第8章-互感与变压器-练习题及答案.docx

《电路分析基础（第二版）》马颖、李华编著 西安电子科技大学出版社

第8章 互感与变压器
习题答案
8-1 “耦合线圈的同名端只与两线圈的绕向及两线圈的相互位置有关，与线圈中电流的参考方向及电流的数值大小无关”这种观点对吗？为什么？
答：对的，这可以由耦合线圈的同名端的规定来理解：当电流分别从两线圈各自的某端同时流入（或流出）时，若两者产生的磁通相助，则成这两端称为耦合线圈的同名端。

8-2 试确定如图8-34所示耦合线圈的同名端。（试设各种不同情况的电流参考方向进行分析，结果是否相同？）

图8-34 习题8-2图
解：如图8-34所示，如果设电流从1、4端口进入，根据右手螺旋定则可判断两个耦合线圈的磁通方向相同及互助，所以端口1和4为同名端口，端口2和3也是同名端口。

8-3 有一互感线圈，L1 = 0.2H，L2 = 0.4H，M = 0.1H，求互感线圈顺向串联、反向串联、同侧并联，异侧并联的等效电感。（要求画出每种连接形式的电路图）
解：
（1）顺向串联= 0.8H （2）反向串联=0.4H

（3）同侧并联= 7/40 H （4）异侧并联= 7/80 H

8-4 试确定图8-35所示电路中耦合线圈的同名端。

(a) (b)
图8-35 习题8-4图
解：如图8-35(a)所示，如果设电流从标识的端口a（蓝色）、d（红色）进入，根据右手螺旋定则可判断两个耦合线圈的磁通方向相同及互助，所以端口a和d为同名端口是对的
如图8-35(b)所示，如果设电流从圆点标识的1（红色）、4（蓝色）端口进入，根据右手螺旋定则可判断左侧和中间的两个耦合线圈的磁通方向相同及互助，所以端口1和4为同名端口是对的。
如果设电流从圆点标识的1（红色）、6（绿色）端口进入，根据右手螺旋定则可判断左侧和右侧的两个耦合线圈的磁通方向相同及互助，所以端口1和6为同名端口是对的。
如果设电流从圆点标识的3（紫色）、6（绿色）端口进入，根据右手螺旋定则可判断右侧和中间的两个耦合线圈的磁通方向相同及互助，所以端口1和6为同名端口是对的。

8-5 如果在图8-36的线圈的1端输入正弦电流i=10sint A，方向如图所示，已知互感M = 0.01H，求u34。

图8-36 习题8-5图
解：根据题意，由右侧耦合线圈中的u34电压参考方向产生的自磁通，与左侧耦合线圈中的从1端口进入的交流电产生的互磁通方向相反，即磁通相消，由此得：u34 = L34 di3dt-Mdi1dt。
根据题意，右侧的线圈中没有电流即i3=0，所以u34 =-Mdi1dt =-0.01d(10sint)dt=－0.1cost V。

8-6 求图8-37所示电路的等效阻抗，信号源频率为ω。

(a) (b)
图8-37 习题8-6图
解：如图8-37(a)所示，L1与L2为反向串联所以等效L= L1+ L2－2M，电路的等效阻抗：
Z=jXL=jωL=jω(L1+ L2－2M)
如图8-37(b)所示，L1与L2为异侧并联,所以等效L=L1L2-M2L1+L2+2M，电路的等效阻抗：
Z=jXL=jωL=jω(L1L2-M2L1+L2+2M)

8-7 写出图8-38所示电路中各耦合电感的伏安特性表达式。

(a) (b) (c)
图8-38 习题8-7图
解：如图8-38(a)所示，L1与L2线圈的电压、电流参考方向都关联，两耦合线圈的自磁通与互磁通相消，有，。
如图8-38(b)所示，L2线圈的电压、电流参考方向非关联，所以i2实际方向与图示参考方向相反，两耦合线圈的自磁通与互磁通相消，有， u2=-L2di2dt-Mdi1dt。
如图8-38(c)所示，L1与L2线圈的电压、电流参考方向都关联，两耦合线圈的自磁通与互磁通相助，有，。

8-8 把两个线圈串联起来接到50Hz、220V的正弦电源上，顺接时电流为2.7A，吸收的功率为218.7W；反接时电流为7A。求互感M。
解：设两个线圈的电感分别为L1和L2,他们串联后可等效为一个理想电感L与一个电阻R串联电路。顺接时R=P/I2=218.7/2.72=30Ω，|Z|=U/I=220/2.7=81.48Ω，
所以XL= |Z|2-R2=81.482-302=75.67Ω，
得到 L= XL / ω=75.67/314= 0.241H，且L= L1+ L2+2M= 241mH（①式）
反接时|Z|=U/I=220/7=31.4Ω，所以XL’= |Z|2-R2=31.42-302=9.37Ω，
得到 L’= XL / ω=9.37/314=0.0298H，且L’= L1+ L2－2M=29.8mH（②式）
将①式减去②式可得到：4M=211.2mH，得到M=52.8mH。

8-9 电路如图8-39所示，已知两个线圈的参数为：R1 = R2 =100Ω，L1 = 3H，L2 = 10H，M = 5H，正弦电源的电压U = 220V，ω= 100rad/s。
（1）试求两个线圈端电压，并作出电路的相量图；
（2）证明两个耦合电感反接串联时不可能有L1 + L2－2M≤0；
（3）电路中串联多大的电容可使电路发生串联谐振。

图8-39 习题8-9图
解：（1）由于两个线圈是反串，故等效电感为：L= L1+ L2－2M=3+10－2×5=3H，
电路总阻抗为：Z=(R1+ R2)+jωL=200+j×100×3=200+j300 Ω，
令U=220∠0°V，故电流I=UR1+R2+jωL=220∠0°200+j300=0.61∠-56.31°A
线圈L1的分压为

线圈L2的分压为

电路的相量图如下：

（2）只要证明两个耦合电感反接串联时，有L1 + L2－2M≥0即可。证明如下：
因为(L1-L2)2≥0，故L1+L2-2L1L2≥0
即L1+L2≥2L1L2
又根据耦合因数k=ML1L2≤1，即M≤L1L2
所以L1+L2≥2M，或者L1+L2-2M≥0
（3）因为串联谐振的条件是：ωL=1/(ωC)，
所以C=1/(ω2L)= 1/(1002×3)=33.3μF。

8-10 如图8-40所示电路中M = 0.005H。求此串联电路的谐振频率。

图8-40 习题8-10图
解：该电路的耦合电感为顺向串联，所以其等效电感L= L1+ L2+2M=0.05+0.04+2×0.005=0.1H
故此串联电路的谐振频率为ω0=1LC=10.1×0.001=100rad/s
f0 =ω0/2π=15.92Hz。

8-11 如图8-41所示电路中的理想变压器的变比为10︰1。求电压。

图8-41 习题8-11图
解：由题意可知理想变压器的变压比n=10，根据公式U1U2=N1N2=n，故U2=U1n=10∠0°10=1∠0°V

8-12 电路如图8-42所示，试问ZL为何值时可获得最大功率？最大功率为多少？

图8-42 习题8-12图
解：去耦等效后的电路如下图示：

（1）将电路中的负载ZL开路，求左侧电路的等效阻抗Z0，如下图示:

Z0=(10+j8)//j2+j8=0.2+j9.8kΩ，
故ZL=Z0=0.2+j9.8kΩ时，可获得最大功率。
（2）将电路中的负载ZL开路，求开路电压Uoc：
Uoc=200∠0°×j210+j8+j2=202∠45°V
故，负载可获得的最大功率为Pmax=Uoc24R0=(202)24×0.2×103=1W

8-13 理想变压器如图8-43所示，已知，试求。

图8-43 习题8-13图
解：将副边阻抗折算到原边，则等效输入阻抗为Zin=n2ZL=22×1=4Ω，得到等效电路如下图示

由此原边线圈的电流为I1=1212+4×US12+(12//4)=1216×20∠0°12+3=1∠0°A
I1、I流入的不是同名端，因此I=nI1=4∠0°A

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