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竞赛专题讲座08
－几何变换
【竞赛知识点拨】
一、 平移变换
1．　 定义 设是一条给定的有向线段，T是平面上的一个变换，它把平面图形F上任一点X变到X‘，使得=，则T叫做沿有向线段的平移变换。记为XX’，图形FF‘ 。
2．　 主要性质 在平移变换下，对应线段平行且相等，直线变为直线，三角形变为三角形，圆变为圆。两对应点连线段与给定的有向线段平行（共线）且相等。
二、 轴对称变换
1．　 定义 设l是一条给定的直线，S是平面上的一个变换，它把平面图形F上任一点X变到X’，使得X与X‘关于直线l对称，则S叫做以l为对称轴的轴对称变换。记为XX’，图形FF‘ 。
2．　 主要性质 在轴对称变换下，对应线段相等，对应直线（段）或者平行，或者交于对称轴，且这两条直线的夹角被对称轴平分。
三、 旋转变换
1．　 定义 设α是一个定角，O是一个定点，R是平面上的一个变换，它把点O仍变到O（不动点），而把平面图形F上任一点X变到X’，使得OX‘=OX，且∠XOX’=α，则R叫做绕中心O，旋转角为α的旋转变换。记为XX‘，图形FF’ 。
其中α<0时，表示∠XOX‘的始边OX到终边OX’的旋转方向为顺时针方向；α>0时，为逆时针方向。
2． 主要性质 在旋转变换下，对应线段相等，对应直线的夹角等于旋转角。
四、 位似变换
1．　 定义 设O是一个定点，H是平面上的一个变换，它把平面图形F上任一点X变到X‘，使得 =k·，则H叫做以O为位似中心，k为位似比的位似变换。记为XX’，图形FF‘ 。
其中k>0时，X’在射线OX上，此时的位似变换叫做外位似；k<0时, X‘在射线OX的反向延长线上，此时的位似变换叫做内位似。
2．　 主要性质 在位似变换下，一对位似对应点与位似中心共线；一条线上的点变到一条线上，且保持顺序，即共线点变为共线点，共点线变为共点线；对应线段的比等于位似比的绝对值，对应图形面积的比等于位似比的平方；不经过位似中心的对应线段平行，即一直线变为与它平行的直线；任何两条直线的平行、相交位置关系保持不变；圆变为圆，且两圆心为对应点；两对应圆相切时切点为位似中心。
【竞赛例题剖析】
【例1】P是平行四边形ABCD内一点，且∠PAB=∠PCB。
求证：∠PBA=∠PDA。
【分析】作变换△ABP△DCP’，
则△ABP≌△DCP‘，∠1=∠5，∠3=∠6。由PP’ADBC，ADPP‘、PP’CB都是平行四边形，知∠2=∠8，∠4=∠7。由已知∠1=∠2，得∠5=∠8。
∴P、D、P‘、C四点共圆。故∠6=∠7，即∠3=∠4。
【例2】“风平三角形”中，AA’=BB‘=CC’=2，∠AOB‘=∠BOC’=60°。
求证：Ｓ△AOB‘+Ｓ△BOC’+Ｓ△COA‘<。
【分析】作变换△A’OC△AQR‘，△BOC’△B‘PR’‘，则R’、R‘’重合，记为R。P、R、Q共线，O、A、Q共线，O、B‘、P共线，△OPQ为等边三角形。
∴Ｓ△AOB’+Ｓ△BOC‘+Ｓ△COA’<Ｓ△OPQ=
【例3】在两条对角线长度以及夹角一定的所有凸四边形中，试求周长最小的四边形。
【分析】取AC、BD的中点E、F，令ACA‘C’，则A‘BC’D是一个符合条件的平行四边形。延长AF、CC‘交于G。
∵E是AC的中点且EF∥CC’，FC‘∥EC，∴F、C’分别为AG、CG的中点。
∴AD+BC=BG+BC≥2BC‘=A’D+BC‘。
同理可得AB+DC≥A’B+DC‘。
故当四边形为平行四边形时，周长最小。
【评注】当已知条件分散，尤其是相等的条件分散，而又不容易找出证明途径，或题目中有平行条件时，将图形的某一部分施行平移变换，常常十分凑效。
【例4】P是⊙O的弦AB的中点，过P点引⊙O的两弦CD、EF，连结DE交AB于M，连结CF交AB于N。求证：MP=NP。（蝴蝶定理）
【分析】设GH为过P的直径，FF’F，显然‘∈⊙O。又P∈GH，∴PF’=PF。∵PFPF‘，PAPB，∴∠FPN=∠F’PM，PF=PF‘。
又FF’⊥GH，AN⊥GH，∴FF‘∥AB。∴∠F’PM+∠MDF‘=∠FPN+∠EDF’
=∠EFF‘+∠EDF’=180°，∴P、M、D、F‘四点共圆。∴∠PF’M=∠PDE=∠PFN。
∴△PFN≌△PF‘M，PN=PM。
【评注】一般结论为：已知半径为R的⊙O内一弦AB上的一点P，过P作两条相交弦CD、EF，连CF、ED交AB于M、N，已知OP=r，P到AB中点的距离为a，则。（解析法证明：利用二次曲线系知识）
【例5】⊙O是给定锐角∠ACB内一个定圆，试在⊙O及射线CA、CB上各求一点P、Q、R，使得△PQR的周长为最小。

【分析】在圆O上任取一点P0，令P0P1，P0P2，连结P1P2分别交CA、CB于Q1、R1。显然△P0Q1R1是在取定P0的情况下周长最小的三角形。
设P0P1交CA于E，P0P2交CB于F，则P0Q1 +Q1R1 +R1P0= P1P2=2EF。
∵E、C、F、P0四点共圆，CP0是该圆直径，由正弦定理，EF=CP0sin∠ECF。
∴当CP0取最小值时，EF为最小，从而△P0Q1R1的周长为最小，于是有作法：
连结OC，交圆周于P，令PP1，PP2，连结P1P2分别交CA、CB于Q、R。则P、Q、R为所求。
【例6】△ABC中，∠A≥90°，AD⊥BC于D，△PQR是它的任一内接三角形。求证：PQ+QR+RP>2AD。
【分析】设PP’，PP‘’。则RP=RP‘，PQ=P’‘Q，AP=AP’=AP‘’。
∴PQ+QR+RP= P‘’Q+QR+RP‘。
又∠A≥90°，∴∠P’AP+∠P‘’AP=2∠A≥180°，A点在线段P‘P’‘上或在凸四边形P’RQP‘’的内部。∴P‘’Q+QR+RP‘>AP’+AP‘’=2AP>2AD。
∴PQ+QR+RP>2AD。
【评注】如果题设中有角平分线、垂线，或图形是等腰三角形、圆等轴对称图形，可以将图形或其部分进行轴对称变换。此外，也可以适当选择对称轴将一些线段的位置变更，以便于比较它们之间的大小。
【例7】以△ABC的边AB、AC为斜边分别向外作等腰直角三角形APB、AQC，M是BC的中点。求证：MP=MQ，MP⊥MQ。
【分析】延长BP到E，使PE=BP，延长CQ到F， 使QF=CQ，则△BAE、△CAF都是等腰三角形。
显然：EB，CF，∴EC=BF，EC⊥BF。
而PMEC，MQBF，∴MP=MQ，MP⊥MQ。
【例8】已知O是△ABC内一点，∠AOB=∠BOC=∠COA=120°；P是△ABC内任一点，求证：PA+PB+PC≥OA+OB+OC。（O为费马点）
【分析】将CC‘，OO’， PP‘，连结OO’、PP‘。则△B OO’、△B PP‘都是正三角形。
∴OO’=OB，PP‘ =PB。显然△BO’C‘≌△BOC，△BP’C‘≌△BPC。
由于∠BO’C‘=∠BOC=120°=180°-∠BO’O，∴A、O、O‘、C’四点共线。
∴AP+PP‘+P’C‘≥AC’=AO+OO‘+O’C‘，即PA+PB+PC≥OA+OB+OC。
【例9】⊙O与△ABC的三边BC、CA、AB分别交于点A1、A2、B1、B2、C1、C2，过上述六点分别作所在边的垂线a1、a2、b1、b2、，设a1、b2、c1三线相交于一点D。求证：a2、b1、c2三线也相交于一点。
【分析】∵a1、a2关于圆心O成中心对称，
∴a1a2。
同理，b1b2，c1c2。
∴a1、b2、c1的公共点D在变换R（O，180°）下的像D’也是像a2、b1、c2的公共点，即a2、b1、c2三线也相交于一点。
【例10】AD是△ABC的外接圆O的直径，过D作⊙O的切线交BC于P，连结并延长PO分别交AB、AC于M、N。求证：OM=ON。

【分析】设OO‘，NN’，而MB，
∵M、O、N三点共线，∴B、O‘、N’三点共线，且。
取BC中点G，连结OG、O‘G、DG、DB。
∵∠OGP=∠ODP=90°，∴P、D、G、O四点共圆。
∴∠ODG=∠OPG，而由MN∥BN’有∠OPG=∠O‘BG，
∴∠ODG=∠O’BG，∴O‘、B、D、G四点共圆。
∴∠O’GB=∠O‘DB。而∠O’DB=∠ACB，∴∠O‘GB=∠ACB，O’G∥AC，
而G是BC的中点，∴O‘是BN’的中点，O‘B= O’ N‘，
∴OM=ON。

竞赛讲座07
--面积问题和面积方法
基础知识
1．面积公式
由于平面上的凸多边形都可以分割成若干三角形，故在面积公式中最基本的是三角形的面积公式．它形式多样，应在不同场合下选择最佳形式使用．
设△，分别为角的对边，为的高，、分别为△外接圆、内切圆的半径，．则△的面积有如下公式：
（1）；
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
（7）
（8）
（9）
2．面积定理
（1）一个图形的面积等于它的各部分面积这和；
（2）两个全等形的面积相等；
（3）等底等高的三角形、平行四边形、梯形（梯形等底应理解为两底和相等）的面积相等；
（4）等底（或等高）的三角形、平行四边形、梯形的面积的比等于其所对应的高（或底）的比；
（5）两个相似三角形的面积的比等于相似比的平方；
（6）共边比例定理：若△和△的公共边所在直线与直线交于，则；
（7）共角比例定理：在△和△中，若或，则．
3．张角定理：如图，由点出发的三条射线，设，，，则三点共线的充要条件是：
．
例题分析
例1．梯形的对角线相交于，且，，求
例2．在凸五边形中，设，求此五边形的面积．
例3．是△内一点，连结并延长与分别交于，△、△、△的面积分别为40，30，35，求△的面积．
例4．分别是△的边和上的点，且，求△的面积的最大值．
例5．过△内一点引三边的平行线∥，∥，∥，点都在△的边上，表示六边形的面积，表示
△ 的面积．求证：．
例6．在直角△中，是斜边上的高，过△的内心与△的内心的直线分别交边和于和，△和△的面积分别记为和．求证：．
例7．锐角三角形中，角等分线与三角形的外接圆交于一点，点、与此类似，直线与、两角的外角平分线将于一点，点、与此类似．求证：
（1）三角形的面积是六边形的面积的二倍；
（2）三角形的面积至少是三角形的四倍．
例8．在△中，将其周长三等分，且在边上，求证：．
例9．在锐角△的边边上有两点、，满足，作，（是垂足），延长交△的外接圆于点，证明四边形与△的面积相等．
三．面积的等积变换
等积变换是处理有关面积问题的重要方法之一，它的特点是利用间面积相等而进行相互转换证（解）题．
例10．凸六边形内接于⊙，且，，求此六边形的面积．
例11．已知的三边，现在上取，在延长线上截取，在上截取，求证：．
例12．在内，且∽，求征：
例13．在的三边上分别取点，使，，连相交得三角形，已知三角形的面积为13，求三角形的面积．
例14．为圆内接四边形的边的中点，于，于，于，求证：平分．
例15．已知边长为的，过其内心任作一直线分别交于点，求证：．
例16．正△正△，，，，，
，．求证：．
例17．在正内任取一点，设点关于三边的对称点分别为，则相交于一点．
例18．已知是正六边形的两条对角线，点分别内分，且使，如果三点共线，试求的值．
例19．设在凸四边形中，直线以为直径的圆相切，求证：当且仅当∥时，直线与以为直径的圆相切．
训练题
1．设的面积为10，分别是边上的点，且若，求的面积．
2．过内一点作三条平行于三边的直线，这三条直线将分成六部份，其中，三部份为三角形，其面积为，求三角形的面积．
3．在的三边上分别取不与端点重合的三点，求证：，中至少有一个的面积不大于的面积的．
4．锐角的顶角的平分线交边于，又交三角形的外接圆于，过作和边的垂线和,垂足是，求证：四边形的面积等于的 面积．
5．在等腰直角三角形的斜边上取一点，使，作交于，求证：．
6．三条直线互相平行，在的两侧，且间的距离为，间的距离为1，若正的三个顶点分别在上，求正的边长．
7．已知及其内任一点，直线分别交对边于（），证明：在这三个值中，至少有一个不大于2，并且至少有一个不小于2．
8．点和分别在的边和上，点和将线段分为三等分，直线和分别与边相交于点和，证明：．
9．已知P是内一点，延长分别交对边于，其中，，且，求之值．
10．过点P作四条射线与直线分别交于和，求证：
．
11．四边形的两对对边的延长线分别交，过作直线与对角线的延长线分别，求证：．
12．为的重心，过作直线交于，求证：．