矩和协方差矩阵.ppt

1．矩的概念,显然数学期望E(X)是X的一阶原点矩，方差D(X)是X的二阶中心矩，协方差Cov(X,Y)是X、Y的二阶混合中心矩。,设X、Y为随机变量，k,l为自然数，,若E(Xk)存在，则称它为X的k阶原点矩。,若E{[X-E(X)]k}存在，则称它为X的k阶中心矩。,若E(XkYl)存在，则称它为X与Y的k+l阶混合原点矩。,即(k,l=1,2,…).,若E{[X-E(X)]k[Y-E(Y)]l}存在，则称它为X与Y的k+l阶混合中心矩。,4.4矩和协方差矩阵,显然，协方差矩阵是对称阵。,2．协方差矩阵,(1)(X,Y)有四个二阶中心矩，分别记为,C11=E[X-E(X)]2，C12=E[X-E(X)][Y-E(Y)]，,C21=E[Y-E(Y)][X-E(X)]，C22=E[Y-E(Y)]2．,则称矩阵,为(X,Y)的协方差矩阵。,(2)对于n维随机向量(X1,X2,…,Xn)的二阶中心矩,(i,j=1,2,…,n),则协方差矩阵为,所以(X,Y)的协方差矩阵为,由对称性可知,例1已知(X,Y)的概率密度，求(X,Y)的协方差矩阵。,解,最后介绍一下n维正态分布．引入矩阵记号,,n维正态随机向量(X1,X2,…,Xn)的概率密度定义为,其中C是(X1,X2,…,Xn）的协方差矩阵，|C|是矩阵C的行列式．,易见，当n=2时即为第三章给出的二维正态分布．n维正态分布在数理统计和随机过程中时常遇到．,