2018高三数学理阶段性测试二模试题海南有答案.docx

2018高三数学（理）阶段性测试（二模）试题（海南有答案） 海南省2017―2018学年高中毕业班阶段性测试 数学（理科） 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合 ， ，则 （ ） A． B． C． D． 2.已知复数 满足 ， 为 的共轭复数，则 （ ） A． B． C． D． 3.如图，当输出 时，输入的 可以是（ ） A． B． C． D． 4.已知 为锐角， ，则 的取值范围为（ ） A． B． C． D． 5.把一枚质地均匀、半径为 的圆形硬币抛掷在一个边长为 的正方形托盘上，已知硬币平放在托盘上且没有掉下去，则该硬币完全落在托盘上（即没有任何部分在托盘以外）的概率为（ ） A． B． C． D． 6. 的展开式中， 的系数为（ ） A． B． C． D． 7.已知正项数列 满足 ，设 ，则数列 的前 项和为（ ） A． B． C． D． 8.如图，网格纸上正方形小格的边长为 ，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的最长棱的长度为（ ） A． B． C． D． 9.已知数列 的前 项和为 ，且满足 ， ，则 （ ） A． B． C． D． 10.已知函数 是定义在 上的偶函数， ，当 时， ，若 ，则 的最大值是（ ） A． B． C． D． 11.已知抛物线 的焦点为 ，过点 作互相垂直的两直线 ， 与抛物线分别相交于 ， 以及 ， ，若 ，则四边形 的面积的最小值为（ ） A． B． C． D． 12.已知 ，方程 与 的根分别为 ， ，则 的取值范围为（ ） A． B． C． D． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13.已知 ， ， ，且向量 ， 的夹角是 ，则 ． 14.已知实数 ， 满足 ，则 的最大值是 ． 15.已知双曲线 的左、右焦点分别为 ， ，过 且垂直于 轴的直线与该双曲线的左支交于 ， 两点， ， 分别交 轴于 ， 两点，若 的周长为 ，则 的最大值为 ． 16.如图，在三棱锥 中， 平面 ， ，已知 ， ，则当 最大时，三棱锥 的表面积为 ． 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分. 17.已知在 中， ， ， 分别为内角 ， ， 的对边，且 . （1）求角 的大小； （2）若 ， ，求 的面积. 18.如图，在直三棱柱 中， ， ，点 为 的中点，点 为 上一动点. （1）是否存在一点 ，使得线段 平面 ？若存在，指出点 的位置，若不存在，请说明理由. （2）若点 为 的中点且 ，求二面角 的正弦值. 19.某城市为鼓励人们绿色出行，乘坐地铁，地铁公司决定按照乘客经过地铁站的数量实施分段优惠政策，不超过 站的地铁票价如下表： 乘坐站数
票价（元）
现有甲、乙两位乘客同时从起点乘坐同一辆地铁，已知他们乘坐地铁都不超过 站.甲、乙乘坐不超过 站的概率分别为 ， ；甲、乙乘坐超过 站的概率分别为 ， . （1）求甲、乙两人付费相同的概率； （2）设甲、乙两人所付费用之和为随机变量 ，求 的分布列和数学期望. 20.在平面直角坐标系 中，已知椭圆 的离心率为 ， ， 分别为椭圆的上顶点和右焦点， 的面积为 ，直线 与椭圆交于另一个点 ，线段 的中点为 . （1）求直线 的斜率； （2）设平行于 的直线 与椭圆交于不同的两点 ， ，且与直线 交于点 ，求证：存在常数 ，使得 . 21.已知函数 ， . （1）求函数 的单调区间； （2）证明： . （二）选考题：共10分.请考生在22，23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分. 22.[选修4-4：坐标系与参数方程] 在平面直角坐标系 中，已知直线 ： （ 为参数），以坐标原点 为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 . （1）求曲线 的直角坐标方程； （2）设点 的极坐标为 ，直线 与曲线 的交点为 ， ，求 的值. 23.[选修4-5：不等式选讲] 已知函数 . （1）当 时，求不等式 的解集； （2）若不等式 对 恒成立，求实数 的取值范围. 海南省2017―2018学年高中毕业班阶段性测试 数学（理科）•答案 一、选择题 1-5: DABCB 6-10: BCDAD 11、12：CA 二、填空题 13. 14. 15. 16. 三、解答题 17.（1）由 及正弦定理得， ， 即 ， 又 ，所以 ， 又 ，所以 . （2）由（1）知 ，又 ，易求得 ， 在 中，由正弦定理得 ，所以 . 所以 的面积为 . 18.（1）存在点 ，且 为 的中点. 证明如下： 如图，连接 ， ，点 ， 分别为 ， 的中点， 所以 为 的一条中位线， ， 平面 ， 平面 ，所以 平面 . （2）设 ，则 ， ， ， 由 ，得 ，解得 . 由题意以点 为坐标原点， 为 轴， 为 轴， 为 轴建立如图所示的空间直角坐标系，可得 ， ， ， ， 故 ， ， ， ，. 设 为平面 的一个法向量，则 得 令 ，得平面 的一个法向量 ， 同理可得平面 的一个法向量为 ， 故二面角 的余弦值为 . 故二面角 的正弦值为 . 19.（1）由题意知甲乘坐超过 站且不超过 站的概率为 ， 乙乘坐超过 站且不超过 站的概率为 ， 设“甲、乙两人付费相同”为事件 ， 则 ， 所以甲、乙两人付费相同的概率是 . （2）由题意可知 的所有可能取值为： ， ， ， ， . ， ， ， . 因此 的分布列如下：
所以 的数学期望 . 20.（1）因为椭圆的离心率为 ，所以 ，即 ， ， 所以 ， ，所以 ，所以 ，所以椭圆的方程为 . 直线 的方程为 ，联立 消去 得 ，所以 或 ， 所以 ，从而得线段 的中点 . 所以直线 的斜率为 . （2）由（1）知，直线 的方程为 ，直线 的斜率为 ，设直线 的方程为 . 联立 得 所以点的坐标为 . 所以 ， . 所以 . 联立 消去 得 ， 由已知得 ，又 ，得 . 设 ， ，则 ， ， ， . 所以 ， ， 故 . 所以 .所以存在常数 ，使得 . 21.（1）由题易知 ， 当 时， ，当 时， ， 所以 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 . （2） 的定义域为 ，要证 ，即证 . 由（1）可知 在 上递减，在 上递增，所以 . 设 ， ，因为 ， 当 时， ，当 时， ， 所以 在 上单调递增，在 上单调递减，所以 ， 而 ，所以 . 22.（1）把 展开得 ， 两边同乘 得 ①. 将 ， ， 代入①即得曲线 的直角坐标方程为 ②. （2）将 代入②式，得 ， 易知点 的直角坐标为 . 设这个方程的两个实数根分别为 ， ，则由参数 的几何意义即得 . 23.（1）当 时，原不等式可化为 . 若 ，则 ，即 ，解得 ； 若 ，则原不等式等价于 ，不成立； 若 ，则 ，解得 . 综上所述，原不等式的解集为： . （2）由不等式的性质可知 ， 所以要使不等式 恒成立，则 ， 所以 或 ，解得 ， 所以实数 的取值范围是 .

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