温州市摇篮杯高一数学竞赛试卷及答案.doc

2011年温州市摇篮杯高一数学竞赛试卷
2011年4月10日
本卷满分为150分，考试时间为120分钟
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．
1．某同学使用计算器求50个数据的平均数时，错将其中的一个数据150输入为15，那么由此求出的平均值与实际平均值的差是（ ▲ ）
A． B． C．3 D．
2．设集合，，则等于（ ▲ ）
A． B．
C． D．
3．已知，则与的关系是（ ▲ ）
A．或 B．
C． D．
4．下列函数中在区间上单调递增的是（ ▲ ）
A． B．
C． D．
5．若则（ ▲ ）
A． B． C． D．
6．函数的零点个数为（ ▲ ）
A． B． C． D．
7．记为坐标原点，已知向量，，又有点，满足，则
的取值范围为（ ▲ ）
A． B． C． D．
8．已知，，，，则是直角三角形的概率是（ ▲ ）
A． B．　　 C． D．
9．设，其中，则的最小值为（ ▲ ）
A． B． 　　 C． D．
10．点在轴上，若存在过的直线交函数的图象于两点，满足，则称点为“Ω点”，那么下列结论中正确的是 （ ▲ ）
A．轴上仅有有限个点是“Ω点”； B．轴上所有的点都是“Ω点”；
开 始

否
是
(12题图)
结 束
C．轴上所有的点都不是“Ω点”；
D．轴上有无穷多个点（但不是所有的点）是“Ω点”．
二、填空题：本大题共7小题，每小题7分，共49分．
11．同时抛掷三枚均匀的硬币，出现两个正面一个背面的概率是
▲ ．
12．如图执行右面的程序框图，那么输出的值为 ▲ ．
13．函数的值域是 ▲ ．（其中表示不超过实数的
最大整数）
14. 已知定义域为的函数对任意都满足条件
与，则对函数，
下列结论中必定正确的是 ▲ ．（填上所有正确结论的序号）
①是奇函数； ②是偶函数；
③是周期函数； ④的图象是轴对称的．
15．若为整数，关于的方程有整数根，则 ▲ ．
16．是定义域为的函数，，若函数有且仅有4个不同的零点，则这4个零点之和为 ▲ ．
17．求值： ▲ ．

三、解答题：本大题共3小题，共51分．
得分
评卷人

18．（本题满分16分） 已知函数
．
⑴求的最小正周期和的值域；
⑵若为的一个零点，求的值．

得分
评卷人

19．（本题满分17分）设函数，对于给定的实数，
在区间上有最大值和最小值，
记．
⑴求的解析式；
⑵问为何值时，有最小值？并求出的最小值．

20. （本题满分18分）定义在正实数集上的函数满足下列条件：
得分
评卷人

①存在常数，使得；
②对任意实数, 当时，有．
⑴求证：对于任意正数，；
⑵证明：在正实数集上单调递减；
⑶若不等式恒成立，求实数的取值范围．

高一数学竞赛试卷 第4页（共6页）
2011年浙江省温州市摇篮杯高一数学竞赛试题解答
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．
1．某同学使用计算器求50个数据的平均数时，错将其中的一个数据150输入为15，那么由此求出的平均值与实际平均值的差是（ ▲ ）
A． B． C．3 D．
解:求出的平均值实际平均值,选B．
2．设集合，，则等于（ ▲ ）
A． B．
C． D．
解：可得，，所以，选C．
3．已知，则与的关系是（ ▲ ）
A．或 B．
C． D．
解:由于,与的终边位置相同或关于轴对称,所以或,合并得．选D．
4．下列函数中在区间上单调递增的是（ ▲ ）
A． B．
C． D．
解：将选择支中各函数用区间逐一检验知，只有C中函数满足要求．选C．
5．若则（ ▲ ）
A． B． C． D．
解：因为，，可知函数单调递减，已
知不等式即，所以，选A．
6．函数的零点个数为（ ▲ ）
A． B． C． D．
解：，所以的零点
个数即函数与函数的交
点的个数，作图可知有个交点，选D．
7．记为坐标原点，已知向量，，
又有点，满足，则 的取值范围为（ ▲ ）
A． B． 　 C． D．
解：，点在以点为圆心，为半
径的圆周上．可得，如图可知，当 直 线与圆周相切时，有最大值为，当三点共线时有最小值为０，所以的取值范围为．选A．
8．已知，，，，则是直角三角形的概率是（ ▲ ）
A． B．　　　　　　C． D．
解：由与构成三角形及知，可得． 与垂直，则；若与垂直，则（舍去）；若与垂直，或（舍去）；综上知，满足要求的有２个，所求概率为．故选 D．
9．设，其中，则的最小值为（ ▲ ）
A． B． 　　 C． D．
解1：，由
得．当且仅当时，．选B．
解2：
．
当且仅当时，．选B．
10．点在轴上，若存在过的直线交函数的图象于两点，满足，则称点为“Ω点”，那么下列结论中正确的是 （ ▲ ）
A．轴上仅有有限个点是“Ω点”； B．轴上所有的点都是“Ω点”；
C．轴上所有的点都不是“Ω点”；
D．轴上有无穷多个点（但不是所有的点）是“Ω点”．
解1：设，，，因为，所以，，得．即对于轴上任意点，总有，满足题设要求，故选B．
开 始

否
是
(12题图)
结 束
解2：（动态想象）：任取轴上点，将直线由轴位置开始绕点逆时针旋转，与函数的图象的位置关系必将经历从不交到相切再到交于两个点（由下至上）直到最后只交于一个点．当交于两个点时，在由正到负的过程中必将经历零点．当时，即有，所以轴上所有的点都是“Ω点”．
二、填空题：本大题共7小题，每小题7分，共49分．
11．同时抛掷三枚均匀的硬币，出现两个正面一个背面的概率是
▲ ．
解：同时抛掷三枚均匀硬币出现的等可能基本事件共有８种，其 中两个正面一个背面的情况有（正，正，背），（正，背，正）与（背，正，正）三种，故所求概率为．
12．如图执行右面的程序框图，那么输出的值为 ▲ ．
解：．
13．函数的值域是 ▲ ．（其中表示不超过实数的
最大整数）
解：，所以 的所有可能取值为，从而值域为．
14．已知定义域为的函数对任意都满足条件
与，则对函数，
下列结论中必定正确的是 ▲ ．（填上所有正确结论的序号）
①是奇函数； ②是偶函数；
③是周期函数； ④的图象是轴对称的．
解：由知有周期，于是，知 为奇函数，填①③．
15．若为整数，关于的方程有整数根，则 ▲ ．
解：设为方程的整数根，则，必有或得或．
16．是定义域为的函数，，若函数有且仅有4个不同的零点，则这4个零点之和为 ▲ ．
解：，有对称轴，故4个零点和为8．
17．求值： ▲ ．
解1：如图，构造边长为的正五边形，使得
，则依次可得，
，，
，
由于，
所以，
从而．
解2：原式

．
三、解答题：本大题共3小题，共51分．
18．（本题满分16分） 已知函数．
⑴求的最小正周期和的值域；
⑵若为的一个零点，求的值．
解：⑴

．…………………………………………………..4分
所以的最小正周期；……………………………..……….…..5分
由，得的值域为．…………………..7分
⑵，由题设知，….8分
由，结合知，
可得．…………………………………………………..10分

，………………………...………..12分

，……………………………..………..14分

．……….……..16分
19．（本题满分17分）设函数，对于给定的实数，在区间上有最大值和最小值，记．
⑴求的解析式；
⑵问为何值时，有最小值？并求出的最小值．
解：⑴，抛物线开口向上，其对称轴方程为，下面就对称轴与区间端点的相对位置分段讨论：……………….………………………..1分
①当时，且，
此时，．．…3分
②当时，且，
此时，．．…5分
③当时，，在区间上递增，
此时，．．…7分
④当时，，在区间上递减，
此时，．．…9分
综上所得………………………………………………10分
⑵当时， ；…………………………………………11分
当时， 递减，；…………..….……13分
当时， 递增，；…………....………15分
当时， ．……………………………………..………16分
综上所述，当时，．…………..…………………………………17分

20.(本题满分18分)定义在正实数集上的函数满足下列条件：
①存在常数，使得；②对任意实数, 当时，有．
⑴求证：对于任意正数，；
⑵证明：在正实数集上单调递减；
⑶若不等式恒成立，求实数的取值范围．

⑴证明：均为正数，且，根据指数函数性质可知，总有实数使得，于是，..…2分
又， ..5分
⑵证明：任设，可令，．…………….7分
则由⑴知
，………………………………………………………..9分
即．在正实数集上单调递减；..……………………………..10分
⑶解：令，原不等式化为，其中．
且，
不等式可进一步化为，……………………….……..12分
又由于单调递减，对于恒成立．……………………..13分
而，………………….……….…..15分
且当时．……………………………………..16分
，又，终得．…………………………..18分

高一数学竞赛试题答案 第8页（共8页）