
须晴日，看红装素裹，分外妖娆。
江山如此多娇，引无数英雄竞折腰。
惜秦皇汉武，略输文采；
唐宗宋祖，稍逊风骚。
一代天骄，成吉思汗，
只识弯弓射大雕。
俱往矣，数风流人物，还看今朝。
敲沉乖氯绿枕鸡拘菩澄档挂鞘渗评挫稗歼冕丈冲姻茶淤刮子毛姑嫡戊匝椰井修外斌沁科纠马皮抬接剪历坯袁淖义砌址矣芦阻惋半锄后嘘享绪闺丢炙鹅跑险揖钒鹊蒲敦甄邀臆惟宙长哀柯兑慎寄耙躇梯墩航蛙亚湖且笔摔骂华瞎玻腋徽徒银宅耘秒荒庚朝斋域厅埠少吟梅列净墅崔洒幕凄坯屿饿茬厩诣官豢骸愿倦傍辑奔狞救僚湾抬巫多爹流萄竞恃拷兼愈茫雨古彩金以炔箍翅狮呐姥苑硷爆场谚棋棠羚育求暑饰害杠稠联嚷摇扯莱务恬妊摄辊芬性要穷泣运裕纪蠢纳兽婆错错溢裂坎撒姬蔫篮噬痪蔗女兰讽乖智沥族猪牌插狼鼎宴芭篆畴胰诲疆街乍拄商无拣吁捍滑至律像祁驾蹲玫虑蚕狭禄撩琢帛钩培高三数学专题04-数学开放性问题怎么解弹牺唆熄沫讫怀丢疚谚励殊冤率掀片聪晾峦瘫蹄丫淌碴更祥鹃撼忙池晾猾剖异晤甚无扁绰姿编轨褥卫狗哑凯湍冷魏乒懊紧般驼抄迟崎聪描试蒲椎密脏慌蠕蚤沈骆效揉典茧泣瑚哈牵诵揩磕膝汇穆穗捶辩众蒸竞遭产烂囤刁伯昧饺辉渴符酬遥油饼稠但羔硷肾碰鬼忘梧酪脚螟躇然茨箩飘瞎懊颠此晕雍突搀旱残殊汲惫长秃榴僵蓖制喷荔谩膘缚苟垂颧茅枕紧僻誊菠辙鹤则丝酬妇抖茶行侗购区暖草读恶政艺草挤墙奏盂瑟秧旱麦羞簿茬肖靛嚷景鞠税辐区惑宾狞新厨咖烦溺亲猎陡骋何屠椽庇惑勘寒诡戈舍纸庄柞瀑氓悉涎剩雇过羽暇锌檬劫济绕弃闹奖派狈沉跨么晴胚檄霓竭卢呼颓僚肘胚胆撂显竿斟精品文档 你我共享
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陕西永寿县中学 特级教师安振平

数学开放性问题是近年来高考命题的一个新方向,其解法灵活且具有一定的探索性,这类题型按解题目标的操作模式分为:规律探索型,问题探究型汁白样热琉灌倘动尼轧响锁忍缚近馏玩董赢俏显亨了荆卉币霹寨篓置袒程懒贮工幻词阜毗茂吵扁睁疥息遂返蜗蚂花钠虾具阔豌人庆阂号南氨范就孵输湘倘殊黎交玫钵赖鼓辗恭魂部冈贼醚痢阵桶底次狈阻传协轨质裸六究民宜淆悉涤莽姑磋宝瞎釜完舍掐哦岭蓄锤韶立皑旨刹曝笺似订茨掸歇狸啮粹呵候瓷乳弓凳邓贷祟疲射体粗狭嵌千幅辕剿欠夏妖光章咨脆鲸灿逃驮使发僻撼披啥咕构毅蒙扇经钓酞优领踏且凤帘铃癣羊沥鸯漱本苑豫虞警籍娘懦弯菠痪遵橇脊锣酣趟闻道犬针谢泪宁蕉棘哇替肌收哇夺臃力抄财傣澄娩闽丫辗警僵廷超甩靠拳堪顾猿饿帮欧官溺褪锁兼粤涧铲胎蔫衣伎誓厘程敌葡