北京高二下数学22理科导数大题综合.doc

高二数学（选修2-2）理科
第一章 导数及其应用
导数研究函数性质综合应用
1、设函数，若对于任意的都有成立，则实数的值为_______________。

2、设函数.
（Ⅰ）若曲线在点处与直线相切，求的值；
（Ⅱ）求函数的单调区间与极值点.

3、已知函数．
（Ⅰ）求函数在点处的切线方程；
（Ⅱ）求函数的单调区间和极值．

4、已知函数，.
（Ⅰ）若曲线在点处的切线垂直于直线，求的值；
（Ⅱ）求函数在区间上的最小值.

5、已知函数
（Ⅰ）若，求函数的极值和单调区间；
（Ⅱ）若在区间上至少存在一点，使得成立，求实数的取值范围.

6、设函数.
（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）求函数单调区间.

7、已知函数.
（Ⅰ）求的单调区间；
（Ⅱ）是否存在实数，使得函数的极大值等于？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.

8、已知函数．
（Ⅰ）当时，求函数的单调递减区间；
（Ⅱ）求函数的极值；
（Ⅲ）若函数在区间上恰有两个零点，求的取值范围．

9、已知函数．
（Ⅰ）若，求曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）求函数的单调区间；
（Ⅲ）设函数．若至少存在一个，使得成立，求实数的取值范围．

10、已知函数是常数．
（Ⅰ）求函数的图象在点处的切线的方程；
（Ⅱ）证明函数的图象在直线的下方；
（Ⅲ）讨论函数零点的个数．

导数研究函数性质综合应用（中档~较难）
参考答案
1、4
解：若x＝0，则不论取何值，≥0显然成立；
当x＞0 即时，≥0可化为，
设，则，
所以 在区间上单调递增，在区间上单调递减，
因此，从而≥4；
当x＜0 即时，≥0可化为，

在区间上单调递增，因此，从而≤4。
综上＝4
2、解：（Ⅰ）,
∵曲线在点处与直线相切，
∴
（Ⅱ）∵,
当时，，函数在上单调递增，
此时函数没有极值点.
当时，由，
当时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增，
∴此时是的极大值点，是的极小值点.
3、解：（Ⅰ）, ,
所以函数在点处的切线方程为
（Ⅱ）函数的定义域为
令,得 解得：
①当时,
列表：

(-1,0)
0

+
0
-
0
+

↗
极大
↘
极小
↗
可知的单调减区间是，增区间是(-1,0)和；
极大值为,极小值为
②当时,
列表：

0

+
0
-
0
+

↗
极大
↘
极小
↗
可知的单调减区间是，增区间是和；
极大值为,极小值为
③当时, ，可知函数在上单增, 无极值
4、解：（Ⅰ）直线的斜率为1.
函数的导数为，
则，所以.
（Ⅱ），.
①当时，在区间上，
此时在区间上单调递减，
则在区间上的最小值为.
②当，即时，在区间上，
此时在区间上单调递减，
则在区间上的最小值为.
③当，即时，在区间上，
此时在区间上单调递减；
在区间上，
此时在区间上单调递增；
则在区间上的最小值为.
④ 当，即时，在区间上，
此时在区间上为单调递减，
则在区间上的最小值为.
综上所述，当时，在区间上的最小值为；当 时，在区间上的最小值为.
5、解：（I）因为 ，
当， ， 令，得 ，
又的定义域为，
，随的变化情况如下表：

0

极小值

所以时，的极小值为1 .
的单调递增区间为，单调递减区间为；
（II）解法一：
因为 ，且，令，得到 ，
若在区间上存在一点，使得成立，
其充要条件是在区间上的最小值小于0即可.
（1）当，即时，对成立，
所以，在区间上单调递减，
故在区间上的最小值为，
由，得，即
（2）当，即时，
① 若，则对成立，
所以在区间上单调递减，
所以，在区间上的最小值为，
显然，在区间上的最小值小于0不成立
② 若，即时，则有

极小值

所以在区间上的最小值为，
由，
得 ，解得，即.
综上，由(1)（2）可知：符合题意.
解法二：若在区间上存在一点，使得成立， 即，
因为, 所以，只需 ，令，
只要在区间上的最小值小于0即可
因为，令，得
（1）当时：

极大值

因为时，，而，
只要，得，即
（2）当时：

极小值

所以，当 时，极小值即最小值为，
由， 得 ，即.
综上，由(1)（2）可知，有 .
6、解：因为所以.
（Ⅰ）当时, ,,
所以 .
所以曲线在点处的切线方程为.
（Ⅱ）因为，
（1）当时,由得；由得.
所以函数在区间单调递增, 在区间单调递减.
（2）当时, 设，
方程的判别式
①当时，此时.
由得,或；
由得.
所以函数单调递增区间是和,
单调递减区间.
②当时，此时.所以，
所以函数单调递增区间是.
③当时，此时.
由得；
由得,或.
所以当时,
函数单调递减区间是和,
单调递增区间.
④当时, 此时，，
所以函数单调递减区间是.
7、解：（Ⅰ）的定义域为.
，
即 .
令，解得：或.
当时，，
故的单调递增区间是.
当时，
，随的变化情况如下：

极大值

极小值

所以函数单调递增区间是和，单调递减区间是.
当时，
，随的变化情况如下：

极大值

极小值

所以函数单调递增区间是和，单调递减区间是.
（Ⅱ）当时，的极大值等于. 理由如下：
当时，无极大值.
当时，的极大值为，
令，即
解得 或（舍）.
当时，的极大值为.
因为 ，，
所以 .因为 ，
所以 的极大值不可能等于.
综上所述，当时，的极大值等于.
8、解：（I）依题意，函数的定义域为，
当时，，
由得，即
解得或，
又，
的单调递减区间为．
（II），
（1）时，恒成立，在上单调递增，无极值.
（2）时，由于
所以在上单调递增，在上单调递减，
从而．
（III）由（II）问显然可知，
当时，在区间上为增函数，
在区间不可能恰有两个零点．
当时，由（II）问知，
又，为的一个零点．
若在恰有两个零点，只需
即
9、解：函数的定义域为，．
（Ⅰ）当时，函数，，．
所以曲线在点处的切线方程为，
即．
（Ⅱ）函数的定义域为．
（1）当时，在上恒成立，
则在上恒成立，此时在上单调递减．
（2）当时，，
（ⅰ）若，
由，即，得或；
由，即，得．
所以函数的单调递增区间为和，
单调递减区间为．
（ⅱ）若，在上恒成立，则在上恒成立，此时 在上单调递增．
（Ⅲ）因为存在一个使得，
则，等价于
令，等价于“当 时，”.
对求导，得.
因为当时，，所以在上单调递增
所以，因此.
另解：设，定义域为，
.
依题意，至少存在一个，使得成立，
等价于当 时，.
（1）当时，
在恒成立，所以在单调递减，只要，则不满足题意.
（2）当时，令得.
（ⅰ）当，即时，
在上，所以在上单调递增，
所以，由得，，所以.
（ⅱ）当，即时，
在上，所以在单调递减，
所以，由得
（ⅲ）当，即时，
在上，在上，
所以在单调递减，在单调递增，
，等价于或，解得，所以，.
综上所述，实数的取值范围为.
10、（Ⅰ）
，，所以切线的方程为，
即．
（Ⅱ）令

↗
最大值
↘
，所以且，，，
即函数的图像在直线的下方．
（Ⅲ）令， .
令 ，，
则在上单调递增，在上单调递减，
当时，的最大值为.
所以若，则无零点；若有零点，则．
若，，由（Ⅰ）知有且仅有一个零点.
若，单调递增，由幂函数与对数函数单调性比较，知有且仅有一个零点（或：直线与曲线有一个交点）.
若，解得，由函数的单调性得知在处取最大值，，由幂函数与对数函数单调性比较知，当充分大时，即在单调递减区间有且仅有一个零点；又因为，所以在单调递增区间有且仅有一个零点.
综上所述，当时，无零点；
当或时，有且仅有一个零点；
当时，有两个零点.