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2018高三数学（理）第一次模拟考试题（东北三省三校有答案） 哈尔滨师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学 2018年高三第一次联合模拟考试 理科数学试卷 第Ⅰ卷（共60分） 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.复数 的模为( ) A. B. C. D. 2.已知集合 ， ，若 ，则实数 的取值范围是( ) A. B. C. D. 3.从标有1、2、3、4、5的五张卡片中，依次抽出2张，则在第一次抽到奇数的情况下，第二次抽到偶数的概率为( ) A. B. C. D. 4.已知 ，则 ( ) A. B. C. D. 5.中心在原点，焦点在 轴上的双曲线的一条渐近线经过点 ，则它的离心率为( ) A. B.2 C. D. 6. 展开式中的常数项是( ) A. B. C.8 D. 7.某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则正视图中的 的值是( ) A. B. C.1 D.3 8.已知函数 的图象的相邻两条对称轴之间的距离是 ，则该函数的一个单调增区间为( ) A. B. C. D. 9.辗转相除法是欧几里德算法的核心思想，如图所示的程序框图所描述的算法就是辗转相除法，若输入 ， ，则输出 的值为( ) A.148 B.37 C.333 D.0 10.底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面中心的棱锥叫做正棱锥.如图，半球内有一内接正四棱锥 ，该四棱锥的侧面积为 ，则该半球的体积为( ) A. B. C. D. 11.已知抛物线 ，直线 与抛物线 交于 ， 两点，若以 为直径的圆与 轴相切，则 的值是( ) A. B. C. D. 12.在 ， ， ， 是边 上的两个动点，且 ，则 的取值范围为( ) A. B. C. D. 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13.在 中， ， ， ，则 ______________. 14.若 满足约束条件 ，则 的最大值为______________. 15.甲、乙、丙三位教师分别在哈尔滨、长春、沈阳的三所中学里教不同的学科 、 、 ，已知： ①甲不在哈尔滨工作，乙不在长春工作；②在哈尔滨工作的教师不教 学科； ③在长春工作的教师教 学科；④乙不教 学科. 可以判断乙教的学科是______________. 16.已知函数 ， 是函数 的极值点，给出以下几个命题： ① ；② ；③ ；④ ； 其中正确的命题是______________.(填出所有正确命题的序号) 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.已知正项数列 满足： ，其中 为数列 的前 项和. (1)求数列 的通项公式； (2)设 ，求数列 的前 项和 . 18.某商场按月订购一种家用电暖气，每销售一台获利润200元，未销售的产品返回厂家，每台亏损50元，根据往年的经验，每天的需求量与当天的最低气温有关，如果最低气温位于区间 ，需求量为100台；最低气温位于区间 ，需求量为200台；最低气温位于区间 ，需求量为300台。公司销售部为了确定11月份的订购计划，统计了前三年11月份各天的最低气温数据，得到下面的频数分布表： 最低气温(℃)
天数 11 25 36 16 2 以最低气温位于各区间的频率代替最低气温位于该区间的概率. (1) 求11月份这种电暖气每日需求量 (单位：台)的分布列； (2) 若公司销售部以每日销售利润 (单位：元)的数学期望为决策依据，计划11月份每日订购200台或250台，两者之中选其一，应选哪个？ 19.如图，四棱锥 中，平面 平面 ，且 ，底面 为矩形，点 、 、 分别为线段 、 、 的中点， 是 上的一点， .直线 与平面 所成的角为 . (1)证明： 平面 ； (2)设 ，求二面角 的余弦值. 20.已知椭圆 过抛物线 的焦点 ， ， 分别是椭圆 的左、右焦点，且 . (1)求椭圆 的标准方程； (2)若直线 与抛物线 相切，且与椭圆 交于 ， 两点，求 面积的最大值. 21.已知函数 ， ， . (1)当 时，若对任意 均有 成立，求实数 的取值范围； (2)设直线 与曲线 和曲线 相切，切点分别为 ， ，其中 . ①求证： ； ②当 时，关于 的不等式 恒成立，求实数 的取值范围. 22.已知曲线 的极坐标方程为： ，以极点为坐标原点，以极轴为 轴的正半轴建立直角坐标系，曲线 的参数方程为： ( 为参数)，点 . (1)求出曲线 的直角坐标方程和曲线 的普通方程； (2)设曲线 与曲线 相交于 ， 两点，求 的值. 23.已知不等式 . (1)当 时，求不等式的解集； (2)若不等式的解集为 ，求 的范围.

2018年三省三校一模考试（数学理科）答案 一．选择题：CABBA BDABD CA 二．填空题： 13.1 14. 15.C 16. ①③ 三．解答题： 17. （本题满分12分） 解：（Ⅰ）令 ，得 ，且 ，解得 . 当 时， ，即 ， 整理得 ， ， ， 所以数列 是首项为3，公差为2的等差数列， 故 . （Ⅱ）由（Ⅰ）知： ， .
18．（本题满分12分） 解：（1）由已知X的可能取值为100,200,300 X的分布列为 X 100 200 300 P 0.2 0.4 0.4 （2） 由已知 ①当订购200台时， E( (元) ② 当订购250台时， E( （元） 综上所求，当订购 台时，Y的数学期望最大，11月每日应订购250台。
19．（本题满分12分） .解：（Ⅰ）取 中点 ，连接 ，交 于点 ，连接 ，则 . 因为平面 平面 ，所以 平面 ， ， . 方法一：因为 ， ，所以 ，所以 . 又 ， ，所以 ，所以 ∽ ， 所以 ，所以 .且 ，所以 平面 . 方法二：取 中点 ，连接 ，交 于点 ,连接 ，则 . 因为平面 平面 ，所以 平面 ， ， . 又因为 ， ，所以 ，所以 . 以 点为原点，射线 、 、 方向为 轴、 轴、 轴，建立空间直角坐标系 . 设 ， ，则 ， ， ， ， 于是 , . 所以 ，所以 ，且 ，所以 平面 （Ⅱ）取 中点 ，连接 ，交 于点 ，连接 ，则 . 因为平面 平面 ，所以 平面 ， ， . 以 点为原点，射线 、 、 方向为 轴、 轴、 轴的正方向， 建立空间直角坐标系 . 设 ，则 ， ， ， ， ， 于是 ， ， . 设平面 的一个法向量为 ，则 ， 从而 ，令 ,得 . 而平面 的一个法向量为 . 所以 20．（本题满分12分） .解: （Ⅰ） ，又 ， .又 ， 椭圆 的标准方程为 . （Ⅱ）设直线 与抛物线相切于点 ，则 ，即 ， 联立直线与椭圆 ，消去 ，整理得 . 由 ，得 . 设 ，则： . 则
原点 到直线 的距离 .
故 面积 ， 当且仅当 ，即 取等号， 故 面积的最大值为1. 21．（本题满分12分） 解（Ⅰ）:当 时： 由 知： 依题意： 对 恒成立 设 当 时 ；当 时 ， 设 当 时 ；当 时 ， 故：实数k的取值范围是 （Ⅱ）由已知： ， ①：由 得： 由 得： 故 ， ， ，故： ②：由①知： ， 且 由 得： ， 设 在 为减函数， 由 得： 又 22.解：（本小题满分10分） （Ⅰ） 的直角坐标方程为: 的普通方程为 （Ⅱ）将 得： 由 的几何意义可得： 23．（本小题满分10分） （Ⅰ）当 时：不等式为: 等价于：: 解得：: 所以：不等式的解集为: （Ⅱ）设函数 = 设函数 过定点（0，-1） 画出 的图像，
由数形结合得 的范围是
2018年三省三校一模考试（数学理科）答案 一．选择题：CABBA BDABD CA 二．填空题： 13.1 14. 15.C 16. ①③ 三．解答题： 17. （本题满分12分） 解：（Ⅰ）令 ，得 ，且 ，解得 . ……1分 当 时， ，即 ， 整理得 ， ， ， ……4分 所以数列 是首项为3，公差为2的等差数列， 故 . …….6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知： ， ……9分 . ……12分
18．（本题满分12分） 解：（1）由已知X的可能取值为100,200,300 X的分布列为 X 100 200 300 P 0.2 0.4 0.4 …….4分
（2） 由已知 ①当订购200台时， E( (元) …….7分
② 当订购250台时， E( （元） …….11分
综上所求，当订购 台时，Y的数学期望最大，11月每日应订购250台。 …….12分
19．（本题满分12分） .解：（Ⅰ）取 中点 ，连接 ，交 于点 ，连接 ，则 . 因为平面 平面 ，所以 平面 ， ， . 方法一：因为 ， ，所以 ，所以 . 又 ， ，所以 ，所以 ∽ ， 所以 ，所以 .且 ，所以 平面 . 方法二：取 中点 ，连接 ，交 于点 ,连接 ，则 . 因为平面 平面 ，所以 平面 ， ， . 又因为 ， ，所以 ，所以 . 以 点为原点，射线 、 、 方向为 轴、 轴、 轴，建立空间直角坐标系 . 设 ， ，则 ， ， ， ， 于是 , . 所以 ，所以 ，且 ，所以 平面 ……6分. （Ⅱ）取 中点 ，连接 ，交 于点 ，连接 ，则 . 因为平面 平面 ，所以 平面 ，
， . 以 点为原点，射线 、 、 方向为 轴、 轴、 轴的正方向， 建立空间直角坐标系 . 设 ，则 ， ， ， ， ， 于是 ， ， . ……8分. 设平面 的一个法向量为 ，则 ， 从而 ，令 ,得 . 而平面 的一个法向量为 . ……10分. 所以 ……12分.
20．（本题满分12分） .解: （Ⅰ） ，又 ， .又 ， 椭圆 的标准方程为 . ……3分 （Ⅱ）设直线 与抛物线相切于点 ，则 ，即 ， 联立直线与椭圆 ，消去 ，整理得 . 由 ，得 . 设 ，则： . ……6分 则 ……8分
原点 到直线 的距离 . ……9分
故 面积 ， 当且仅当 ，即 取等号， 故 面积的最大值为1. ……12分
21．（本题满分12分） 解（Ⅰ）:当 时： 由 知： 依题意： 对 恒成立 ……1分
设 当 时 ；当 时 ， ……3分
设 ……5分
当 时 ；当 时 ，
故：实数k的取值范围是 ……6分 （Ⅱ）由已知： ， ①：由 得： 由 得： 故 ……8分
， ， ，故： ……9分 ②：由①知： ， 且 由 得： ， 设 在 为减函数， ……11分 由 得： 又 ……12分 22.解：（本小题满分10分） （Ⅰ） 的直角坐标方程为: ……3分
的普通方程为 ……5分
（Ⅱ）将 得： ……8分
由 的几何意义可得： ……10分
23．（本小题满分10分） （Ⅰ）当 时：不等式为: 等价于：: ……3分
解得：: 所以：不等式的解集为: ……5分
（Ⅱ）设函数 =
设函数 过定点（0，-1） ……7分 画出 的图像， ……8分
由数形结合得 的范围是 ……10分

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