2014高三上学期数学理科期末试题带答案.docx

北京市石景山区2014届高三第一学期期末测试数学理试题 　　本试卷共6页，满分为150分，考试时间为120分钟.请务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效，考试结束后上交答题卡. 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．已知集合，，那么（ ） A． 　B． C． 　D． 2．复数（ ） A． B． C． D． 3．已知向量，，则“”是“∥”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 4．已知数列为等差数列，，那么数列通项公式为（ ） A． B． C． D． 5．执行如图所示的程序框图，若输入的的值为， 则输出的的值为（　　） A． B． C． D．
6． 在边长为的正方形中任取一点，则点恰好落在正方形与曲线围成的区域内(阴影部分)的概率为（ ） A． B． C． D．
7．用到这个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为（ ） A． B． C． D． 8．已知函数满足，当时，，若在区间上方程有两个不同的实根，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D．
第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题共6小题，每小题5分，共30分． 9．已知圆的参数方程为为参数，则圆的直角坐标方程为_______________，圆心到直线的距离为______． 10．在中，角的对边分别为，若，，，则______． 11． 若，满足约束条件则的最大值为 ． 12．如图，已知在中，，是上一点， 以为圆心，为半径的圆与交于点，与切 于点，，，则的长为 ， 的长为 ． 13．已知抛物线的焦点为，准线为直线，过抛物线上一点作于，若直线的倾斜角为，则______． 已知四边形是边长为的正方形，且平面，为上动点，过且垂直于的平面交于，那么异面直线与所成的角的度数为 ，当三棱锥的体积取得最大值时， 四棱锥的高的长为 ．
三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题满分13分） 　　已知函数． 　　（Ⅰ）求函数的单调递增区间； 　　（Ⅱ）求函数在上的最小值，并写出取最小值时相应的值．
16．（本小题满分13分） 　　北京市各级各类中小学每年都要进行“学生体质健康测试”，测试总成绩满分为分，规定测试成绩在之间为体质优秀；在之间为体质良好；在之间为体质合格；在之间为体质不合格． 现从某校高三年级的名学生中随机抽取名学生体质健康测试成绩，其茎叶图如下： 9 1 3 5 6 8 0 1 1 2 2 3 3 3 4 4 5 6 6 7 7 9 7 0 5 6 6 7 9 6 4 5 8 5 6 　　 　　（Ⅰ）试估计该校高三年级体质为优秀的学生人数； 　　（Ⅱ）根据以上名学生体质健康测试成绩，现采用分层抽样的方法，从体质为优秀和良好的学生中抽取名学生，再从这名学生中选出人． 　　（�。┣笤谘〕龅拿�学生中至少有名体质为优秀的概率； 　　（��）记为在选出的名学生中体质为良好的人数，求的分布列及数学期望．
17.（本小题满分14分） 　　如图，在四棱锥中，平面，底面是直角梯形， ，∥，且，，为的中点． 　　（Ⅰ）求证：平面； 　　（Ⅱ）求二面角的余弦值； 　　（Ⅲ）在线段上是否存在一点（不与两点重合），使得∥平面?若存在，求出的长；若不存在，请说明理由．
18．（本小题满分13分） 　　已知函数（为自然对数的底数）. 　　（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程； 　　（Ⅱ）求函数的单调区间； 　　（Ⅲ）已知函数在处取得极小值，不等式的解集为，若，且，求实数的取值范围.
19．（本小题满分14分） 　　已知椭圆：（）过点，且椭圆的离心率为. 　　（Ⅰ）求椭圆的方程； 　　（Ⅱ）若动点在直线上，过作直线交椭圆于两点，且，再过作直线.证明：直线恒过定点，并求出该定点的坐标. 20．（本小题满分13分） 　　已知集合，对于数列中. 　　（Ⅰ）若项数列满足，，则数列中有多少项取值为零？() 　　（Ⅱ）若各项非零数列和新数列满足（）． 　　（�。┤羰紫睿�末项，求证数列是等差数列； （��）若首项，末项，记数列的前项和为，求的最大值和最小值．
石景山区2013―2014学年第一学期期末考试 高三数学（理科）参考答案
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分． 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D C A A C B B D
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分． 题号 9 10 11 12 13 14 答案 ， ，
(两空的题目第一空2分，第二空3分)
三、解答题共6小题，共80分． 15．（本小题共13分） 　　解：（Ⅰ） …………2分 　　 ， ……………4分 　　 ，， ，， ………6分 　　所以函数的单调递增区间为． ……………7分 　　（Ⅱ）因为，， ……………9分 　　　　　　， ， ……………11分 　　 所以当，即时，函数取得最小值．………13分 16．（本小题共13分） 解：（Ⅰ）根据抽样，估计该校高三学生中体质为优秀的学生人数有人．…………3分 　（Ⅱ）依题意，体质为良好和优秀的学生人数之比为 ． 所以，从体质为良好的学生中抽取的人数为，从体质为优秀的学生中抽取的人数为．…6分 　　　（�。┥琛霸谘〕龅拿�学生中至少有名体质为优秀”为事件， 　　　则 ． 故在选出的名学生中至少有名体质为优秀的概率为．……9分 　　　（��）解：随机变量的所有取值为．， ，． …………12分 　　　所以，随机变量的分布列为: 　 　 　 　 　　　． ……………13分 17．（本小题共14分） （Ⅰ）证明： 　　　因为平面，平面， 　　　所以. ……………1分 　　　取的中点，连结， 　　　因为底面为直角梯形，∥，，且， 　　　所以四边形为正方形，所以，且， 　　　所以，即. ……………3分 　　　又，所以平面. ……………4分 （Ⅱ）解：如图，以为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系．………5分 　　　则，，，， 　　　所以，，． 　　　因为平面，所以为平面的一个法向量． ……6分 　 设平面的法向量为， 　 由，得 　 令，则，， 　 所以是平面的一个法向量． ………8分 　 所以 　 因为二面角为锐角， 所以二面角的余弦值为． ………9分 （Ⅲ）解：假设在线段上存在点（不与两点重合），使得∥平面． 设，则，． 设平面的法向量为， 　　　由，得 　　　令，则，， 所以是平面的一个法向量．…12分 　　　因为∥平面，所以，即， ……………13分 　　　解得， 　　　所以在线段上存在一点（不与两点重合），使得∥平面，且．……14分 18.（本小题共13分） 解：（Ⅰ）当时，，，，得，………2分 　　所以曲线在点处的切线方程为. ……………3分 　　（Ⅱ）. 　　当时，恒成立，此时的单调递增区间为，无单调递减区间；………5分 　　当时，时，，时，， 　　此时的单调递增区间为，单调递减区间为.……7分 （Ⅲ）由题意知得，经检验此时在处取得极小值. ………8分 　　因为，所以在上有解，即使成立，…9分 　　即使成立， …………10分 　　所以. 　　令，，所以在上单调递减，在上单调递增， 　　则， ……………12分 所以. ……………13分 19．（本小题共14分） 解：（Ⅰ）因为点在椭圆上，所以， 所以， …………1分 因为椭圆的离心率为， 所以，即 ， …………2分 解得， ……………4分 所以椭圆的方程为. ……………5分 　　 （Ⅱ）设，， 　　 ①当直线的斜率存在时，设直线的方程为，，， 　　 由得， ………7分 　　　　所以， ……………8分 　　　　因为，即为中点，所以，即. 　　 所以， ……………9分 　　 因为直线， 所以，所以直线的方程为， 　　　　即 ，显然直线恒过定点. ……………11分 　　　　②当直线的斜率不存在时，直线的方程为， 　　　　此时直线为轴，也过点. ……………13分 　　　　综上所述直线恒过定点. ……………14分 20．（本小题共13分） 　　解：（Ⅰ）设数列中项为分别有项．由题意知 　　解得．所以数列中有项取值为零． ……3分 　　（Ⅱ） 　　（�。┣遥�得到， 　　若，则满足．此时，数列是等差数列； 　　若中有个，则不满足题意； 　　所以数列是等差数列． ……………7分 　　（��）因为数列满足，所以， 　　根据题意有末项，所以． 　　而，于是为正奇数，且中有个和个． 　　要求的最大值，则只需前项取，后项取， 　　所以 （为正奇数）． 　　要求的最小值，则只需前项取，后项取， 　　则 （为正奇数）． …………13分

20 × 20