2014江苏扬州高二数学第二学期期末试题带答案理科.docx

2014江苏扬州高二数学第二学期期末试题（带答案理科） （全卷满分160分，考试时间120分钟） 注意事项：
1． 答卷前，请考生务必将自己的学校、姓名、考试号等信息填写在答卷规定的地方．
2．试题答案均写在答题卷相应位置，答在其它地方无效．
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应位置）
1．设集合 ,集合 ,则 ▲ ． 2． 为虚数单位，复数 = ▲ ． 3．函数 的定义域为 ▲ ． 4．“ ”是“函数 为奇函数”的 ▲ 条件． （从“充要”，“充分不必要”，“必要不充分”，“既不充分也不必要”中选择适当的填写） 5．函数 在 处的切线的斜率为 ▲ ． 6．若tan + =4则sin2 = ▲ ． 7．某工厂将4名新招聘员工分配至三个不同的车间，每个车间至少分配一名员工，甲、乙 两名员工必须分配至同一车间，则不同的分配方法总数为 ▲ （用数字作答）． 8．函数 的值域为 ▲ ． 9．已知 ， 则 ▲ ． 10．已知函数 的图象与函数 的图象恰有两个交点， 则实数 的取值范围是 ▲ ．
11．已知函数 是定义在 上的单调增函数，且对于一切实数x，不等式 恒成立，则实数b的取值范围是 ▲ ． 12．设 是 的两个非空子集，如果存在一个从 到 的函数 满足： (i) ；(ii)对任意 ，当 时，恒有 ． 那么称这两个集合“保序同构”．现给出以下4对集合： ① ； ② ； ③ ； ④ 其中，“保序同构”的集合对的对应的序号是 ▲ 　(写出所有“保序同构”的集合对的对应的序号)． 13．已知定义在 上的奇函数 在 时满足 ，且 在 恒成立，则实数 的最大值是　　▲　　． 14．若关于 的不等式 的解集中的正整数解有且只有3个， 则实数 的取值范围是 ▲　． 二、解答题（本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（本小题满分14分） 已知 ，命题 ，命题 ． ⑴若命题 为真命题，求实数 的取值范围； ⑵若命题 为真命题，命题 为假命题，求实数 的取值范围．

16．（本小题满分14分） 已知函数 的最小正周期为 ． ⑴求函数 的对称轴方程； ⑵设 ， ，求 的值．
17．（本小题满分14分） 已知 的展开式的二项式系数之和为 ，且展开式中含 项的系数为 ． ⑴求 的值； ⑵求 展开式中含 项的系数．

18．（本小题满分16分） 如图，某市新体育公园的中心广场平面图如图所示，在y轴左侧的观光道曲线段是函数 ， 时的图象且最高点B（-1，4），在y轴右侧的曲线段是以CO为直径的半圆弧． ⑴试确定A， 和 的值； ⑵现要在右侧的半圆中修建一条步行道CDO（单位：米），在点C与半圆弧上的一点D之间设计为直线段（造价为2万元/米），从D到点O之间设计为沿半圆弧的弧形（造价为1万元/米）．设 (弧度)，试用 来表示修建步行道的造价预算，并求造价预算的最大值？（注：只考虑步行道的长度，不考虑步行道的宽度）

19．（本小题满分16分） 已知函数 （ 为实数， ）， ． ⑴若 ，且函数 的值域为 ，求 的表达式； ⑵设 ，且函数 为偶函数，判断 是否大0？ ⑶设 ，当 时，证明：对任意实数 ， (其中 是 的导函数) ．

20．（本小题满分16分） 已知函数 ，函数 ． ⑴当 时，函数 的图象与函数 的图象有公共点，求实数 的最大值； ⑵当 时，试判断函数 的图象与函数 的图象的公共点的个数； ⑶函数 的图象能否恒在函数 的上方？若能，求出 的取值范围；若不能，请说明理由．

2013-2014学年度第二学期高二期末调研测试 数 学 （理科附加题） （全卷满分40分，考试时间30分钟） 2014．6 21．（本小题满分10分） 一个口袋中装有大小形状完全相同的红色球 个、黄色球 个、蓝色球 个．现进行从口袋中摸球的游戏：摸到红球得 分、摸到黄球得 分、摸到蓝球得 分．若从这个口袋中随机地摸出 个球，恰有一个是黄色球的概率是 ． ⑴求 的值； ⑵从口袋中随机摸出 个球，设 表示所摸 球的得分之和，求 的分布列和数学期望 ． 22．（本小题满分10分） 已知函数 在 上是增函数． ⑴求实数 的取值范围 ； ⑵当 为 中最小值时，定义数列 满足： ，且 ， 用数学归纳法证明 ，并判断 与 的大小． 23．（本小题满分10分） 如图，在三棱柱 中， 平面 ， ， 为棱 上的动点， ． ⑴当 为 的中点，求直线 与平面 所成角的正弦值； ⑵当 的值为多少时，二面角 的大小是45 ． 24．（本小题满分10分） 已知数列 为 ， 表示 ， ． ⑴若数列 为等比数列 ，求 ； ⑵若数列 为等差数列 ，求 ． 2014年6月高二期末调研测试 理 科 数 学 试 题 参 考 答 案 一、填空题： 1． 　 2． 3． 4．充分不必要 5．e 6． 7．6 8． 9． 10． 11． 12．②③④ 13． 14． 二、解答题： 15⑴因为命题 ， 令 ，根据题意，只要 时， 即可， ……4分 也就是 ； ……7分 ⑵由⑴可知，当命题p为真命题时， ， 命题q为真命题时， ，解得 ……11分 因为命题 为真命题，命题 为假命题，所以命题p与命题q一真一假， 当命题p为真，命题q为假时， ， 当命题p为假，命题q为真时， ， 综上： 或 ． ……14分 16⑴由条件可知， ， ……4分 则由 为所求对称轴方程； ……7分 ⑵ ， 因为 ，所以 ， ，因为 ，所以 … …11分 ． ……14分 17⑴由题意， ，则 ； ……3分 由通项 ，则 ，所以 ，所以 ；…7分 ⑵即求 展开式中含 项的系数， ， ……11分 所以展开式中含 项的系数为 ． ……14分 18⑴因为最高点B（-1，4），所以A=4； 又 ，所以 ， 因为 ……5分 代入点B（-1，4）， ， 又 ； ……8分 ⑵由⑴可知： ，得点C 即 ， 取CO中点F，连结DF，因为弧CD为半圆弧，所以 ， 即 ，则圆弧段 造价预算为 万元， 中， ，则直线段CD造价预算为 万元， 所以步行道造价预算 ， ． ……13分 由 得当 时， ， 当 时， ，即 在 上单调递增； 当 时， ，即 在 上单调递减 所以 在 时取极大值，也即造价预算最大值为（ ）万元．……16分 19⑴因为 ，所以 ， 因为 的值域为 ，所以 ， ……3分 所以 ，所以 ， 所以 ； ……5分 ⑵因为 是偶函数，所以 ， 又 ，所以 ， ……8分 因为 ，不妨设 ，则 ，又 ，所以 ， 此时 ， 所以 ； ……10分 ⑶因为 ，所以 ，又 ，则 ， 因为 ，所以 则原不等式证明等价于证明“对任意实数 ， ” ， 即 . ……12分 先研究 ，再研究 . ① 记 ， ，令 ，得 ， 当 ， 时 ， 单增；当 ， 时 ， 单减 . 所以， ，即 . ② 记 ， ，所以 在 , 单减， 所以， ，即 . 综上①、②知， . 即原不等式得证，对任意实数 ， ……16分 20⑴ , 由一次函数与对数函数图象可知两图象相切时 取最大值， ……1分 设切点横坐标为 ， ， , 即实数 的最大值为 ； ……4分 ⑵ ， 即原题等价于直线 与函数 的图象的公共点的个数， ……5分 ， 在 递增且 ， 在 递减且 ， 时，无公共点， 时，有一个公共点， 时，有两个公共点； ……9分 ⑶函数 的图象恒在函数 的上方， 即 在 时恒成立， ……10分 ① 时 图象开口向下，即 在 时不可能恒成立， ② 时 ，由⑴可得 ， 时 恒成立， 时 不成立， ③ 时， 若 则 ，由⑵可得 无最小值，故 不可能恒成立， 若 则 ，故 恒成立， 若 则 ，故 恒成立， ……15分 综上， 或 时 函数 的图象恒在函数 的图象的上方． ……16分 21⑴由题设 ，即 ，解得 ； ……4分 ⑵ 取值为 . 则 ， ， ， ， ……8分 的分布列为：

故 ． ……10分
22⑴ 即 在 恒成立， ； ……4分 ⑵用数学归纳法证明： ． （�。� 时，由题设 ； （��）假设 时， 则当 时， 由⑴知： 在 上是增函数，又 ， 所以 ， 综合（�。�（��）得：对任意 ， ． ……8分 因为 ，所以 ，即 ． … …10分
23．如图，以点 为原点建立空间直角坐标系，依题意得 ， ⑴因为 为中点，则 ， 设 是平面 的一个法向量， 则 ，得 取 ，则 ， 设直线 与平面 的法向量 的夹角为 ， 则 ， 所以直线 与平面 所成角的正弦值为 ； ……5分 ⑵设 ， 设 是平面 的一个法向量， 则 ，取 ，则 是平面 的一个法向量， ， 得 ，即 ， 所以当 时，二面角 的大小是 ． ……10分

24⑴ ， 所以 ． ……4分 ⑵ ， ， 因为 ， 两边同乘以 ，则有 ， 两边求导，左边 ， 右边 ， 即 （*）， 对（*）式两边再求导，得 取 ，则有 所以 ． ……10分

20 × 20